11.(2025·崇川区月考)如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=135°.将直角三角尺MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是.

11.135°或45°

【分析】
首先根据平角的定义，结合已知∠BOC的度数求出∠AOC的度数；由于直角三角尺MON绕点O旋转，直线OM与OC垂直存在两种位置情况（OM在直线AB上方、OM在直线AB下方），接下来分别结合垂直的定义，对应两种情况计算∠AOM的度数即可，解题时注意不要遗漏其中一种情况。
【解析】
解：
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB=180°，
又
∵ ∠BOC=135°，
∴ ∠AOC=180° - ∠BOC=180° - 135°=45°。
分两种情况讨论：
① 当OM在直线AB上方，且OM⊥OC时，根据垂直的定义得∠COM=90°，
此时∠BOM=∠BOC - ∠COM=135° - 90°=45°，
∴ ∠AOM=∠AOB - ∠BOM=180° - 45°=135°；
② 当OM在直线AB下方，且OM⊥OC时，根据垂直的定义得∠COM=90°，
此时∠AOM=∠COM - ∠AOC=90° - 45°=45°。
综上，∠AOM的度数是135°或45°。
【答案】
135°或45°
【知识点】
平角的定义；垂直的定义；角度的计算
【点评】
本题属于角度计算的典型题，重点考查分类讨论的思想，解题的关键是明确三角尺旋转时OM与OC垂直存在两种不同的位置，避免因漏解出现错误。
【难度系数】
0.7

12.在以下各图中,分别用三角尺过点 C 作 AB 的垂线.

12.解:如答图.

【分析】
要完成过点C作AB的垂线，需借助三角尺的直角完成作图，步骤可分为三步：第一步对齐，将三角尺的一条直角边与AB完全重合；第二步平移，沿AB方向移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过点C；第三步画线标符号，沿经过点C的直角边画出直线，在直线与AB的交点处标注直角符号即可。要注意区分点C在AB外和点C在AB上两种情况，若点C在AB上，三角尺的直角顶点直接与C对齐即可作图。
【解析】
作图过程如下：
1. 图①：点C在AB外，将三角尺一条直角边与AB重合，平移三角尺使另一条直角边过点C，沿该直角边画直线，与AB交于垂足，标注直角符号。
2. 图②：点C在AB外，操作同图①，对齐AB、平移三角尺到直角边过C，画垂线并标注直角符号。
3. 图③：点C在AB上，将三角尺直角顶点与点C重合，一条直角边与AB重合，沿另一条直角边画直线，标注直角符号。
4. 图④：点C在AB外，将三角尺一条直角边与AB重合，平移三角尺使另一条直角边过点C，沿该直角边画直线，与AB的延长线交于垂足，标注直角符号。
最终作图结果见答图。
【答案】

【知识点】
1. 垂线的画法
2. 垂直的表示
【点评】
本题是基础的几何作图题，重点考查过一点作已知直线垂线的操作技能，作图时要注意规范，必须标注直角符号，当垂足在已知线段的延长线上时，也要正确画出垂线。
【难度系数】
0.85

13.如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,OE 平分∠BOC.
(1)当$∠COE=27^{\circ }$时,求$∠AOD$的度数;
(2)若$OF⊥OE$,试说明 OF 平分$∠BOD.$
请将下列推理过程补充完整.
因为 OE 平分$∠BOC,$
所以$∠BOE=∠$(角平分线的定义).
因为$OF⊥OE,$
所以$∠EOF=$°(垂直的定义),
所以$∠BOE+∠\_\_\_\_\_\_=90^{\circ },$
$∠\_\_\_\_\_\_+∠\_\_\_\_\_\_=90^{\circ },$
所以$∠BOF=∠DOF($$),$
所以 OF 平分$∠BOD$(角平分线的定义).

