12 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=40°$,$∠ C=60°$,$AD$平分$∠ BAC$,$DE ⊥ BC$交$AB$于点$E$,求$∠ ADE$的度数.

12. 在△ABC中,∠B=40°,∠C=60°,
∴ ∠BAC=180°-40°-60°=80°.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAD=∠CAD=40°.在△ABD中,∠B=40°,∠BAD=40°,
∴ ∠ADB=180°-40°-40°=100°.
∵ DE⊥BC,
∴ ∠BDE=90°.
∴ ∠ADE=∠ADB-∠BDE=100°-90°=10°

【分析】
要计算∠ADE的度数，需逐步推导相关角的度数：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据角平分线定义得到∠BAD的度数，接着在△ABD中用内角和算出∠ADB的度数，最后结合DE⊥BC得到∠BDE=90°，通过角的差求出∠ADE。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，计算∠BAC：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°。
2. 因为AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，∠BAD = ½∠BAC = ½×80° = 40°。
3. 在△ABD中，再次利用三角形内角和定理，计算∠ADB：
∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 40° - 40° = 100°。
4. 因为DE⊥BC，根据垂直的定义，∠BDE = 90°。
5. 计算∠ADE：∠ADE = ∠ADB - ∠BDE = 100° - 90° = 10°。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线定义；垂直的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，主要考查三角形内角和、角平分线及垂直的相关性质，解题步骤清晰，需要学生熟练掌握三角形内角和定理的应用，属于易得分题目。
【难度系数】
0.6

13 如图,在$△ ABC$中,$D$是边$BC$上一点,连接$AD$,$∠ CAD$的平分线交边$BC$于点$E$,$∠ BAE=$$∠ BEA$.
(1) 求证:$∠ BAD=∠ C$;
(2) 若$∠ C=55°$,$∠ B=3∠ DAE$,求$∠ B$的度数.

13. (1)
∵ AE平分∠CAD,
∴ ∠DAE=∠CAE.
∵ ∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠CAE+∠C,∠BAE=∠BEA,
∴ ∠BAD=∠C (2) 由(1),知∠BAD=∠C=55°,
∴ ∠BEA=∠BAE=55°+∠DAE.
∵ ∠B+∠BEA+∠BAE=180°,∠B = 3∠DAE.
∴ 3∠DAE+ 2(55°+∠DAE)=180°.
∴ ∠DAE=14°.
∴ ∠B=42°

【分析】
第(1)问：要证明∠BAD=∠C，需结合角平分线性质和三角形外角性质。已知AE平分∠CAD，可得∠DAE=∠CAE；又∠BAE=∠BEA，而∠BAE可拆为∠BAD+∠DAE，∠BEA是△AEC的外角，等于∠CAE+∠C，通过等量代换即可推出结论。
第(2)问：由(1)得∠BAD=∠C=55°，结合角平分线性质得∠DAE=∠CAE，进而表示出∠BAE和∠BEA，再利用三角形内角和定理，结合∠B=3∠DAE的条件，代入计算求出∠DAE，最终得到∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE平分∠CAD，
∴ ∠DAE = ∠CAE。
∵ ∠BAE = ∠BAD + ∠DAE，∠BEA = ∠CAE + ∠C（三角形外角等于不相邻两内角和），且∠BAE = ∠BEA，
∴ ∠BAD + ∠DAE = ∠CAE + ∠C，
又
∵ ∠DAE = ∠CAE，
∴ ∠BAD = ∠C。
(2) 解：
由(1)知∠BAD = ∠C = 55°，
∵ AE平分∠CAD，
∴ ∠DAE = ∠CAE，
∴ ∠BAE = ∠BAD + ∠DAE = 55° + ∠DAE，
又
∵ ∠BEA = ∠BAE，
∴ ∠BEA = 55° + ∠DAE。
在△ABE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠B + ∠BAE + ∠BEA = 180°，
已知∠B = 3∠DAE，代入得：
3∠DAE + 2(55° + ∠DAE) = 180°，
计算得：5∠DAE = 70°，
∴ ∠DAE = 14°，
∴ ∠B = 3×14° = 42°。
【答案】
∠B的度数为42°
【知识点】
角平分线性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查角平分线、三角形外角及内角和的相关知识，解题核心是利用角的等量代换建立关系，逻辑要求清晰，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.6

14 在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在边$AC$,$AB$上,连接$BD$,$CE$交于点$O$,$∠ BOC-∠ A=54°$.
(1) 如图①,当$BD$,$CE$都是$△ ABC$的角平分线时,求$∠ BOC$的度数;
(2) 如图②,当$BD$,$CE$都是$△ ABC$的高时,求$∠ BOC$的度数;
(3) 如图③,当$∠ ABD=2∠ ACE$时,猜想$∠ BEO$与$∠ ODC$之间的数量关系,并说明理由.

