11 教材P110 习题16.2第4题变式 计算：
(1) $\dfrac{1}{3}a^{2}b^{3}· (3ab^{2})^{2}÷ 6(a^{2}b^{3})^{2}$；
(2) $(-52x^{n+4}+20x^{n+2}-4x^{n-2})÷ (-4x^{n-2})$；
(3) $[x(x^{2}y^{2}-xy)-y(x^{2}-x^{3}y)]÷ (-3x^{2}y).$

(1) $\dfrac{b}{2}$ (2) $13x^{6}-5x^{4}+1$ (3) $-\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{2}{3}$

【分析】
本题是整式乘除混合运算的变式题，解题思路为：①先处理所有幂的乘方、积的乘方运算；②遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，同级运算从左到右；③多项式除以单项式时，将多项式每一项分别除以单项式，再合并结果，计算时注意指数运算规则和符号变化。
【解析】
(1) 先算积的乘方：
$(3ab^2)^2 = 9a^2b^4$，$(a^2b^3)^2 = a^4b^6$
原式$=\frac{1}{3}a^2b^3 · 9a^2b^4 ÷ 6a^4b^6$
$=(3a^4b^7) ÷ 6a^4b^6$
$=\frac{1}{2}b$
(2) 多项式除以单项式，逐项计算：
原式$=(-52x^{n+4})÷(-4x^{n-2}) + 20x^{n+2}÷(-4x^{n-2}) - 4x^{n-2}÷(-4x^{n-2})$
$=13x^{(n+4)-(n-2)} -5x^{(n+2)-(n-2)} +1$
$=13x^6 -5x^4 +1$
(3) 先算括号内的乘法，再合并同类项：
$x(x^2y^2 -xy) = x^3y^2 -x^2y$
$y(x^2 -x^3y) = x^2y -x^3y^2$
括号内结果：$x^3y^2 -x^2y -x^2y +x^3y^2 = 2x^3y^2 -2x^2y$
再除以单项式：
原式$=(2x^3y^2 -2x^2y)÷(-3x^2y)$
$=2x^3y^2÷(-3x^2y) -2x^2y÷(-3x^2y)$
$=-\frac{2}{3}xy + \frac{2}{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{b}{2}$；(2) $13x^{6}-5x^{4}+1$；(3) $-\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{2}{3}$
【知识点】
整式乘除混合运算、幂的乘方与积的乘方、多项式除以单项式
【点评】
本题是教材习题的变式题，聚焦整式运算的核心法则，需熟练掌握幂的运算性质和运算顺序，易错点为指数计算和符号处理，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.5

12 教材 P111 习题 16.2 第7题变式 先化简,再求值: $(3a^{2}b-ab^{2}-2b^{3})÷b-(a-2b)(b-2a)$,其中$a,b$ 满足 $(a-1)^{2}+|b+1|=0.$

原式$=3a^{2}-ab-2b^{2}-ab+2a^{2}+2b^{2}-4ab=5a^{2}-6ab.$
$\because (a-1)^{2}+|b+1|=0,\therefore a=1,b=-1.$ 当 $a=1,b=-1$ 时,原式$=5×1^{2}-6×1×(-1)=5+6=11$

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路如下：
1. 先计算多项式除以单项式：将被除式的每一项分别除以b，得到对应结果；
2. 计算多项式乘多项式：利用分配律展开(a-2b)(b-2a)，注意各项符号；
3. 合并两部分结果，去括号后合并同类项，完成式子化简；
4. 根据平方和绝对值的非负性，由(a-1)² + |b+1|=0求出a、b的值；
5. 将a、b的值代入化简后的式子，计算最终结果。
【解析】
解：
1. 计算多项式除以单项式：
(3a²b - ab² - 2b³)÷b = 3a² - ab - 2b²；
2. 计算多项式乘多项式：
(a - 2b)(b - 2a) = ab - 2a² - 2b² + 4ab；
3. 合并化简式子：
原式 = (3a² - ab - 2b²) - (ab - 2a² - 2b² + 4ab)
= 3a² - ab - 2b² - ab + 2a² + 2b² - 4ab
= 5a² - 6ab；
4. 求a、b的值：
∵ (a-1)²≥0，|b+1|≥0，且(a-1)² + |b+1|=0，
∴ a-1=0，b+1=0，解得a=1，b=-1；
5. 代入求值：
当a=1，b=-1时，
原式=5×1² -6×1×(-1)=5+6=11。
【答案】
11
【知识点】
整式的混合运算、非负数的性质、代数式求值
【点评】
本题考查整式化简求值，需掌握多项式除以单项式、多项式乘多项式的运算法则，以及利用非负数性质求字母值的方法，计算时注意符号处理，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.6

13 已知 $(y^{2})^{m}· (x^{n+1})^{2}÷ (x^{n}y)=x^{3}y^{3}$,求 $m,n$ 的值.

