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11 新情境 生活实际 “五月天山雪，无花只有寒”反映出地形对气温的影响.海拔每升高 100 m，气温约下降 $0.6\ °\mathrm{C}$.有一座海拔为 2 350 m 的山，在这座山上海拔为 350 m 的地方测得气温是 $6\ °\mathrm{C}$，则此时山顶的气温约为多少？
答案
11. 因为$6-0.6×\dfrac{2\ 350-350}{100}=6-0.6×20=6-12=-6(℃)$,所以此时山顶的气温约为$-6\ ℃$
解析
【分析】
要计算山顶的气温，可按照三步思路推导：第一步先求出山顶和气温测量点的海拔高度差；第二步结合“海拔每升高100m，气温约下降0.6℃”的规律，计算从测量点到山顶的总降温幅度；第三步用测量点的已知气温减去总降温幅度，即可得到山顶的气温。
【解析】
首先计算山顶与测量点的海拔差：$2350 - 350 = 2000\ \mathrm{m}$
再计算该海拔差对应的降温幅度：海拔每100m降$0.6\ °\mathrm{C}$，2000m包含的100m段数为$\dfrac{2000}{100}=20$，因此总降温为$0.6×20=12\ °\mathrm{C}$
最后计算山顶气温：已知测量点气温为$6\ °\mathrm{C}$，因此山顶气温为$6 - 12 = -6\ °\mathrm{C}$
【答案】
$-6\ °\mathrm{C}$
【知识点】
有理数混合运算，正负数实际应用
【点评】
本题结合古诗文与地理常识创设生活情境，考查有理数运算在实际问题中的应用，解题核心是准确梳理海拔差与温度变化的对应关系，计算量小，贴合生活实际，能引导学生运用数学知识解决生活中的常见问题。
【难度系数】
0.8
要计算山顶的气温，可按照三步思路推导：第一步先求出山顶和气温测量点的海拔高度差；第二步结合“海拔每升高100m，气温约下降0.6℃”的规律，计算从测量点到山顶的总降温幅度；第三步用测量点的已知气温减去总降温幅度，即可得到山顶的气温。
【解析】
首先计算山顶与测量点的海拔差：$2350 - 350 = 2000\ \mathrm{m}$
再计算该海拔差对应的降温幅度：海拔每100m降$0.6\ °\mathrm{C}$，2000m包含的100m段数为$\dfrac{2000}{100}=20$，因此总降温为$0.6×20=12\ °\mathrm{C}$
最后计算山顶气温：已知测量点气温为$6\ °\mathrm{C}$，因此山顶气温为$6 - 12 = -6\ °\mathrm{C}$
【答案】
$-6\ °\mathrm{C}$
【知识点】
有理数混合运算，正负数实际应用
【点评】
本题结合古诗文与地理常识创设生活情境，考查有理数运算在实际问题中的应用，解题核心是准确梳理海拔差与温度变化的对应关系，计算量小，贴合生活实际，能引导学生运用数学知识解决生活中的常见问题。
【难度系数】
0.8
12 新考向 探究题 若点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,则A,B两点之间的距离AB=|a−b|.
利用数形结合思想解答下列问题:
(1) 数轴上表示数1和−3的两点之间的距离为
(2) 数轴上表示数x和−2的两点之间的距离为
(3) 若x表示一个有理数,且−3＜x＜1,则|x−1|+|x+3|=
(4) 如果x表示一个有理数,且|x−1|+|x+3|＞4,那么有理数x的取值范围是
(5) 代数式|x−2|+2|x+1|的最小值为
(6) 求满足等式|x−1|+|x+3|=4的所有整数x的和.
利用数形结合思想解答下列问题:
(1) 数轴上表示数1和−3的两点之间的距离为
4
;(2) 数轴上表示数x和−2的两点之间的距离为
$|x+2|$
;(3) 若x表示一个有理数,且−3＜x＜1,则|x−1|+|x+3|=
4
;(4) 如果x表示一个有理数,且|x−1|+|x+3|＞4,那么有理数x的取值范围是
$x＞1或x＜-3$
;(5) 代数式|x−2|+2|x+1|的最小值为
3
;(6) 求满足等式|x−1|+|x+3|=4的所有整数x的和.
