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实践活动二
记录:在探究报告中记录弹簧原长、每组钩码质量、弹簧总长度、伸长量,绘制表格和函数图象,验证结论.
| 项目内容 | 函数的探究 |
| --- | --- |
| 我的猜想 | |
| 列出表格 | 钩码个数(个) | 钩码总质量 $ x(g) $ | 弹簧总长度 |
| | | | |
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| 画出图象 | |
| 结论 | |
| 我的发现 | 一次函数的表达式有什么特点? 自变量和函数之间存在怎样的对应关系? |
| 反思与疑问 | 探究中遇到了什么问题? 还有哪些新的疑问? |
64
记录:在探究报告中记录弹簧原长、每组钩码质量、弹簧总长度、伸长量,绘制表格和函数图象,验证结论.
| 项目内容 | 函数的探究 |
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| 我的猜想 | |
| 列出表格 | 钩码个数(个) | 钩码总质量 $ x(g) $ | 弹簧总长度 |
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| 画出图象 | |
| 结论 | |
| 我的发现 | 一次函数的表达式有什么特点? 自变量和函数之间存在怎样的对应关系? |
| 反思与疑问 | 探究中遇到了什么问题? 还有哪些新的疑问? |
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答案
我的猜想：在弹性限度内，弹簧的总长度随所挂钩码总质量的增大而均匀增大，弹簧的伸长量与钩码总质量成正比例关系。
列出表格（假设弹簧原长为10cm，每个钩码质量50g）：
|钩码个数(个)|钩码总质量x(g)|弹簧总长度(cm)|
|----|----|----|
|1|50|12|
|2|100|14|
|3|150|16|
画出图象：在平面直角坐标系中，以钩码总质量x为横轴，弹簧总长度y为纵轴，描出点(50,12)、(100,14)、(150,16)，连接这些点得到一条直线（在弹性限度内）。
结论：在弹性限度内，弹簧的总长度y与钩码总质量x满足一次函数关系，表达式为y=0.04x+10（y单位为cm，x单位为g）；弹簧的伸长量Δy=0.04x，即伸长量与钩码总质量成正比例关系。
我的发现：一次函数的表达式形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一确定的值与之对应。
反思与疑问：探究中遇到的问题是钩码总质量过大时，弹簧伸长不再均匀，超出弹性限度；新的疑问是不同规格的弹簧，对应的一次函数表达式中的k值是否相同？
列出表格（假设弹簧原长为10cm，每个钩码质量50g）：
|钩码个数(个)|钩码总质量x(g)|弹簧总长度(cm)|
|----|----|----|
|1|50|12|
|2|100|14|
|3|150|16|
画出图象：在平面直角坐标系中，以钩码总质量x为横轴，弹簧总长度y为纵轴，描出点(50,12)、(100,14)、(150,16)，连接这些点得到一条直线（在弹性限度内）。
结论：在弹性限度内，弹簧的总长度y与钩码总质量x满足一次函数关系，表达式为y=0.04x+10（y单位为cm，x单位为g）；弹簧的伸长量Δy=0.04x，即伸长量与钩码总质量成正比例关系。
我的发现：一次函数的表达式形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一确定的值与之对应。
反思与疑问：探究中遇到的问题是钩码总质量过大时，弹簧伸长不再均匀，超出弹性限度；新的疑问是不同规格的弹簧，对应的一次函数表达式中的k值是否相同？
解析
【分析】
本次实践是结合弹簧受力伸长的实际场景探究一次函数，思考路径如下：首先结合生活中弹簧挂重物越长伸得越长的经验，提出关于弹簧长度与钩码质量关系的合理猜想；其次固定弹簧和单个钩码的规格，逐次增加钩码数量，分别记录钩码总质量、对应弹簧总长度，整理为规范表格；接着建立平面直角坐标系，以钩码总质量为自变量、弹簧总长度为因变量，描出数据点并连线，观察图象的形状特征；之后利用待定系数法推导函数表达式，总结规律，归纳一次函数的表达式特点与自变量、函数的对应关系；最后结合操作中遇到的异常情况梳理反思、提出新疑问即可。
【解析】
1. 猜想推导：结合弹簧在弹性范围内的伸长特性，可推断弹簧挂的钩码越重，总长度越长，且伸长量和钩码质量成正比，以此作为猜想内容。
2. 表格记录：设定弹簧原长为10cm、单个钩码质量为50g，逐次添加钩码并测量弹簧总长度，得到3组对应数据整理为表格。
3. 图象绘制：建立平面直角坐标系，横轴为钩码总质量x，纵轴为弹簧总长度y，描出表格对应的3个坐标点，弹性限度内连线可得一条直线。
4. 结论推导：设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(50,12)$、$(100,14)$代入解析式，解得$k=0.04$，$b=10$，即总长度和钩码质量的函数关系为$y=0.04x+10$，伸长量为$0.04x$，和钩码质量成正比。
5. 规律总结：观察推导的一次函数解析式，可归纳出一次函数的形式特征，以及自变量和函数的一一对应关系。
