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1 [2026 海门期中]下列各式从左到右的变形为因式分解的是
（
A.$x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy$
B.$x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$
C.$(a+2)(a-1)=a^{2}+a-2$
D.$a^{2}-4+3a=(a+2)(a-2)+3a$
（
B
）A.$x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy$
B.$x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$
C.$(a+2)(a-1)=a^{2}+a-2$
D.$a^{2}-4+3a=(a+2)(a-2)+3a$
答案
1. B
解析
【分析】首先明确因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需满足两个关键条件：①左边是多项式；②右边是几个整式的乘积形式。接下来逐一分析选项，排除不符合的选项，选出正确答案。
【解析】根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：右边为$(x-y)^2 + 2xy$，是整式的和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，错误；
选项B：左边是多项式$x^2 -8x +16$，右边是两个整式$(x-4)$的乘积$(x-4)^2$，符合因式分解定义，正确；
选项C：是从两个整式的积$(a+2)(a-1)$变形为多项式$a^2+a-2$，属于整式乘法，不是因式分解，错误；
选项D：右边为$(a+2)(a-2)+3a$，是整式的和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，错误。
【答案】B
【知识点】因式分解的定义，整式的乘法
【点评】本题考查因式分解的基本概念，属于基础题型，只要准确掌握因式分解的定义即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：右边为$(x-y)^2 + 2xy$，是整式的和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，错误；
选项B：左边是多项式$x^2 -8x +16$，右边是两个整式$(x-4)$的乘积$(x-4)^2$，符合因式分解定义，正确；
选项C：是从两个整式的积$(a+2)(a-1)$变形为多项式$a^2+a-2$，属于整式乘法，不是因式分解，错误；
选项D：右边为$(a+2)(a-2)+3a$，是整式的和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，错误。
【答案】B
【知识点】因式分解的定义，整式的乘法
【点评】本题考查因式分解的基本概念，属于基础题型，只要准确掌握因式分解的定义即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8
2 多项式$8x^{2}y^{4}-12xy^{2}z$的公因式为（
A.$4x^{2}y^{2}$
B.$4xyz$
C.$4x^{2}y^{4}$
D.$4xy^{2}$
D
）A.$4x^{2}y^{2}$
B.$4xyz$
C.$4x^{2}y^{4}$
D.$4xy^{2}$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照“系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂”的规则计算。先分析多项式$8x^{2}y^{4}-12xy^{2}z$的各项：①系数部分：8和12的最大公约数是4；②字母部分：两项共有的字母是x和y，x的次数分别为2和1，取最低次1；y的次数分别为4和2，取最低次2；z仅在第二项出现，不纳入公因式。组合后得到公因式，再对应选项即可。
【解析】
多项式公因式的求解步骤：
1. 计算系数的最大公约数：8和12的最大公约数为4；
2. 确定相同字母的最低次幂：两项都含有的字母是x、y，x的最低次幂为$x^1$，y的最低次幂为$y^2$；
3. 组合公因式：将系数与字母部分组合，得到公因式为$4xy^{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式公因式的确定
【点评】
本题考查多项式公因式的基础求法，属于常规基础题，只要掌握公因式的确定规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需按照“系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂”的规则计算。先分析多项式$8x^{2}y^{4}-12xy^{2}z$的各项：①系数部分：8和12的最大公约数是4；②字母部分：两项共有的字母是x和y，x的次数分别为2和1，取最低次1；y的次数分别为4和2，取最低次2；z仅在第二项出现，不纳入公因式。组合后得到公因式，再对应选项即可。