答案
12. (1) 4 (2) $|x+2|$ (3) 4 (4) $x＞1或x＜-3$ (5) 3
(6) 由题意,得数轴上表示数$x$的点与表示数$-3,1$的点之间的距离之和为4.结合数轴(略)可知,$-3≤ x≤ 1$.又因为$x$为整数,所以$x$可以取$-3,-2,-1,0,1$.所以符合题意的所有整数$x$的和为$(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-3-2-1+1=-5$
(6) 由题意,得数轴上表示数$x$的点与表示数$-3,1$的点之间的距离之和为4.结合数轴(略)可知,$-3≤ x≤ 1$.又因为$x$为整数,所以$x$可以取$-3,-2,-1,0,1$.所以符合题意的所有整数$x$的和为$(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-3-2-1+1=-5$
解析
【分析】
本题核心考查数轴上两点距离的绝对值表示（即$AB=|a-b|$），结合绝对值的性质解题，各小问思路如下：(1)直接将对应数值代入距离公式计算即可；(2)将$x$和$-2$代入距离公式化简即可；(3)先根据$x$的取值范围判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号合并计算；(4)结合绝对值的几何意义，$|x-1|+|x+3|$表示$x$到1和$-3$的距离和，先找到距离和等于4的范围，再推出大于4的取值范围；(5)找到绝对值的零点，分区间去绝对值，分别计算各区间内代数式的取值范围，即可找到最小值；(6)先根据距离和等于4确定$x$的取值范围，再找出范围内的整数，最后求和即可。
【解析】
(1) 根据数轴两点距离公式，1和$-3$的距离为$|1 - (-3)| = |4| = 4$；
(2) 表示$x$和$-2$的两点距离为$|x - (-2)| = |x + 2|$；
(3) 已知$-3 ＜ x ＜ 1$，则$x - 1 ＜ 0$，$x + 3 ＞ 0$，去绝对值得：$|x - 1| = 1 - x$，$|x + 3| = x + 3$，因此$|x - 1| + |x + 3| = (1 - x) + (x + 3) = 4$；
(4) 根据绝对值的几何意义，$|x - 1| + |x + 3|$表示$x$到1和$-3$的距离和，当$x$在$-3$和1之间（含端点）时，距离和恒为4，若距离和大于4，则$x$需在1的右侧或$-3$的左侧，即$x ＞ 1$或$x ＜ -3$；
(5) 令$x - 2 = 0$得$x = 2$，令$x + 1 = 0$得$x = -1$，分三种情况讨论：
① 当$x ＜ -1$时，原式$= (2 - x) + 2(-x - 1) = -3x$，此时$x ＜ -1$，故$-3x ＞ 3$；
② 当$-1 ≤ x ≤ 2$时，原式$= (2 - x) + 2(x + 1) = x + 4$，当$x = -1$时，取得最小值$ -1 + 4 = 3$；
③ 当$x ＞ 2$时，原式$= (x - 2) + 2(x + 1) = 3x$，此时$x ＞ 2$，故$3x ＞ 6$；
综上，代数式的最小值为3；
(6) 由题意，$|x - 1| + |x + 3|$表示数轴上$x$到1和$-3$的距离和，距离和为4时，$x$的取值范围是$-3 ≤ x ≤ 1$，又$x$为整数，所以$x$可取$-3, -2, -1, 0, 1$，则所有整数$x$的和为：$(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -5$。
【答案】
(1) 4；(2) $|x + 2|$；(3) 4；(4) $x ＞ 1或x ＜ -3$；(5) 3；(6) $-5$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值的性质，分段讨论法
【点评】
本题结合数形结合思想考查绝对值的几何意义与代数化简，将绝对值转化为数轴上的距离能大幅降低解题难度，是绝对值应用的经典题型，需熟练掌握根据取值范围去绝对值符号的方法。
【难度系数】
0.7
