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10.已知等式$y=ax^2+bx+c$，当$x=1$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=3$；当$x=-3$时，$y=28$。
(1)求$a,b,c$的值；
(2)当$x=-2$时，$y$的值是多少？
(1)求$a,b,c$的值；
(2)当$x=-2$时，$y$的值是多少？
答案
解：
(1) 将已知的x、y对应值代入等式$y=ax^2+bx+c$，得到三元一次方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad ① \\4a + 2b + c = 3 \quad ② \\9a - 3b + c = 28 \quad ③\end{cases}$
②-①，得：$3a + b = 3 \quad ④$
③-②，得：$5a - 5b = 25$，化简为$a - b = 5 \quad ⑤$
④+⑤，得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
即$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
(2) 由(1)可得等式为$y=2x^2 - 3x + 1$，将$x=-2$代入：
$y=2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
答：(1) $a$的值为2，$b$的值为-3，$c$的值为1；(2) 当$x=-2$时，$y$的值为15。
(1) 将已知的x、y对应值代入等式$y=ax^2+bx+c$，得到三元一次方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad ① \\4a + 2b + c = 3 \quad ② \\9a - 3b + c = 28 \quad ③\end{cases}$
②-①，得：$3a + b = 3 \quad ④$
③-②，得：$5a - 5b = 25$，化简为$a - b = 5 \quad ⑤$
④+⑤，得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
即$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
(2) 由(1)可得等式为$y=2x^2 - 3x + 1$，将$x=-2$代入：
$y=2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
答：(1) $a$的值为2，$b$的值为-3，$c$的值为1；(2) 当$x=-2$时，$y$的值为15。
11. 五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）中性笔作为奖品。已知甲种笔每支6元，乙种笔每支4元，则老师购买两种笔的方案共有 （）
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
答案
B
解析
设购买甲种笔x支，乙种笔y支，x、y均为正整数，根据题意列方程：6x + 4y = 48，化简得3x + 2y = 24，变形得$y=\frac{24-3x}{2}$。由于x、y都是正整数，因此24-3x必须为正偶数，符合条件的正整数解共3组：$\begin{cases}x=2\\y=9\end{cases}$、$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$、$\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}$，即共有3种购买方案。
12. 甲、乙两人分别从相距40 km的A,B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发1 h，那么乙出发后2 h，他们相遇；如果他们同时出发，那么2.5 h后，两人相距5 km，则甲由A地到B地需要（）
A.$\frac{10}{3}$ h
B.20 h
C.10 h或20 h
D.$\frac{10}{3}$ h或10 h
A.$\frac{10}{3}$ h
B.20 h
C.10 h或20 h
D.$\frac{10}{3}$ h或10 h
答案
D
解析
设甲的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，乙的速度为$y\ \mathrm{km/h}$。
1. 根据第一个条件：甲比乙早出发1h，乙出发2h后相遇，此时甲行驶总时长为$1+2=3\ \mathrm{h}$，乙行驶时长为$2\ \mathrm{h}$，总路程为40km，列方程：$3x+2y=40$。
2. 第二个条件分两种情况：
情况1：2.5h后两人未相遇，相距5km，两人总行驶路程为$40-5=35\ \mathrm{km}$，列方程：$2.5(x+y)=35$，即$x+y=14$。
联立$\begin{cases}3x+2y=40 \\ x+y=14 \end{cases}$，解得$x=12$，甲走完全程的时间为$\frac{40}{12}=\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$。
情况2：2.5h后两人相遇后错开，相距5km，两人总行驶路程为$40+5=45\ \mathrm{km}$，列方程：$2.5(x+y)=45$，即$x+y=18$。
联立$\begin{cases}3x+2y=40 \\ x+y=18 \end{cases}$，解得$x=4$，甲走完全程的时间为$\frac{40}{4}=10\ \mathrm{h}$。
综上，甲由A地到B地需要$\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$或$10\ \mathrm{h}$。
1. 根据第一个条件：甲比乙早出发1h，乙出发2h后相遇，此时甲行驶总时长为$1+2=3\ \mathrm{h}$，乙行驶时长为$2\ \mathrm{h}$，总路程为40km，列方程：$3x+2y=40$。
2. 第二个条件分两种情况：
情况1：2.5h后两人未相遇，相距5km，两人总行驶路程为$40-5=35\ \mathrm{km}$，列方程：$2.5(x+y)=35$，即$x+y=14$。
联立$\begin{cases}3x+2y=40 \\ x+y=14 \end{cases}$，解得$x=12$，甲走完全程的时间为$\frac{40}{12}=\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$。
情况2：2.5h后两人相遇后错开，相距5km，两人总行驶路程为$40+5=45\ \mathrm{km}$，列方程：$2.5(x+y)=45$，即$x+y=18$。
联立$\begin{cases}3x+2y=40 \\ x+y=18 \end{cases}$，解得$x=4$，甲走完全程的时间为$\frac{40}{4}=10\ \mathrm{h}$。
综上，甲由A地到B地需要$\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$或$10\ \mathrm{h}$。
13.某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示(火车、汽车都满载)：
批次 所用火车车皮数量/节 所用汽车数量/辆 运输物资总量/t
第一批 2
5 130
第二批 4 3 218
则每节火车车皮和每辆汽车分别装载物资的吨数是（）
A.40,5
B.50,6
C.50,4
D.45,7
批次 所用火车车皮数量/节 所用汽车数量/辆 运输物资总量/t
第一批 2
5 130第二批 4 3 218
则每节火车车皮和每辆汽车分别装载物资的吨数是（）
A.40,5
B.50,6
C.50,4
D.45,7
答案
B
解析
设每节火车车皮装载物资x吨，每辆汽车装载物资y吨，根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}2x+5y=130\\4x+3y=218\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$4x+10y=260$，用该式减去第二个方程，得$7y=42$，解得$y=6$。
把$y=6$代入$2x+5y=130$，得$2x+30=130$，解得$x=50$。
即每节火车车皮装载50吨，每辆汽车装载6吨。
$\begin{cases}2x+5y=130\\4x+3y=218\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$4x+10y=260$，用该式减去第二个方程，得$7y=42$，解得$y=6$。
把$y=6$代入$2x+5y=130$，得$2x+30=130$，解得$x=50$。
即每节火车车皮装载50吨，每辆汽车装载6吨。