6. 反思整理：结合实际操作的异常情况（如钩码过重时弹簧伸长不均匀）梳理问题，可围绕弹簧规格对函数参数的影响提出新疑问。
【答案】
我的猜想：在弹性限度内，弹簧的总长度随所挂钩码总质量的增大而均匀增大，弹簧的伸长量与钩码总质量成正比例关系。
列出表格（假设弹簧原长为10cm，每个钩码质量50g）：
|钩码个数(个)|钩码总质量x(g)|弹簧总长度(cm)|
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|1|50|12|
|2|100|14|
|3|150|16|
画出图象：在平面直角坐标系中，以钩码总质量x为横轴，弹簧总长度y为纵轴，描出点(50,12)、(100,14)、(150,16)，连接这些点得到一条直线（在弹性限度内）。
结论：在弹性限度内，弹簧的总长度y与钩码总质量x满足一次函数关系，表达式为y=0.04x+10（y单位为cm，x单位为g）；弹簧的伸长量Δy=0.04x，即伸长量与钩码总质量成正比例关系。
我的发现：一次函数的表达式形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一确定的值与之对应。
反思与疑问：探究中遇到的问题是钩码总质量过大时，弹簧伸长不再均匀，超出弹性限度；新的疑问是不同规格的弹簧，对应的一次函数表达式中的k值是否相同？
【知识点】
一次函数的概念，待定系数法求解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本次实践将抽象的函数知识和生活中常见的弹簧伸长现象结合，通过数据采集、图象绘制、规律推导的完整探究过程，既能加深对一次函数相关性质的理解，也能锻炼动手操作、数据处理与分析的能力，很好地体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
本次实践是结合弹簧受力伸长的实际场景探究一次函数，思考路径如下：首先结合生活中弹簧挂重物越长伸得越长的经验，提出关于弹簧长度与钩码质量关系的合理猜想；其次固定弹簧和单个钩码的规格，逐次增加钩码数量，分别记录钩码总质量、对应弹簧总长度，整理为规范表格；接着建立平面直角坐标系，以钩码总质量为自变量、弹簧总长度为因变量，描出数据点并连线，观察图象的形状特征；之后利用待定系数法推导函数表达式，总结规律，归纳一次函数的表达式特点与自变量、函数的对应关系；最后结合操作中遇到的异常情况梳理反思、提出新疑问即可。
【解析】
1. 猜想推导：结合弹簧在弹性范围内的伸长特性，可推断弹簧挂的钩码越重，总长度越长，且伸长量和钩码质量成正比，以此作为猜想内容。
2. 表格记录：设定弹簧原长为10cm、单个钩码质量为50g，逐次添加钩码并测量弹簧总长度，得到3组对应数据整理为表格。
3. 图象绘制：建立平面直角坐标系，横轴为钩码总质量x，纵轴为弹簧总长度y，描出表格对应的3个坐标点，弹性限度内连线可得一条直线。
4. 结论推导：设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(50,12)$、$(100,14)$代入解析式，解得$k=0.04$，$b=10$，即总长度和钩码质量的函数关系为$y=0.04x+10$，伸长量为$0.04x$，和钩码质量成正比。
5. 规律总结：观察推导的一次函数解析式，可归纳出一次函数的形式特征，以及自变量和函数的一一对应关系。
6. 反思整理：结合实际操作的异常情况（如钩码过重时弹簧伸长不均匀）梳理问题，可围绕弹簧规格对函数参数的影响提出新疑问。
【答案】
我的猜想：在弹性限度内，弹簧的总长度随所挂钩码总质量的增大而均匀增大，弹簧的伸长量与钩码总质量成正比例关系。
列出表格（假设弹簧原长为10cm，每个钩码质量50g）：
|钩码个数(个)|钩码总质量x(g)|弹簧总长度(cm)|
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|1|50|12|
|2|100|14|
|3|150|16|
画出图象：在平面直角坐标系中，以钩码总质量x为横轴，弹簧总长度y为纵轴，描出点(50,12)、(100,14)、(150,16)，连接这些点得到一条直线（在弹性限度内）。
结论：在弹性限度内，弹簧的总长度y与钩码总质量x满足一次函数关系，表达式为y=0.04x+10（y单位为cm，x单位为g）；弹簧的伸长量Δy=0.04x，即伸长量与钩码总质量成正比例关系。
我的发现：一次函数的表达式形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一确定的值与之对应。
反思与疑问：探究中遇到的问题是钩码总质量过大时，弹簧伸长不再均匀，超出弹性限度；新的疑问是不同规格的弹簧，对应的一次函数表达式中的k值是否相同？
【知识点】
一次函数的概念，待定系数法求解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本次实践将抽象的函数知识和生活中常见的弹簧伸长现象结合，通过数据采集、图象绘制、规律推导的完整探究过程，既能加深对一次函数相关性质的理解，也能锻炼动手操作、数据处理与分析的能力，很好地体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