【解析】
多项式公因式的求解步骤：
1. 计算系数的最大公约数：8和12的最大公约数为4；
2. 确定相同字母的最低次幂：两项都含有的字母是x、y，x的最低次幂为$x^1$，y的最低次幂为$y^2$；
3. 组合公因式：将系数与字母部分组合，得到公因式为$4xy^{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式公因式的确定
【点评】
本题考查多项式公因式的基础求法，属于常规基础题，只要掌握公因式的确定规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
3 分解因式：$12abc-9a^{2}b^{2}c^{2}=$
3abc(4−3abc)
.答案
3. 3abc(4−3abc)
解析
【分析】
要对多项式$12abc - 9a^{2}b^{2}c^{2}$因式分解，首先确定各项的公因式：系数的最大公约数是3，相同字母$a$、$b$、$c$的最低次幂均为1次，因此公因式为$3abc$；再通过提取公因式的方法，将多项式转化为公因式与剩余项乘积的形式。
【解析】
解：$12abc - 9a^{2}b^{2}c^{2}$
$= 3abc · 4 - 3abc · 3abc$
$= 3abc(4 - 3abc)$
【答案】
$3abc(4 - 3abc)$
【知识点】
因式分解；提公因式法
【点评】
本题考查因式分解的基础方法——提公因式法，属于常规基础题，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，直接提取即可完成分解。
【难度系数】
0.8
要对多项式$12abc - 9a^{2}b^{2}c^{2}$因式分解，首先确定各项的公因式：系数的最大公约数是3，相同字母$a$、$b$、$c$的最低次幂均为1次，因此公因式为$3abc$；再通过提取公因式的方法，将多项式转化为公因式与剩余项乘积的形式。
【解析】
解：$12abc - 9a^{2}b^{2}c^{2}$
$= 3abc · 4 - 3abc · 3abc$
$= 3abc(4 - 3abc)$
【答案】
$3abc(4 - 3abc)$
【知识点】
因式分解；提公因式法
【点评】
本题考查因式分解的基础方法——提公因式法，属于常规基础题，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，直接提取即可完成分解。
【难度系数】
0.8
4 把下列各式分解因式：
(1) $4a^{3}b^{2}-14ab^{2}c$；
(2) $6b(a+b)-4a(a+b)$；
(3) $(a-b)^{2}-3(a-b).$
(1) $4a^{3}b^{2}-14ab^{2}c$；
(2) $6b(a+b)-4a(a+b)$；
(3) $(a-b)^{2}-3(a-b).$
答案
4. (1) $2ab^{2}(2a^{2}-7c)$ (2) $2(a+b)(3b-2a)$
(3) $(a-b)(a-b-3)$
(3) $(a-b)(a-b-3)$
解析
【分析】
本题考查因式分解的基本方法——提公因式法，解题思路是：先确定每个式子各项的公因式（公因式可以是单项式或多项式），再将公因式提取出来，剩余部分组成新的多项式，注意提取公因式后各项的符号要正确，确保分解彻底。
【解析】
(1) 对于$4a^{3}b^{2}-14ab^{2}c$，先确定公因式：系数的最大公约数为2，相同字母的最低次幂为$a^1b^2$，因此公因式为$2ab^2$；提取公因式得：
$4a^{3}b^{2}-14ab^{2}c = 2ab^2(2a^2 - 7c)$；
(2) 对于$6b(a+b)-4a(a+b)$，两项都含有公因式$(a+b)$，系数的最大公约数为2，因此公因式为$2(a+b)$；提取公因式得：
$6b(a+b)-4a(a+b) = 2(a+b)(3b - 2a)$；
(3) 对于$(a-b)^{2}-3(a-b)$，两项都含有公因式$(a-b)$，提取公因式得：
$(a-b)^{2}-3(a-b) = (a-b)(a - b - 3)$；
【答案】
(1) $2ab^{2}(2a^{2}-7c)$；(2) $2(a+b)(3b-2a)$；(3) $(a-b)(a-b-3)$
【知识点】
因式分解-提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考察提公因式法的应用，需准确识别单项式或多项式形式的公因式，是后续因式分解学习的关键基础，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
本题考查因式分解的基本方法——提公因式法，解题思路是：先确定每个式子各项的公因式（公因式可以是单项式或多项式），再将公因式提取出来，剩余部分组成新的多项式，注意提取公因式后各项的符号要正确，确保分解彻底。
【解析】
(1) 对于$4a^{3}b^{2}-14ab^{2}c$，先确定公因式：系数的最大公约数为2，相同字母的最低次幂为$a^1b^2$，因此公因式为$2ab^2$；提取公因式得：
