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25.如图,小正方形的边长为1,连接小正方形的三个顶点得△ABC,则△ABC的面积是,AC边上的高是.
（第25题图）
（第26题图）
（第25题图）
（第26题图）
答案
$\frac{3}{2}$；$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
解析
解：
用割补法计算△ABC的面积：
由4个边长为1的小正方形组成的大正方形总面积为 $ 2 × 2 = 4 $。
△ABC外部的三个直角三角形的面积分别为：
$ S_1 = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1 $，
$ S_2 = \frac{1}{2} × 1 × 1 = \frac{1}{2} $，
$ S_3 = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1 $。
因此 $ S_{△ ABC} = 4 - S_1 - S_2 - S_3 = 4 - 1 - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} $。
由勾股定理得AC的长度：
$ AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $。
设AC边上的高为h，由三角形面积公式 $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · h $，代入得：
$ \frac{3}{2} = \frac{1}{2} × \sqrt{5} × h $，
解得 $ h = \frac{3\sqrt{5}}{5} $。
用割补法计算△ABC的面积：
由4个边长为1的小正方形组成的大正方形总面积为 $ 2 × 2 = 4 $。
△ABC外部的三个直角三角形的面积分别为：
$ S_1 = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1 $，
$ S_2 = \frac{1}{2} × 1 × 1 = \frac{1}{2} $，
$ S_3 = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1 $。
因此 $ S_{△ ABC} = 4 - S_1 - S_2 - S_3 = 4 - 1 - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} $。
由勾股定理得AC的长度：
$ AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $。
设AC边上的高为h，由三角形面积公式 $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · h $，代入得：
$ \frac{3}{2} = \frac{1}{2} × \sqrt{5} × h $，
解得 $ h = \frac{3\sqrt{5}}{5} $。
26.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处.过了5 s后,测得这辆小汽车行驶到B处,与车速检测仪间的距离为50 m,则这段时间内这辆小汽车的行驶速度是 m/s.
答案
8
解析
解：由题意得，∠C=90°，AC=30 m，AB=50 m。
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
BC = √(AB² - AC²) = √(50² - 30²) = √1600 = 40 (m)
则小汽车的行驶速度为 40 ÷ 5 = 8 (m/s)
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
BC = √(AB² - AC²) = √(50² - 30²) = √1600 = 40 (m)
则小汽车的行驶速度为 40 ÷ 5 = 8 (m/s)
27.如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$∠ B＝45°$，$∠ C＝60°$，$AD＝\sqrt{3}$.
(1)求$BD$，$CD$的长；
(2)求$△ ABC$的面积及$BC$的长.
(1)求$BD$，$CD$的长；
(2)求$△ ABC$的面积及$BC$的长.
答案
解：
(1) ∵ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=45°$，
∴ $∠ BAD = 90° - ∠ B = 45°$，
∴ $∠ BAD = ∠ B$，
∴ $BD = AD = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=60°$，
∴ $∠ DAC = 90° - ∠ C = 30°$，
∴ $AC = 2CD$。
设$CD=x$，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
即 $(\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$，
整理得 $3 + x^2 = 4x^2$，
解得 $x=1$（边长为正，舍去负根），
∴ $CD = 1$。
(2) $BC = BD + CD = \sqrt{3} + 1$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2} × (\sqrt{3} + 1) × \sqrt{3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$。
综上，$BD=\sqrt{3}$，$CD=1$；$BC=\sqrt{3}+1$，$△ ABC$的面积为$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。
(1) ∵ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=45°$，
∴ $∠ BAD = 90° - ∠ B = 45°$，
∴ $∠ BAD = ∠ B$，
∴ $BD = AD = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=60°$，
∴ $∠ DAC = 90° - ∠ C = 30°$，
∴ $AC = 2CD$。
设$CD=x$，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
即 $(\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$，
整理得 $3 + x^2 = 4x^2$，
解得 $x=1$（边长为正，舍去负根），
∴ $CD = 1$。
(2) $BC = BD + CD = \sqrt{3} + 1$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2} × (\sqrt{3} + 1) × \sqrt{3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$。
综上，$BD=\sqrt{3}$，$CD=1$；$BC=\sqrt{3}+1$，$△ ABC$的面积为$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。
28.某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过测量得到如下记录表：
测量示意图：
测量数据：
①测得水平距离BC的长为24 m
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25 m
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7 m
数据处理组得到上面数据以后做了分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD.
(1)如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$AB=25\ \mathrm{m}$，求线段$AD$的长；
(2)如果小明想要风筝沿$DA$方向再上升$11\ \mathrm{m}$，$BC$的长度不变，则他应该再放出多少米线？
测量示意图：
测量数据：
①测得水平距离BC的长为24 m
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25 m
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7 m
数据处理组得到上面数据以后做了分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD.
(1)如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$AB=25\ \mathrm{m}$，求线段$AD$的长；
(2)如果小明想要风筝沿$DA$方向再上升$11\ \mathrm{m}$，$BC$的长度不变，则他应该再放出多少米线？
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$
$\because AC＞0$，$\therefore AC=7\ \mathrm{m}$
由题意得$CD=1.7\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD = AC + CD = 7 + 1.7 = 8.7\ \mathrm{m}$
(2) 设风筝沿DA上升11m后到达点$A'$，连接$A'B$，
则$A'C = AC + 11 = 7 + 11 = 18\ \mathrm{m}$，$∠ A'CB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ A'BC$中，根据勾股定理：
$A'B^2 = A'C^2 + BC^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$
$\because A'B＞0$，$\therefore A'B=30\ \mathrm{m}$
需要再放出的线长为：$30 - 25 = 5\ \mathrm{m}$
答：(1)线段AD的长为$8.7\ \mathrm{m}$；(2)他应该再放出5米线。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$
$\because AC＞0$，$\therefore AC=7\ \mathrm{m}$
由题意得$CD=1.7\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD = AC + CD = 7 + 1.7 = 8.7\ \mathrm{m}$
(2) 设风筝沿DA上升11m后到达点$A'$，连接$A'B$，
则$A'C = AC + 11 = 7 + 11 = 18\ \mathrm{m}$，$∠ A'CB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ A'BC$中，根据勾股定理：
$A'B^2 = A'C^2 + BC^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$
$\because A'B＞0$，$\therefore A'B=30\ \mathrm{m}$
需要再放出的线长为：$30 - 25 = 5\ \mathrm{m}$
答：(1)线段AD的长为$8.7\ \mathrm{m}$；(2)他应该再放出5米线。
