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例1 一个三角形和一个平行四边形等底等高,它们的面积之和是120 cm²,求平行四边形的面积.
[分析与解]已知平行四边形与三角形等底等高,则平行四边形的面积是三角形面积的2倍,它们的面积之和是三角形面积的2 + 1 = 3倍.因为已知它们的面积之和是120 cm²,所以可求出三角形的面积是120 ÷ 3 = 40(cm²).那么,平行四边形的面积是40 × 2 = 80(cm²).
[分析与解]已知平行四边形与三角形等底等高,则平行四边形的面积是三角形面积的2倍,它们的面积之和是三角形面积的2 + 1 = 3倍.因为已知它们的面积之和是120 cm²,所以可求出三角形的面积是120 ÷ 3 = 40(cm²).那么,平行四边形的面积是40 × 2 = 80(cm²).
答案
解：
设三角形和平行四边形的底为$a$，高为$h$，
则三角形的面积$S_{△}=\frac{1}{2}ah$，平行四边形的面积$S_{\mathrm{平行四边形}}=ah$，
因此$S_{\mathrm{平行四边形}}=2S_{△}$。
根据题意可得：
$S_{△} + S_{\mathrm{平行四边形}} = 120$
代入$S_{\mathrm{平行四边形}}=2S_{△}$，得：
$S_{△} + 2S_{△} = 120$
$3S_{△}=120$
$S_{△}=40\ \mathrm{cm}^2$
因此平行四边形的面积为$2×40=80\ \mathrm{cm}^2$。
答：平行四边形的面积是$80\ \mathrm{cm}^2$。
设三角形和平行四边形的底为$a$，高为$h$，
则三角形的面积$S_{△}=\frac{1}{2}ah$，平行四边形的面积$S_{\mathrm{平行四边形}}=ah$，
因此$S_{\mathrm{平行四边形}}=2S_{△}$。
根据题意可得：
$S_{△} + S_{\mathrm{平行四边形}} = 120$
代入$S_{\mathrm{平行四边形}}=2S_{△}$，得：
$S_{△} + 2S_{△} = 120$
$3S_{△}=120$
$S_{△}=40\ \mathrm{cm}^2$
因此平行四边形的面积为$2×40=80\ \mathrm{cm}^2$。
答：平行四边形的面积是$80\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形和平行四边形的面积公式，已知两者等底等高，可推导出平行四边形面积是三角形面积的2倍；此时可将三角形面积看作1份，平行四边形面积就是2份，两者面积和对应3份，结合总面积120cm²先求出1份（即三角形面积），再乘2即可得到平行四边形的面积。
【解析】
设三角形和平行四边形的底为$a$，高为$h$，
则三角形的面积$S_{△}=\frac{1}{2}ah$，平行四边形的面积$S_{\mathrm{平行四边形}}=ah$，
因此$S_{\mathrm{平行四边形}}=2S_{△}$。
根据题意可得：
$S_{△} + S_{\mathrm{平行四边形}} = 120$
代入$S_{\mathrm{平行四边形}}=2S_{△}$，得：
$S_{△} + 2S_{△} = 120$
$3S_{△}=120$
$S_{△}=40\ \mathrm{cm}^2$
因此平行四边形的面积为$2×40=80\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$80\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积公式；平行四边形面积公式；等底等高图形面积关系
【点评】
本题是基础的几何面积计算题，核心考查等底等高的三角形与平行四边形的面积倍数关系，解题的关键是先建立两者的面积数量关系，再结合面积和的条件求解，熟练掌握常见平面图形的面积公式即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形和平行四边形的面积公式，已知两者等底等高，可推导出平行四边形面积是三角形面积的2倍；此时可将三角形面积看作1份，平行四边形面积就是2份，两者面积和对应3份，结合总面积120cm²先求出1份（即三角形面积），再乘2即可得到平行四边形的面积。
【解析】
设三角形和平行四边形的底为$a$，高为$h$，
则三角形的面积$S_{△}=\frac{1}{2}ah$，平行四边形的面积$S_{\mathrm{平行四边形}}=ah$，
因此$S_{\mathrm{平行四边形}}=2S_{△}$。
根据题意可得：
$S_{△} + S_{\mathrm{平行四边形}} = 120$
代入$S_{\mathrm{平行四边形}}=2S_{△}$，得：
$S_{△} + 2S_{△} = 120$
$3S_{△}=120$
$S_{△}=40\ \mathrm{cm}^2$
因此平行四边形的面积为$2×40=80\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$80\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积公式；平行四边形面积公式；等底等高图形面积关系
【点评】
本题是基础的几何面积计算题，核心考查等底等高的三角形与平行四边形的面积倍数关系，解题的关键是先建立两者的面积数量关系，再结合面积和的条件求解，熟练掌握常见平面图形的面积公式即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
例2 一个三角形与一个平行四边形的面积相等,底也相等,已知三角形的高是20 cm,求平行四边形的高.