14. (1)
∵ BD,CE都是△ABC的角平分线,
∴ ∠DBC=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECB=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∴ ∠DBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
∴ ∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°-$(90°-\frac{1}{2}∠ A)$=90°+$\frac{1}{2}$∠A.又
∵ ∠BOC-∠A=54°,即90°+$\frac{1}{2}$∠A -∠A=54°,
∴ ∠A=72°.
∴ ∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+36°=126° (2)
∵ BD,CE都是△ABC的高,
∴ ∠ADB=∠AEC=90°.
∵ ∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC=360°,
∴ ∠A+90°+∠DOE+90°=360°.
∴ ∠A=180°-∠DOE.
∵ ∠DOE=∠BOC,
∴ ∠A=180°-∠BOC.
∵ ∠BOC-∠A=54°,
∴ ∠BOC-(180°-∠BOC)=54°.
∴ ∠BOC=117° (3) ∠ODC - ∠BEO = 18° 理由:
∵ ∠BEO=∠A+∠ACE,
∴ ∠BOC=∠BEO+∠ABD=∠A+∠ACE+∠ABD.
∴ ∠BOC-∠A=∠ACE+∠ABD.
∵ ∠BOC-∠A=54°,∠ABD=2∠ACE,
∴ 54°=∠ACE+2∠ACE.
∴ ∠ACE = 18°.
∴ ∠ABD = 2 × 18° = 36°.
∵ ∠BOC=∠ODC+∠DCO=∠BEO+∠ABD,
∴ ∠BEO+36°=∠ODC+18°.
∴ ∠ODC-∠BEO=18°.

【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
(1) 利用角平分线的性质拆分∠ABC、∠ACB，结合三角形内角和定理推导∠BOC与∠A的关系，再结合已知∠BOC-∠A=54°求出∠A，进而计算∠BOC；
(2) 利用高的定义得到直角，结合四边形内角和或对顶角相等推导∠BOC与∠A的关系，代入已知条件求解；
(3) 利用三角形外角性质，将∠BEO、∠ODC用∠A、∠ACE、∠ABD表示，结合已知∠ABD=2∠ACE和∠BOC-∠A=54°，推导∠BEO与∠ODC的数量关系。
【解析】
(1)
∵ BD、CE都是△ABC的角平分线，
∴ ∠DBC=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠DBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°-(90°-$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
又
∵ ∠BOC-∠A=54°，即90°+$\frac{1}{2}$∠A -∠A=54°，
解得∠A=72°，
∴ ∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$×72°=126°；
(2)
∵ BD、CE都是△ABC的高，
∴ ∠ADB=∠AEC=90°，
在四边形AEOD中，∠A+∠AEO+∠EOD+∠ADO=360°，
即∠A+90°+∠EOD+90°=360°，
∴ ∠EOD=180°-∠A，
又
∵ ∠EOD=∠BOC，
∴ ∠BOC=180°-∠A，
已知∠BOC-∠A=54°，即(180°-∠A)-∠A=54°，
解得∠A=63°，
∴ ∠BOC=180°-63°=117°；
(3)
∵ ∠BEO是△AEC的外角，
∴ ∠BEO=∠A+∠ACE，
又
∵ ∠BOC是△BOE的外角，
∴ ∠BOC=∠BEO+∠ABD=∠A+∠ACE+∠ABD，
∴ ∠BOC-∠A=∠ACE+∠ABD，
已知∠BOC-∠A=54°，且∠ABD=2∠ACE，
∴ 54°=∠ACE+2∠ACE，
解得∠ACE=18°，则∠ABD=2×18°=36°，
又
∵ ∠ODC是△ABD的外角，
∴ ∠ODC=∠A+∠ABD，
而∠BOC是△COD的外角，故∠BOC=∠ODC+∠ACE，
因此∠BEO+∠ABD=∠ODC+∠ACE，
代入∠ABD=36°，∠ACE=18°，
得∠BEO+36°=∠ODC+18°，
整理得∠ODC - ∠BEO=18°；
【答案】
(1) 126°；(2) 117°；(3) ∠ODC - ∠BEO=18°
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查三角形相关性质，分层次设问，从基础的角平分线、高的性质应用，到结合外角定理推导角的数量关系，需熟练掌握三角形内角和、外角性质，逐步建立角的联系，适合中等水平学生练习。
【难度系数】
0.5