根据题意,得 $x^{n+2}y^{2m-1}=x^{3}y^{3}.\therefore 2m-1=3,n+2=3$,解得 $m=2,n=1$

【分析】
要解决这道题，需先对等式左边的代数式进行化简，运用幂的相关运算法则将其整理为x和y的幂的形式，再根据等式两边同类项的指数相等，列出关于m、n的方程，进而求解。
【解析】
1. 化简左边式子：
根据幂的乘方法则：$(a^b)^c = a^{bc}$，可得$(y^2)^m = y^{2m}$，$(x^{n+1})^2 = x^{2(n+1)} = x^{2n+2}$；
根据同底数幂的乘除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对左边式子计算：
$x^{2n+2} · y^{2m} ÷ (x^n y) = x^{(2n+2)-n} · y^{2m -1} = x^{n+2} y^{2m -1}$；
2. 对比等式两边：
因为$x^{n+2} y^{2m -1} = x^3 y^3$，同类项的指数相等，因此列方程：
$\begin{cases} n + 2 = 3 \\ 2m -1 = 3 \end{cases}$；
3. 解方程：
解$n +2=3$，得$n=1$；
解$2m -1=3$，得$2m=4$，即$m=2$；
【答案】
$m=2$，$n=1$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘除运算、同类项指数相等
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，核心是熟练运用幂的乘方、同底数幂的乘除法法则化简式子，再利用等式性质列方程求解，属于基础题型，掌握基本运算法则即可解答。
【难度系数】
0.3

14 阅读材料：
由于$(x+3)(x-2)=x^{2}+x-6$，多项式$x^{2}+x-6$能被$x-2$整除，同时也说明多项式$x^{2}+x-6$有因式$x-2$，且当$x=2$时，多项式$x^{2}+x-6$的值为0.
(1) 根据上面的材料猜想：多项式的值为0，多项式有因式$x-2$，多项式能被$x-2$整除，$x-2=0$这之间存在着一种什么样的联系？
(2) 探索规律：一般地，如果一个关于$x$的多项式$M$，当$x=k$时，$M$的值为0，那么$M$与式子$x-k$之间有何种关系？
(3) 应用：已知$x^{2}+kx-14$能被$x-2$整除，求$k$的值.

(1) 若多项式有因式 $x-2$,则此多项式能被 $x-2$ 整除;若$x-2=0$,则此多项式的值为 0
(2) $M$ 能被 $x-k$ 整除
(3) $\because x-2$ 能整除 $x^{2}+kx-14,\therefore$ 当 $x-2=0$ 时,$x^{2}+kx-14=0$,即当 $x=2$ 时,$x^{2}+kx-14=4+2k-14=0$,解得 $k=5$

【分析】
首先阅读给定材料，明确材料中多项式有因式、能被整除、x取某值时多项式值为0之间的对应关系；第(1)问需从材料实例中总结这几个概念的联系；第(2)问是将实例中的特殊情况推广到一般多项式的规律；第(3)问则是运用总结出的规律，代入x的值计算k的值。
【解析】
(1) 由材料中“多项式$x^2+x-6$有因式$x-2$，能被$x-2$整除，且当$x=2$时，多项式值为0”可知：若多项式有因式$x-2$，则此多项式能被$x-2$整除；若$x-2=0$，则此多项式的值为0。
(2) 结合第(1)问的规律，推广到一般情况：若关于$x$的多项式$M$，当$x=k$时，$M$的值为0，则$M$能被$x-k$整除。
(3) 已知$x^2+kx-14$能被$x-2$整除，根据上述规律，当$x-2=0$即$x=2$时，$x^2+kx-14=0$。将$x=2$代入多项式得：$2^2 + 2k -14 =0$，计算得$4 +2k -14=0$，即$2k=10$，解得$k=5$。
【答案】
(1) 若多项式有因式$x-2$，则此多项式能被$x-2$整除；若$x-2=0$，则此多项式的值为0。
(2) $M$能被$x-k$整除。
(3) $k=5$
【知识点】
因式定理，多项式的整除
【点评】
本题为材料阅读型题目，重点考查学生对材料信息的理解、规律总结与应用能力，难度较低，只要理清材料中多项式因式、整除、取值为0的关系即可顺利解答，是初中整式部分的基础题型。
【难度系数】
0.7