[分析与解]因为平行四边形的高 = 面积 ÷ 底,三角形的高 = 面积 × 2 ÷ 底,而已知平行四边形和三角形的面积相等、底相等,所以可知三角形的高是平行四边形高的2倍.已知三角形的高是20 cm,则平行四边形的高是20 ÷ 2 = 10(cm).
[分析与解]因为平行四边形的高 = 面积 ÷ 底,三角形的高 = 面积 × 2 ÷ 底,而已知平行四边形和三角形的面积相等、底相等,所以可知三角形的高是平行四边形高的2倍.已知三角形的高是20 cm,则平行四边形的高是20 ÷ 2 = 10(cm).
答案
解：
设三角形与平行四边形的相等的底长为$a\ \mathrm{cm}$，平行四边形的高为$h\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式，得该三角形的面积为：
$S_{△}=\frac{1}{2} × a × 20 = 10a$
根据平行四边形面积公式，得该平行四边形的面积为：
$S_{\mathrm{平行四边形}}=a · h$
由题意$S_{△}=S_{\mathrm{平行四边形}}$，因此：
$a · h = 10a$
因为底$a ≠ 0$，等式两边同时除以$a$，可得$h=10$。
答：平行四边形的高是10 cm。
设三角形与平行四边形的相等的底长为$a\ \mathrm{cm}$，平行四边形的高为$h\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式，得该三角形的面积为：
$S_{△}=\frac{1}{2} × a × 20 = 10a$
根据平行四边形面积公式，得该平行四边形的面积为：
$S_{\mathrm{平行四边形}}=a · h$
由题意$S_{△}=S_{\mathrm{平行四边形}}$，因此：
$a · h = 10a$
因为底$a ≠ 0$，等式两边同时除以$a$，可得$h=10$。
答：平行四边形的高是10 cm。
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：三角形与平行四边形面积相等、底边长相等，已知三角形的高为20cm，要求平行四边形的高。我们可以先回忆三角形和平行四边形的面积计算公式，通过设底边长和平行四边形的高为参数，利用“面积相等”这一条件建立等量关系，列出方程后求解即可；也可以直接通过两个面积公式推导，当面积和底相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍，直接计算结果。
【解析】
设三角形与平行四边形的相等的底长为$a\ \mathrm{cm}$，平行四边形的高为$h\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式，得该三角形的面积为：
$S_{△}=\frac{1}{2} × a × 20 = 10a$
根据平行四边形面积公式，得该平行四边形的面积为：
$S_{\mathrm{平行四边形}}=a · h$
由题意$S_{△}=S_{\mathrm{平行四边形}}$，因此：
$a · h = 10a$
因为底$a ≠ 0$，等式两边同时除以$a$，可得$h=10$。
答：平行四边形的高是10 cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
三角形面积计算、平行四边形面积计算、等式的性质
【点评】
本题侧重考查两类图形面积公式的灵活运用，解题核心是抓住面积相等的等量关系列等式求解，平时做题时可记住“等底等面积的三角形和平行四边形，三角形的高是平行四边形高的2倍”这一结论，能快速解决选择、填空类同类型题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：三角形与平行四边形面积相等、底边长相等，已知三角形的高为20cm，要求平行四边形的高。我们可以先回忆三角形和平行四边形的面积计算公式，通过设底边长和平行四边形的高为参数，利用“面积相等”这一条件建立等量关系，列出方程后求解即可；也可以直接通过两个面积公式推导，当面积和底相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍，直接计算结果。
【解析】
设三角形与平行四边形的相等的底长为$a\ \mathrm{cm}$，平行四边形的高为$h\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式，得该三角形的面积为：
$S_{△}=\frac{1}{2} × a × 20 = 10a$
根据平行四边形面积公式，得该平行四边形的面积为：
$S_{\mathrm{平行四边形}}=a · h$
由题意$S_{△}=S_{\mathrm{平行四边形}}$，因此：
$a · h = 10a$
因为底$a ≠ 0$，等式两边同时除以$a$，可得$h=10$。
答：平行四边形的高是10 cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
三角形面积计算、平行四边形面积计算、等式的性质
【点评】
本题侧重考查两类图形面积公式的灵活运用，解题核心是抓住面积相等的等量关系列等式求解，平时做题时可记住“等底等面积的三角形和平行四边形，三角形的高是平行四边形高的2倍”这一结论，能快速解决选择、填空类同类型题目。
【难度系数】
0.8
例3 有一个三角形和一个平行四边形,三角形的底是平行四边形底的3倍,高是平行四边形高的2倍,平行四边形的面积是60 cm²,求三角形的面积.
