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8.如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线.若$S_{△ ADE}=1$，则$S_{△ ABC}=$（
A.2
B.4
C.6
D.8
一练一得
三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
B
）A.2
B.4
C.6
D.8
一练一得
三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先抓住题干给出的两个“中线”条件，结合“三角形中线可将三角形分为面积相等的两部分”的性质，从已知面积的△ADE入手，先推导△ADC的面积，再进一步推导△ABC的面积即可。
【解析】
∵DE是△ADC的中线，根据三角形中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两个部分
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}=1$
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=1+1=2$
又
∵AD是△ABC的中线，同理可得
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=2$
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=2+2=4$
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础的三角形面积计算题型，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，连续两次运用该性质即可快速得到结果，熟练掌握该性质能大幅提升这类题型的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题干给出的两个“中线”条件，结合“三角形中线可将三角形分为面积相等的两部分”的性质，从已知面积的△ADE入手，先推导△ADC的面积，再进一步推导△ABC的面积即可。
【解析】
∵DE是△ADC的中线，根据三角形中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两个部分
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}=1$
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=1+1=2$
又
∵AD是△ABC的中线，同理可得
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=2$
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=2+2=4$
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础的三角形面积计算题型，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，连续两次运用该性质即可快速得到结果，熟练掌握该性质能大幅提升这类题型的解题效率。
【难度系数】
0.8
9.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是边$AC$，$BC$上的点，若$△ ADB ≌ △ EDB$，$△ EDB ≌ △ EDC$，则$∠ C$的度数为________.
答案
9.30°
解析
【分析】
解题时先利用全等三角形对应角相等的性质，梳理图中角的等量关系：首先由△EDB≌△EDC可推出∠DEB=∠DEC，∠C=∠DBE，结合平角为180°可求出∠DEB的度数；再由△ADB≌△EDB得到∠A=∠DEB、∠ABD=∠DBE，进而得到∠ABC与∠C的倍数关系；最后结合三角形内角和为180°，列等式即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵△EDB ≌ △EDC
∴∠DEB = ∠DEC，∠DBE = ∠C
∵∠DEB与∠DEC组成平角，即∠DEB + ∠DEC = 180°
∴∠DEB = ∠DEC = 90°
又
∵△ADB ≌ △EDB
∴∠A = ∠DEB = 90°，∠ABD = ∠DBE
∴∠ABD = ∠DBE = ∠C，即∠ABC = ∠ABD + ∠DBE = 2∠C
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：∠A + ∠ABC + ∠C = 180°
将∠A=90°，∠ABC=2∠C代入得：
90° + 2∠C + ∠C = 180°
3∠C = 90°
解得∠C = 30°
【答案】
30°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题是基础的几何计算题，核心是通过全等三角形的性质转化角的等量关系，结合三角形内角和建立等式求解，解题时要注意不要漏掉角之间的倍数关系，推导过程要严谨。
【难度系数】
0.7
解题时先利用全等三角形对应角相等的性质，梳理图中角的等量关系：首先由△EDB≌△EDC可推出∠DEB=∠DEC，∠C=∠DBE，结合平角为180°可求出∠DEB的度数；再由△ADB≌△EDB得到∠A=∠DEB、∠ABD=∠DBE，进而得到∠ABC与∠C的倍数关系；最后结合三角形内角和为180°，列等式即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵△EDB ≌ △EDC
∴∠DEB = ∠DEC，∠DBE = ∠C
∵∠DEB与∠DEC组成平角，即∠DEB + ∠DEC = 180°
∴∠DEB = ∠DEC = 90°
又
∵△ADB ≌ △EDB
∴∠A = ∠DEB = 90°，∠ABD = ∠DBE
∴∠ABD = ∠DBE = ∠C，即∠ABC = ∠ABD + ∠DBE = 2∠C
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：∠A + ∠ABC + ∠C = 180°
将∠A=90°，∠ABC=2∠C代入得：
90° + 2∠C + ∠C = 180°
3∠C = 90°
解得∠C = 30°
【答案】
30°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题是基础的几何计算题，核心是通过全等三角形的性质转化角的等量关系，结合三角形内角和建立等式求解，解题时要注意不要漏掉角之间的倍数关系，推导过程要严谨。
【难度系数】
0.7
10.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠C=70°。
(1)求∠AOB的度数；
(2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数。
(1)求∠AOB的度数；
(2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数。
答案
10.解:(1) 因为 AE,BF 是∠BAC,∠ABC的平分线，
所以 $∠OAB = ∠OAC = \frac{1}{2}∠BAC$,
$∠OBA=∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$,
所以 $∠OAB+∠OBA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)$.