$4a^{3}b^{2}-14ab^{2}c = 2ab^2(2a^2 - 7c)$；
(2) 对于$6b(a+b)-4a(a+b)$，两项都含有公因式$(a+b)$，系数的最大公约数为2，因此公因式为$2(a+b)$；提取公因式得：
$6b(a+b)-4a(a+b) = 2(a+b)(3b - 2a)$；
(3) 对于$(a-b)^{2}-3(a-b)$，两项都含有公因式$(a-b)$，提取公因式得：
$(a-b)^{2}-3(a-b) = (a-b)(a - b - 3)$；
【答案】
(1) $2ab^{2}(2a^{2}-7c)$；(2) $2(a+b)(3b-2a)$；(3) $(a-b)(a-b-3)$
【知识点】
因式分解-提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考察提公因式法的应用，需准确识别单项式或多项式形式的公因式，是后续因式分解学习的关键基础，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
5 已知$9x^{2}+mxy+16y^{2}$能运用完全平方公式分解因式，则$m$的值为（
A.$12$
B.$\pm12$
C.$24$
D.$\pm24$
D
）A.$12$
B.$\pm12$
C.$24$
D.$\pm24$
答案
5. D
解析
【分析】要解决本题，需利用完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的二次三项式可分解为$(a\pm b)^2$。题目中的多项式是二次三项式，能运用完全平方公式分解，因此先确定首项和末项对应的平方项，再推导中间项的系数$m$。
【解析】因为$9x^2 + mxy +16y^2$能运用完全平方公式分解因式，将其改写为$(3x)^2 + mxy + (4y)^2$。根据完全平方公式，中间项应为$\pm2×3x×4y=\pm24xy$，因此$mxy=\pm24xy$，即$m=\pm24$。
【答案】D
【知识点】因式分解、完全平方公式
【点评】本题考查完全平方公式的应用，核心是掌握完全平方式的结构特征，需注意中间项有正负两种情况，避免只取正号导致漏解。
【难度系数】0.6
【解析】因为$9x^2 + mxy +16y^2$能运用完全平方公式分解因式，将其改写为$(3x)^2 + mxy + (4y)^2$。根据完全平方公式，中间项应为$\pm2×3x×4y=\pm24xy$，因此$mxy=\pm24xy$，即$m=\pm24$。
【答案】D
【知识点】因式分解、完全平方公式
【点评】本题考查完全平方公式的应用，核心是掌握完全平方式的结构特征，需注意中间项有正负两种情况，避免只取正号导致漏解。
【难度系数】0.6
6 分解因式：
(1) $2m^{2}-18=$
(2) $(2a-b)^{2}+8ab=$
(1) $2m^{2}-18=$
2(m+3)(m−3)
；(2) $(2a-b)^{2}+8ab=$
(2a+b)²
.答案
6. (1) $2(m+3)(m-3)$ (2) $(2a+b)^{2}$
解析
【分析】
因式分解需优先观察多项式结构，先考虑提公因式法，再结合公式法（平方差、完全平方公式）分解，确保分解彻底。
(1) 式子$2m^2 -18$，先提取公因式，剩余部分符合平方差公式，可继续分解；
(2) 式子$(2a - b)^2 +8ab$，先展开完全平方项，合并同类项后符合完全平方公式，再分解即可。
【解析】
(1) 提取公因式：
$2m^2 -18 = 2(m^2 -9)$
利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$=2(m+3)(m-3)$
(2) 展开完全平方项：
$(2a - b)^2 +8ab = 4a^2 -4ab +b^2 +8ab$
合并同类项：
$=4a^2 +4ab +b^2$
利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$分解：
$=(2a + b)^2$
【答案】
(1) $2(m+3)(m-3)$；(2) $(2a+b)^{2}$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，需熟练掌握提公因式法和公式法，分解时要彻底，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
因式分解需优先观察多项式结构，先考虑提公因式法，再结合公式法（平方差、完全平方公式）分解，确保分解彻底。
(1) 式子$2m^2 -18$，先提取公因式，剩余部分符合平方差公式，可继续分解；
(2) 式子$(2a - b)^2 +8ab$，先展开完全平方项，合并同类项后符合完全平方公式，再分解即可。
【解析】
(1) 提取公因式：
$2m^2 -18 = 2(m^2 -9)$
利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$=2(m+3)(m-3)$
(2) 展开完全平方项：
$(2a - b)^2 +8ab = 4a^2 -4ab +b^2 +8ab$
合并同类项：
$=4a^2 +4ab +b^2$
利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$分解：