思维体操
[分析与解]设平行四边形的底为a cm,高为h cm,则平行四边形的面积为ah cm²,即ah = 60 cm².已知三角形的底是平行四边形底的3倍,高是平行四边形高的2倍,则三角形的底和高分别为3a cm,2h cm,那么,三角形的面积为3a × 2h ÷ 2 = 3ah = 3 × 60 = 180(cm²).
练一练:
1. 等底等高的平行四边形与三角形的面积之差是120 cm²,求三角形的面积.
2. 一个三角形和一个平行四边形的高相等,面积之和是60 cm²,平行四边形的底是三角形底的2倍,求三角形和平行四边形的面积分别是多少.
73
思维体操
[分析与解]设平行四边形的底为a cm,高为h cm,则平行四边形的面积为ah cm²,即ah = 60 cm².已知三角形的底是平行四边形底的3倍,高是平行四边形高的2倍,则三角形的底和高分别为3a cm,2h cm,那么,三角形的面积为3a × 2h ÷ 2 = 3ah = 3 × 60 = 180(cm²).
练一练:
1. 等底等高的平行四边形与三角形的面积之差是120 cm²,求三角形的面积.
2. 一个三角形和一个平行四边形的高相等,面积之和是60 cm²,平行四边形的底是三角形底的2倍,求三角形和平行四边形的面积分别是多少.
73
答案
解：设平行四边形的底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
由平行四边形面积公式，得$ah = 60\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意，三角形的底为$3a\ \mathrm{cm}$，高为$2h\ \mathrm{cm}$，
三角形的面积为：
$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × 3a × 2h = 3ah$
将$ah=60$代入，得$S_{\mathrm{三角形}}=3×60=180\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积为$180\ \mathrm{cm}^2$。
---
1. 解：设三角形的底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$，则与其等底等高的平行四边形底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
平行四边形面积为$ah\ \mathrm{cm}^2$，三角形面积为$\frac{1}{2}ah\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：
$ah - \frac{1}{2}ah = 120$
化简得$\frac{1}{2}ah = 120$，即三角形的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
---
2. 解：设三角形的底为$a\ \mathrm{cm}$，两者相等的高为$h\ \mathrm{cm}$，则平行四边形的底为$2a\ \mathrm{cm}$。
三角形面积$S_1=\frac{1}{2}ah$，平行四边形面积$S_2=2a· h=2ah$。
由题意得：
$\frac{1}{2}ah + 2ah = 60$
解得$ah=24$。
因此$S_1=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}^2$，$S_2=2×24=48\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积是$12\ \mathrm{cm}^2$，平行四边形的面积是$48\ \mathrm{cm}^2$。
由平行四边形面积公式，得$ah = 60\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意，三角形的底为$3a\ \mathrm{cm}$，高为$2h\ \mathrm{cm}$，
三角形的面积为：
$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × 3a × 2h = 3ah$
将$ah=60$代入，得$S_{\mathrm{三角形}}=3×60=180\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积为$180\ \mathrm{cm}^2$。
---
1. 解：设三角形的底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$，则与其等底等高的平行四边形底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
平行四边形面积为$ah\ \mathrm{cm}^2$，三角形面积为$\frac{1}{2}ah\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：
$ah - \frac{1}{2}ah = 120$
化简得$\frac{1}{2}ah = 120$，即三角形的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
---
2. 解：设三角形的底为$a\ \mathrm{cm}$，两者相等的高为$h\ \mathrm{cm}$，则平行四边形的底为$2a\ \mathrm{cm}$。
三角形面积$S_1=\frac{1}{2}ah$，平行四边形面积$S_2=2a· h=2ah$。
由题意得：
$\frac{1}{2}ah + 2ah = 60$
解得$ah=24$。
因此$S_1=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}^2$，$S_2=2×24=48\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积是$12\ \mathrm{cm}^2$，平行四边形的面积是$48\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解决这组题可借助设参数的思路，无需算出底、高的具体数值，利用整体代入简化计算：
1. 例3：设平行四边形的底、高分别为参数，根据已知条件表示出三角形的底和高，代入三角形面积公式后，将平行四边形面积整体代入即可求解。
2. 练1：等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，两者的面积差恰好等于三角形的面积，也可设参数表示两者面积后结合差值条件求解。
3. 练2：设三角形的底和两者共同的高为参数，分别表示出两个图形的面积，结合面积和的条件列方程求出参数乘积，再代入计算两个图形的面积即可。
【解析】
例3
解：设平行四边形的底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