本题核心考查数轴上两点距离的绝对值表示（即$AB=|a-b|$），结合绝对值的性质解题，各小问思路如下：(1)直接将对应数值代入距离公式计算即可；(2)将$x$和$-2$代入距离公式化简即可；(3)先根据$x$的取值范围判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号合并计算；(4)结合绝对值的几何意义，$|x-1|+|x+3|$表示$x$到1和$-3$的距离和，先找到距离和等于4的范围，再推出大于4的取值范围；(5)找到绝对值的零点，分区间去绝对值，分别计算各区间内代数式的取值范围，即可找到最小值；(6)先根据距离和等于4确定$x$的取值范围，再找出范围内的整数，最后求和即可。
【解析】
(1) 根据数轴两点距离公式，1和$-3$的距离为$|1 - (-3)| = |4| = 4$；
(2) 表示$x$和$-2$的两点距离为$|x - (-2)| = |x + 2|$；
(3) 已知$-3 ＜ x ＜ 1$，则$x - 1 ＜ 0$，$x + 3 ＞ 0$，去绝对值得：$|x - 1| = 1 - x$，$|x + 3| = x + 3$，因此$|x - 1| + |x + 3| = (1 - x) + (x + 3) = 4$；
(4) 根据绝对值的几何意义，$|x - 1| + |x + 3|$表示$x$到1和$-3$的距离和，当$x$在$-3$和1之间（含端点）时，距离和恒为4，若距离和大于4，则$x$需在1的右侧或$-3$的左侧，即$x ＞ 1$或$x ＜ -3$；
(5) 令$x - 2 = 0$得$x = 2$，令$x + 1 = 0$得$x = -1$，分三种情况讨论：
① 当$x ＜ -1$时，原式$= (2 - x) + 2(-x - 1) = -3x$，此时$x ＜ -1$，故$-3x ＞ 3$；
② 当$-1 ≤ x ≤ 2$时，原式$= (2 - x) + 2(x + 1) = x + 4$，当$x = -1$时，取得最小值$ -1 + 4 = 3$；
③ 当$x ＞ 2$时，原式$= (x - 2) + 2(x + 1) = 3x$，此时$x ＞ 2$，故$3x ＞ 6$；
综上，代数式的最小值为3；
(6) 由题意，$|x - 1| + |x + 3|$表示数轴上$x$到1和$-3$的距离和，距离和为4时，$x$的取值范围是$-3 ≤ x ≤ 1$，又$x$为整数，所以$x$可取$-3, -2, -1, 0, 1$，则所有整数$x$的和为：$(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -5$。
【答案】
(1) 4；(2) $|x + 2|$；(3) 4；(4) $x ＞ 1或x ＜ -3$；(5) 3；(6) $-5$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值的性质，分段讨论法
【点评】
本题结合数形结合思想考查绝对值的几何意义与代数化简，将绝对值转化为数轴上的距离能大幅降低解题难度，是绝对值应用的经典题型，需熟练掌握根据取值范围去绝对值符号的方法。
【难度系数】
0.7
13 数轴上从左到右等距排列着点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_{2\,026}$，共2 026个整数点，它们表示的整数分别记为$a_1,a_2,a_3,\dots,a_{2\,026}$，且$a_1,a_2,a_3,\dots,a_{2\,026}$为连续整数.
（1）求点$A_{2\,026}$到点$A_1$的距离；
（2）已知$a_{15}=-18$，求$a_1,a_{2\,026}$的值；
（3）已知$a_{2\,026}=-1\,000$，求$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2\,026}$的值.
（1）求点$A_{2\,026}$到点$A_1$的距离；
（2）已知$a_{15}=-18$，求$a_1,a_{2\,026}$的值；
（3）已知$a_{2\,026}=-1\,000$，求$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2\,026}$的值.
