【变式2】函数$y=\sqrt{1-\tan(x-\frac{π}{4})}+\sqrt{4-x^2}$的定义域为。

$[-2,-\dfrac{π}{2}]\cup(-\dfrac{π}{4},\dfrac{π}{2}]$ 由题意，得
$\begin{cases}1-\tan(x-\dfrac{π}{4})\ge0,\\4-x^2\ge0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}kπ-\dfrac{π}{4}＜x\le \dfrac{π}{2}+kπ,k\in\mathbf{Z},\\-2\le x\le2,\end{cases}$
在数轴上表示如图所示，
所以$x\in[-2,-\dfrac{π}{2}]\cup(-\dfrac{π}{4},\dfrac{π}{2}]$。

【变式3】求函数$y=-\tan^2 x + 4\tan x + 1$，$x\in[-\dfrac{π}{4},\dfrac{π}{4}]$的值域。

解：因为$x\in[-\dfrac{π}{4},\dfrac{π}{4}]$，所以$-1\le \tan x\le1$。
令$\tan x=t$，则$t\in[-1,1]$，
且函数$y=-t^2+4t+1=-(t-2)^2+5$。
当$t=-1$，即$x=-\dfrac{π}{4}$时，$y_{\min}=-4$，
当$t=1$，即$x=\dfrac{π}{4}$时，$y_{\max}=4$，
故所求函数的值域为$[-4,4]$。

【典例3】函数$y=\tan(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{π}{4})$的单调递减区间为________。
解题指导 首先化简函数为$y=-\tan(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{4})$，$y=\tan(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{4})$的单调递增区间即为$y=-\tan(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{4})$的单调递减区间，然后利用正切函数的单调性，即可求解。
解析 $y=\tan(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{π}{4})=-\tan(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{4})$。由$kπ-\dfrac{π}{2}＜\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{4}＜kπ+\dfrac{π}{2},k\in\mathbf{Z}$，得$2kπ-\dfrac{π}{2}＜x＜2kπ+\dfrac{3π}{2},k\in\mathbf{Z}$，所以函数$y=\tan(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{π}{4})$的单调递减区间为$(2kπ-\dfrac{π}{2},2kπ+\dfrac{3π}{2}),k\in\mathbf{Z}$。
答案 $(2kπ-\dfrac{π}{2},2kπ+\dfrac{3π}{2}),k\in\mathbf{Z}$

$\boldsymbol{(2kπ-\dfrac{π}{2},2kπ+\dfrac{3π}{2}),k\in\mathbf{Z}}$

解：
先对函数变形：
$y=\tan(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{π}{4})=-\tan(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{4})$
原函数的单调递减区间等价于函数$y=\tan(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{4})$的单调递增区间。
由正切函数的单调性，令
$kπ-\dfrac{π}{2}＜\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{4}＜kπ+\dfrac{π}{2},\ k\in\mathbf{Z}$
对不等式进行求解：
三边同时加$\dfrac{π}{4}$，得$kπ-\dfrac{π}{4}＜\dfrac{1}{2}x＜kπ+\dfrac{3π}{4},\ k\in\mathbf{Z}$，
三边同时乘以2，得$2kπ-\dfrac{π}{2}＜x＜2kπ+\dfrac{3π}{2},\ k\in\mathbf{Z}$。
因此函数$y=\tan(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{π}{4})$的单调递减区间为$(2kπ-\dfrac{π}{2},2kπ+\dfrac{3π}{2}),k\in\mathbf{Z}$。