在△ABC 中,$∠C=70°$,
所以$∠BAC+∠ABC=180°-∠C=110°$.
所以$∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=125°$.
(2)因为在△ABC 中,AD 是高,$∠C=70°,∠ABC=60°$,
所以$∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°$,
$∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°$.
所以$∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=25°$.
所以$∠DAE=∠CAE-∠DAC=25°-20°=5°$.
所以 $∠OAB = ∠OAC = \frac{1}{2}∠BAC$,
$∠OBA=∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$,
所以 $∠OAB+∠OBA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)$.
在△ABC 中,$∠C=70°$,
所以$∠BAC+∠ABC=180°-∠C=110°$.
所以$∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=125°$.
(2)因为在△ABC 中,AD 是高,$∠C=70°,∠ABC=60°$,
所以$∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°$,
$∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°$.
所以$∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=25°$.
所以$∠DAE=∠CAE-∠DAC=25°-20°=5°$.
解析
【分析】
(1)求∠AOB时，根据三角形内角和为180°，只需先求出△AOB中另外两个内角∠OAB与∠OBA的和即可。已知AE、BF是角平分线，可得∠OAB是∠BAC的一半，∠OBA是∠ABC的一半，因此先在△ABC中由已知的∠C求出∠BAC+∠ABC的和，再代入即可计算出∠AOB的度数。
(2)求∠DAE时，首先AD是高，△ADC为直角三角形，可先求出∠DAC的度数；再根据三角形内角和求出∠BAC的度数，结合AE是角平分线求出∠CAE的度数，用∠CAE减去∠DAC即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1) 因为AE，BF是∠BAC、∠ABC的平分线，
所以 $∠OAB = ∠OAC = \frac{1}{2}∠BAC$，$∠OBA=∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$，
所以 $∠OAB+∠OBA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)$。
在△ABC 中，$∠C=70°$，
所以$∠BAC+∠ABC=180°-∠C=110°$。
所以$∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=125°$。
(2)因为在△ABC 中，AD 是高，$∠C=70°,∠ABC=60°$，
所以$∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°$，
$∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°$。
所以$∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=25°$。
所以$∠DAE=∠CAE-∠DAC=25°-20°=5°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{125°}$；(2) $\boldsymbol{5°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础典型题，核心是结合角平分线、高的性质，灵活运用三角形内角和定理完成角度的转化与计算，能帮助学生巩固三角形相关线段性质和角度计算的基本方法。
【难度系数】
0.75
(1)求∠AOB时，根据三角形内角和为180°，只需先求出△AOB中另外两个内角∠OAB与∠OBA的和即可。已知AE、BF是角平分线，可得∠OAB是∠BAC的一半，∠OBA是∠ABC的一半，因此先在△ABC中由已知的∠C求出∠BAC+∠ABC的和，再代入即可计算出∠AOB的度数。
(2)求∠DAE时，首先AD是高，△ADC为直角三角形，可先求出∠DAC的度数；再根据三角形内角和求出∠BAC的度数，结合AE是角平分线求出∠CAE的度数，用∠CAE减去∠DAC即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1) 因为AE，BF是∠BAC、∠ABC的平分线，
所以 $∠OAB = ∠OAC = \frac{1}{2}∠BAC$，$∠OBA=∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$，
所以 $∠OAB+∠OBA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)$。
在△ABC 中，$∠C=70°$，
所以$∠BAC+∠ABC=180°-∠C=110°$。
所以$∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=125°$。
(2)因为在△ABC 中，AD 是高，$∠C=70°,∠ABC=60°$，
所以$∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°$，
$∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°$。
所以$∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=25°$。
所以$∠DAE=∠CAE-∠DAC=25°-20°=5°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{125°}$；(2) $\boldsymbol{5°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础典型题，核心是结合角平分线、高的性质，灵活运用三角形内角和定理完成角度的转化与计算，能帮助学生巩固三角形相关线段性质和角度计算的基本方法。
【难度系数】
0.75