$=(2a + b)^2$
【答案】
(1) $2(m+3)(m-3)$；(2) $(2a+b)^{2}$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，需熟练掌握提公因式法和公式法，分解时要彻底，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
7 把下列各式分解因式：
(1) $-x^{2}y+6xy-9y$；
(2) $x^{3}-25x$；
(3) $3a^{2}+6ab+3b^{2}$；
(4) $(a+b)^{2}-4a(a+b)+4a^{2}.$
(1) $-x^{2}y+6xy-9y$；
(2) $x^{3}-25x$；
(3) $3a^{2}+6ab+3b^{2}$；
(4) $(a+b)^{2}-4a(a+b)+4a^{2}.$
答案
7. (1) $-y(x-3)^{2}$ (2) $x(x+5)(x-5)$ (3) $3(a+b)^{2}$
(4) $(b-a)^{2}$
(4) $(b-a)^{2}$
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套”的核心思路：先提取各项的公因式，再套用平方差公式、完全平方公式等分解，直至无法再分解。针对各小题：
(1) 先确定公因式为$-y$，提取后剩余的二次三项式符合完全平方公式；
(2) 先提取公因式$x$，剩余部分为平方差形式，可套用平方差公式；
(3) 先提取公因式$3$，剩余的二次三项式符合完全平方公式；
(4) 将$(a+b)$看作整体，式子符合完全平方公式，套用后化简即可。
【解析】
(1) 第一步：提取公因式$-y$，原式$=-y(x^2 -6x +9)$；第二步：套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得$x^2-6x+9=(x-3)^2$，故原式$=-y(x-3)^2$；
(2) 第一步：提取公因式$x$，原式$=x(x^2 -25)$；第二步：套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得$x^2-25=(x+5)(x-5)$，故原式$=x(x+5)(x-5)$；
(3) 第一步：提取公因式$3$，原式$=3(a^2 +2ab +b^2)$；第二步：套用完全平方公式，得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，故原式$=3(a+b)^2$；
(4) 将$(a+b)$视为整体，原式$=(a+b)^2 - 2·(a+b)·2a + (2a)^2$，套用完全平方公式得$[(a+b)-2a]^2=(b-a)^2$；
【答案】
(1) $-y(x-3)^{2}$；(2) $x(x+5)(x-5)$；(3) $3(a+b)^{2}$；(4) $(b-a)^{2}$
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提公因式法与公式法，分解时要确保彻底，第(4)题将$(a+b)$作为整体处理可简化计算，避免出错。
【难度系数】
0.5
因式分解需遵循“一提二套”的核心思路：先提取各项的公因式，再套用平方差公式、完全平方公式等分解，直至无法再分解。针对各小题：
(1) 先确定公因式为$-y$，提取后剩余的二次三项式符合完全平方公式；
(2) 先提取公因式$x$，剩余部分为平方差形式，可套用平方差公式；
(3) 先提取公因式$3$，剩余的二次三项式符合完全平方公式；
(4) 将$(a+b)$看作整体，式子符合完全平方公式，套用后化简即可。
【解析】
(1) 第一步：提取公因式$-y$，原式$=-y(x^2 -6x +9)$；第二步：套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得$x^2-6x+9=(x-3)^2$，故原式$=-y(x-3)^2$；
(2) 第一步：提取公因式$x$，原式$=x(x^2 -25)$；第二步：套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得$x^2-25=(x+5)(x-5)$，故原式$=x(x+5)(x-5)$；
(3) 第一步：提取公因式$3$，原式$=3(a^2 +2ab +b^2)$；第二步：套用完全平方公式，得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，故原式$=3(a+b)^2$；
(4) 将$(a+b)$视为整体，原式$=(a+b)^2 - 2·(a+b)·2a + (2a)^2$，套用完全平方公式得$[(a+b)-2a]^2=(b-a)^2$；
【答案】
(1) $-y(x-3)^{2}$；(2) $x(x+5)(x-5)$；(3) $3(a+b)^{2}$；(4) $(b-a)^{2}$
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提公因式法与公式法，分解时要确保彻底，第(4)题将$(a+b)$作为整体处理可简化计算，避免出错。
【难度系数】
0.5