答案
13. (1) 点$A_{2\,026}$到点$A_1$的距离为$2\ 026-1=2\ 025$ (2) 因为$a_{15}-a_1=14$,$a_{15}=-18$,所以$a_1=-18-14=-32$.因为$a_{2\,026}-a_1=2\ 025$,所以$a_{2\,026}=(-32)+2\ 025=1\ 993$ (3) 因为$a_{2\,026}-a_1=2\ 025$,$a_{2\,026}=-1\ 000$,所以$a_1=-3\ 025$.所以$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2\,026}=(-3\ 025)+(-3\ 024)+(-3\ 023)+\dots+(-1\ 000)=[(-3\ 025)+(-1\ 000)]×2\ 026÷2=-4\ 077\ 325$
解析
【分析】
（1）数轴上表示连续整数的点，相邻两点的距离为1，两点之间的距离等于两点间的间隔数，间隔数=点的总个数-1，根据该规律即可求出A₂₀₂₆到A₁的距离。
（2）连续整数中，第n个数比第1个数大(n-1)，已知a₁₅的值，先通过a₁与a₁₅的差为14求出a₁，再通过a₂₀₂₆与a₁的差为2025求出a₂₀₂₆的值。
（3）先根据a₂₀₂₆与a₁的差为2025求出a₁的值，这组数据是连续整数，可利用“连续数总和=（首项+末项）×项数÷2”的规律计算总和。
【解析】
（1）2026个点是连续整数点，相邻两点距离为1，A₂₀₂₆与A₁的间隔数为$2026-1=2025$，因此点A₂₀₂₆到点A₁的距离为2025。
（2）连续整数中$a_{15}-a_1=15-1=14$，已知$a_{15}=-18$，则$a_1=-18-14=-32$；
又$a_{2026}-a_1=2026-1=2025$，代入$a_1=-32$得$a_{2026}=-32+2025=1993$。
（3）由$a_{2026}-a_1=2025$，已知$a_{2026}=-1000$，则$a_1=-1000-2025=-3025$；
这组数据是从-3025到-1000的连续整数，共2026个，求和得：
$\begin{aligned}a_1+a_2+\dots+a_{2026}&=[(-3025)+(-1000)]×2026÷2\\&=-4025×1013\\&=-4077325\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{2025}$；（2）$\boxed{a_1=-32}$，$\boxed{a_{2026}=1993}$；（3）$\boxed{-4077325}$
【知识点】
数轴两点距离，连续整数性质，有理数求和
【点评】
本题围绕数轴上的连续整数点设题，核心考查点的个数与间隔数的对应关系，以及连续整数的运算规律，解题时需注意不要混淆点的个数和间隔数，求和时套用连续数求和公式可大幅简化计算。
【难度系数】
0.85
（1）数轴上表示连续整数的点，相邻两点的距离为1，两点之间的距离等于两点间的间隔数，间隔数=点的总个数-1，根据该规律即可求出A₂₀₂₆到A₁的距离。
（2）连续整数中，第n个数比第1个数大(n-1)，已知a₁₅的值，先通过a₁与a₁₅的差为14求出a₁，再通过a₂₀₂₆与a₁的差为2025求出a₂₀₂₆的值。
（3）先根据a₂₀₂₆与a₁的差为2025求出a₁的值，这组数据是连续整数，可利用“连续数总和=（首项+末项）×项数÷2”的规律计算总和。
【解析】
（1）2026个点是连续整数点，相邻两点距离为1，A₂₀₂₆与A₁的间隔数为$2026-1=2025$，因此点A₂₀₂₆到点A₁的距离为2025。
（2）连续整数中$a_{15}-a_1=15-1=14$，已知$a_{15}=-18$，则$a_1=-18-14=-32$；
又$a_{2026}-a_1=2026-1=2025$，代入$a_1=-32$得$a_{2026}=-32+2025=1993$。
（3）由$a_{2026}-a_1=2025$，已知$a_{2026}=-1000$，则$a_1=-1000-2025=-3025$；
这组数据是从-3025到-1000的连续整数，共2026个，求和得：
$\begin{aligned}a_1+a_2+\dots+a_{2026}&=[(-3025)+(-1000)]×2026÷2\\&=-4025×1013\\&=-4077325\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{2025}$；（2）$\boxed{a_1=-32}$，$\boxed{a_{2026}=1993}$；（3）$\boxed{-4077325}$
【知识点】
数轴两点距离，连续整数性质，有理数求和
【点评】
本题围绕数轴上的连续整数点设题，核心考查点的个数与间隔数的对应关系，以及连续整数的运算规律，解题时需注意不要混淆点的个数和间隔数，求和时套用连续数求和公式可大幅简化计算。
【难度系数】
0.85
