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7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$AC=4$,$∠ A=60°$,若边$AC$的垂直平分线$DE$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,连接$CD$,求$BC$的长.
答案
7. 解:过点 C 作 $CM ⊥ AB$,垂足为 M.
在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中,
$\because ∠ A=60°,AC=4$,
$\therefore AM=2,MC=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
$\therefore BM=AB-AM=5-2=3$.
在 $\mathrm{Rt}△ BMC$ 中,
$BC=\sqrt{BM^2+CM^2}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{21}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中,
$\because ∠ A=60°,AC=4$,
$\therefore AM=2,MC=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
$\therefore BM=AB-AM=5-2=3$.
在 $\mathrm{Rt}△ BMC$ 中,
$BC=\sqrt{BM^2+CM^2}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{21}$.
8. [新考法]先阅读下面的一段文字,再解答问题.
已知在平面直角坐标系中,任意两点$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$,其两点之间的距离公式为$MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点之间的距离公式可以简化为$|x_2-x_1|$或$|y_2-y_1|$.
(1)已知点$A(0,5)$,$B(-3,6)$,试求$A$,$B$两点之间的距离.
(2)已知点$A$,$B$在垂直于$x$轴的直线上,点$A$的坐标为$(-5,-\dfrac{1}{2})$,$AB=10$,试确定点$B$的坐标.
(3)已知点$A(0,6)$,$B(4,0)$,$C(-9,0)$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
已知在平面直角坐标系中,任意两点$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$,其两点之间的距离公式为$MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点之间的距离公式可以简化为$|x_2-x_1|$或$|y_2-y_1|$.
(1)已知点$A(0,5)$,$B(-3,6)$,试求$A$,$B$两点之间的距离.
(2)已知点$A$,$B$在垂直于$x$轴的直线上,点$A$的坐标为$(-5,-\dfrac{1}{2})$,$AB=10$,试确定点$B$的坐标.
(3)已知点$A(0,6)$,$B(4,0)$,$C(-9,0)$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
答案
8. (1)$\because A(0,5),B(-3,6)$,
$\therefore AB=\sqrt{(-3-0)^2+(6-5)^2}=\sqrt{10}$.
(2)$\because$ 点 $A,B$ 在垂直于 $x$ 轴的直线上,
$\therefore$ 点 $A$ 与点 $B$ 的横坐标相等,$\therefore$ 可设 $B(-5,y)$.
$\because AB=10, \therefore \left|y-(-\dfrac{1}{2})\right|=10$, 解得 $y = 9\dfrac{1}{2}$ 或 $y=-10\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-5,9\dfrac{1}{2})$ 或 $(-5,-10\dfrac{1}{2})$.
(3)$△ ABC$ 为直角三角形. 理由如下:
$\because A(0,6),B(4,0),C(-9,0),\therefore AB=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13},AC=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13},BC=|4-(-9)|=13. \therefore AB^2+AC^2=BC^2. \therefore △ ABC$ 为直角三角形.
$\therefore AB=\sqrt{(-3-0)^2+(6-5)^2}=\sqrt{10}$.
(2)$\because$ 点 $A,B$ 在垂直于 $x$ 轴的直线上,
$\therefore$ 点 $A$ 与点 $B$ 的横坐标相等,$\therefore$ 可设 $B(-5,y)$.
$\because AB=10, \therefore \left|y-(-\dfrac{1}{2})\right|=10$, 解得 $y = 9\dfrac{1}{2}$ 或 $y=-10\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-5,9\dfrac{1}{2})$ 或 $(-5,-10\dfrac{1}{2})$.
(3)$△ ABC$ 为直角三角形. 理由如下:
$\because A(0,6),B(4,0),C(-9,0),\therefore AB=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13},AC=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13},BC=|4-(-9)|=13. \therefore AB^2+AC^2=BC^2. \therefore △ ABC$ 为直角三角形.