13.(1)解:因为OE平分∠BOC,∠COE=27°,
所以∠COE=∠BOE=27°,
所以∠AOD=∠BOC=∠COE+∠BOE=27°+27°=54°.
(2)COE 90 BOF EOF COE 等角的余角相等

【分析】
(1) 求∠AOD的度数时，先根据角平分线的定义由已知∠COE的度数求出∠BOC的度数，再利用对顶角相等的性质，即可得到与∠BOC互为对顶角的∠AOD的度数。
(2) 补全推理时，先结合角平分线定义，可知OE将∠BOC分为两个相等的角；再根据垂直的定义得到直角，进而得到两组互余的角；最后利用等角的余角相等推出两个角相等，即可证明OF是角平分线。
【解析】
(1) 解：因为OE平分∠BOC，∠COE=27°，
所以∠COE=∠BOE=27°，
所以∠BOC=∠COE+∠BOE=27°+27°=54°，
又因为直线AB与CD相交于点O，∠AOD与∠BOC是对顶角，
所以∠AOD=∠BOC=54°。
(2) 根据推理逻辑依次填空：
由角平分线的定义，OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE；
由垂直的定义，OF⊥OE，所以∠EOF=90°；
所以∠BOE+∠BOF=90°，
又因为∠DOF+∠COE=180°-∠EOF=90°，
因为∠BOE=∠COE，所以∠BOF=∠DOF，依据是等角的余角相等，
最终可得OF平分∠BOD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{54°}$
(2) $\boldsymbol{COE}$；$\boldsymbol{90}$；$\boldsymbol{BOF}$；$\boldsymbol{DOF}$；$\boldsymbol{COE}$；$\boldsymbol{等角的余角相等}$
【知识点】
角平分线的定义；对顶角相等；余角的性质
【点评】
本题是几何入门阶段的基础题型，综合考察了相交线相关的定义和性质，侧重对基础推理能力的锻炼，熟练掌握相关概念和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85

14. 如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中∠AOF 的余角是;(写一个即可)
(2)∠EOF=;(写一个即可)
(3)如果∠AOD=160°,那么根据,可得∠BOC=;
(4)如果∠AOD=4∠EOF,求∠EOF 的度数.

14.(1)∠EOF(答案不唯一)
(2)∠AOC(答案不唯一)
(3)对顶角相等 160°
(4)解:因为OE⊥AB,OF⊥CD,
所以∠BOE=∠DOF=90°,
所以∠BOD+∠DOE=90°,∠EOF+∠DOE=90°,
所以∠EOF=∠BOD.
因为∠AOD+∠BOD=180°,∠AOD=4∠EOF,
所以4∠EOF+∠EOF=180°,即5∠EOF=180°,
所以∠EOF=36°.

【分析】
(1) 先回忆余角定义：和为90°的两个角互为余角。已知OF⊥CD，可得∠COF=90°，即∠AOC+∠AOF=90°；又OE⊥AB可得∠AOE=90°，即∠EOF+∠AOF=90°，结合对顶角相等，∠AOC=∠BOD，因此∠AOC、∠EOF、∠BOD都是∠AOF的余角，任选其一即可。
(2) 根据同角的余角相等，∠EOF和∠AOC都是∠AOF的余角，因此∠EOF=∠AOC，同理也等于∠BOD，任选其一即可。
(3) ∠AOD和∠BOC是对顶角，根据对顶角相等的性质，可直接得到∠BOC的度数等于∠AOD的度数。
(4) 先根据垂直定义得到∠BOE和∠DOF都是90°，通过同角的余角相等推出∠EOF=∠BOD；再利用邻补角和为180°的性质，结合∠AOD=4∠EOF的条件，建立方程求解即可。
【解析】
(1) 由余角定义可知，和为90°的两个角互为余角，∠AOF+∠EOF=90°，因此∠EOF是∠AOF的余角（答案不唯一，也可填∠AOC、∠BOD）。
(2) 因为∠EOF和∠AOC都是∠AOF的余角，根据同角的余角相等，可得∠EOF=∠AOC（答案不唯一，也可填∠BOD）。
(3) ∠AOD和∠BOC互为对顶角，根据对顶角相等，可得∠BOC=∠AOD=160°。
(4) 解：因为OE⊥AB，OF⊥CD，
所以∠BOE=∠DOF=90°，
所以∠BOD+∠DOE=90°，∠EOF+∠DOE=90°，
所以∠EOF=∠BOD。
因为∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD=4∠EOF，
所以4∠EOF+∠EOF=180°，即5∠EOF=180°，
所以∠EOF=36°。
【答案】
(1) ∠EOF（答案不唯一）
(2) ∠AOC（答案不唯一）
(3) 对顶角相等；160°
(4) 36°
【知识点】
余角的定义；对顶角的性质；垂直的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础题，综合考查了垂直、余角、对顶角、邻补角的性质，解题的核心是准确识别角之间的数量关系，结合基本性质推导计算即可。
【难度系数】
0.8