由平行四边形面积公式，得$ah = 60\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意，三角形的底为$3a\ \mathrm{cm}$，高为$2h\ \mathrm{cm}$，
三角形的面积为：
$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × 3a × 2h = 3ah$
将$ah=60$代入，得$S_{\mathrm{三角形}}=3×60=180\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积为$180\ \mathrm{cm}^2$。
---
练一练1
解：设三角形的底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$，则与其等底等高的平行四边形底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
平行四边形面积为$ah\ \mathrm{cm}^2$，三角形面积为$\frac{1}{2}ah\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：
$ah - \frac{1}{2}ah = 120$
化简得$\frac{1}{2}ah = 120$，即三角形的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
---
练一练2
解：设三角形的底为$a\ \mathrm{cm}$，两者相等的高为$h\ \mathrm{cm}$，则平行四边形的底为$2a\ \mathrm{cm}$。
三角形面积$S_1=\frac{1}{2}ah$，平行四边形面积$S_2=2a· h=2ah$。
由题意得：
$\frac{1}{2}ah + 2ah = 60$
解得$ah=24$。
因此$S_1=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}^2$，$S_2=2×24=48\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积是$12\ \mathrm{cm}^2$，平行四边形的面积是$48\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
例3：$\boxed{180\ \mathrm{cm}^2}$；
练一练1：$\boxed{120\ \mathrm{cm}^2}$；
练一练2：三角形面积$\boxed{12\ \mathrm{cm}^2}$，平行四边形面积$\boxed{48\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形面积计算、三角形面积计算、整体代入求值
【点评】
这组题重点考查平行四边形和三角形面积公式的灵活运用，通过设参数、整体代入的方法能避免计算未知量的具体值，大幅简化计算过程，解题的关键是准确梳理两个图形底、高、面积之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解决这组题可借助设参数的思路，无需算出底、高的具体数值，利用整体代入简化计算：
1. 例3：设平行四边形的底、高分别为参数，根据已知条件表示出三角形的底和高，代入三角形面积公式后，将平行四边形面积整体代入即可求解。
2. 练1：等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，两者的面积差恰好等于三角形的面积，也可设参数表示两者面积后结合差值条件求解。
3. 练2：设三角形的底和两者共同的高为参数，分别表示出两个图形的面积，结合面积和的条件列方程求出参数乘积，再代入计算两个图形的面积即可。
【解析】
例3
解：设平行四边形的底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
由平行四边形面积公式，得$ah = 60\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意，三角形的底为$3a\ \mathrm{cm}$，高为$2h\ \mathrm{cm}$，
三角形的面积为：
$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × 3a × 2h = 3ah$
将$ah=60$代入，得$S_{\mathrm{三角形}}=3×60=180\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积为$180\ \mathrm{cm}^2$。
---
练一练1
解：设三角形的底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$，则与其等底等高的平行四边形底为$a\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$。
平行四边形面积为$ah\ \mathrm{cm}^2$，三角形面积为$\frac{1}{2}ah\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：
$ah - \frac{1}{2}ah = 120$
化简得$\frac{1}{2}ah = 120$，即三角形的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
---
练一练2
解：设三角形的底为$a\ \mathrm{cm}$，两者相等的高为$h\ \mathrm{cm}$，则平行四边形的底为$2a\ \mathrm{cm}$。
三角形面积$S_1=\frac{1}{2}ah$，平行四边形面积$S_2=2a· h=2ah$。
由题意得：
$\frac{1}{2}ah + 2ah = 60$
解得$ah=24$。
因此$S_1=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}^2$，$S_2=2×24=48\ \mathrm{cm}^2$。
答：三角形的面积是$12\ \mathrm{cm}^2$，平行四边形的面积是$48\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
例3：$\boxed{180\ \mathrm{cm}^2}$；
练一练1：$\boxed{120\ \mathrm{cm}^2}$；
练一练2：三角形面积$\boxed{12\ \mathrm{cm}^2}$，平行四边形面积$\boxed{48\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形面积计算、三角形面积计算、整体代入求值
【点评】
这组题重点考查平行四边形和三角形面积公式的灵活运用，通过设参数、整体代入的方法能避免计算未知量的具体值，大幅简化计算过程，解题的关键是准确梳理两个图形底、高、面积之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
