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1 [2025 如东期末]计算$\dfrac{2m}{m-1}-\dfrac{2}{m-1}$的结果是（
A.$\dfrac{2}{m^{2}-1}$
B.$\dfrac{m}{m-1}$
C.$m$
D.$2$
D
）A.$\dfrac{2}{m^{2}-1}$
B.$\dfrac{m}{m-1}$
C.$m$
D.$2$
答案
1.D
解析
【分析】这道题是同分母分式的减法运算，解题思路为：先运用同分母分式的减法法则，分母保持不变，将分子相减；再对分子提取公因式后约分，即可得到结果，最后匹配对应选项选出答案。
【解析】根据同分母分式的减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
$\dfrac{2m}{m-1}-\dfrac{2}{m-1}=\dfrac{2m - 2}{m - 1}$，
对分子提取公因式2，得$\dfrac{2(m - 1)}{m - 1}$，
因为分母$m-1≠0$，约分后结果为2，对应选项D。
【答案】D
【知识点】同分母分式的减法、因式分解、约分
【点评】本题考查分式运算的基础题型，核心是掌握同分母分式的运算法则，步骤清晰简单，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】根据同分母分式的减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
$\dfrac{2m}{m-1}-\dfrac{2}{m-1}=\dfrac{2m - 2}{m - 1}$，
对分子提取公因式2，得$\dfrac{2(m - 1)}{m - 1}$，
因为分母$m-1≠0$，约分后结果为2，对应选项D。
【答案】D
【知识点】同分母分式的减法、因式分解、约分
【点评】本题考查分式运算的基础题型，核心是掌握同分母分式的运算法则，步骤清晰简单，属于易得分题。
【难度系数】0.8
2 [2025 海门期末改编]$\dfrac{n}{m}-\dfrac{m}{n}$的运算结果是（
A.$\dfrac{n-m}{mn}$
B.$\dfrac{n-m}{m-n}$
C.$1$
D.$\dfrac{n^{2}-m^{2}}{mn}$
D
）A.$\dfrac{n-m}{mn}$
B.$\dfrac{n-m}{m-n}$
C.$1$
D.$\dfrac{n^{2}-m^{2}}{mn}$
答案
2.D
解析
【分析】本题考查异分母分式的减法运算，解题思路是：异分母分式相加减时，需先确定最简公分母进行通分，将其转化为同分母分式，再依据同分母分式减法法则（分母不变，分子相减）计算，最后对比选项得出结果。
【解析】$\dfrac{n}{m}-\dfrac{m}{n}$，先找最简公分母为$mn$，对两个分式通分：
$\dfrac{n}{m}=\dfrac{n· n}{m· n}=\dfrac{n^2}{mn}$，$\dfrac{m}{n}=\dfrac{m· m}{n· m}=\dfrac{m^2}{mn}$，
则原式$=\dfrac{n^2}{mn}-\dfrac{m^2}{mn}=\dfrac{n^2 - m^2}{mn}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式的加减法、异分母分式运算
【点评】本题是分式运算的基础题，核心考查异分母分式的通分与减法法则，只要掌握通分方法即可轻松解答，属于基础必拿分题型。
【难度系数】0.8
【解析】$\dfrac{n}{m}-\dfrac{m}{n}$，先找最简公分母为$mn$，对两个分式通分：
$\dfrac{n}{m}=\dfrac{n· n}{m· n}=\dfrac{n^2}{mn}$，$\dfrac{m}{n}=\dfrac{m· m}{n· m}=\dfrac{m^2}{mn}$，
则原式$=\dfrac{n^2}{mn}-\dfrac{m^2}{mn}=\dfrac{n^2 - m^2}{mn}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式的加减法、异分母分式运算
【点评】本题是分式运算的基础题，核心考查异分母分式的通分与减法法则，只要掌握通分方法即可轻松解答，属于基础必拿分题型。
【难度系数】0.8
3（易错题）计算：$\dfrac{a^{2}+ab}{ab}-\dfrac{a^{2}-ab}{ab}=$
2
.答案
3.2
易因忘记变号而出错.
易因忘记变号而出错.
解析
【分析】本题是同分母分式的减法运算，解题时需运用同分母分式的减法法则：分母保持不变，将分子相减。特别要注意的是，后面的分子是多项式，相减时需给整个分子变号，这是本题的易错点，需重点关注符号变化，避免出错。
【解析】根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
原式 = $\dfrac{(a^2 + ab) - (a^2 - ab)}{ab}$
去括号，括号前为负号，括号内各项变号：
= $\dfrac{a^2 + ab - a^2 + ab}{ab}$
合并同类项：
= $\dfrac{2ab}{ab}$
约分（$a≠0$，$b≠0$，分母不为0）：
= 2
【答案】2
【知识点】同分母分式的加减运算
【点评】本题为易错题，考查同分母分式的减法运算，核心是分子相减时的符号处理，学生易因忽略变号而得出错误结果，计算时需细心谨慎。
【难度系数】0.5
【解析】根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
原式 = $\dfrac{(a^2 + ab) - (a^2 - ab)}{ab}$
去括号，括号前为负号，括号内各项变号：
= $\dfrac{a^2 + ab - a^2 + ab}{ab}$
合并同类项：
= $\dfrac{2ab}{ab}$
约分（$a≠0$，$b≠0$，分母不为0）：
= 2
【答案】2
【知识点】同分母分式的加减运算
【点评】本题为易错题，考查同分母分式的减法运算，核心是分子相减时的符号处理，学生易因忽略变号而得出错误结果，计算时需细心谨慎。
【难度系数】0.5
4 教材P153例2变式 计算：
(1) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{3a}$；
(2) $\dfrac{x+3y}{y-x}+\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{3x}{y-x}$；
(3) $\dfrac{3}{4xy}-\dfrac{5}{3yz}+\dfrac{2}{5xyz}$；
(4)
(1) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{3a}$；
(2) $\dfrac{x+3y}{y-x}+\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{3x}{y-x}$；
(3) $\dfrac{3}{4xy}-\dfrac{5}{3yz}+\dfrac{2}{5xyz}$；
(4)
答案
4.(1) $\dfrac{11}{6a}$ (2) 2 (3) $\dfrac{45z-100x+24}{60xyz}$ (4) $-\dfrac{2}{m+4}$
解析
【分析】
本题是异分母分式的加减运算，解题思路为：先对分母进行因式分解，将异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算，最后化简结果。首先利用平方差公式分解第一个分式的分母，变形第二个分式的分母，确定最简公分母；接着通分后合并分子，对分子因式分解并与分母约分，得到最简结果。
【解析】
解：$\dfrac{16}{m^2 - 16} + \dfrac{2}{4 - m}$
$=\dfrac{16}{(m + 4)(m - 4)} + \dfrac{2}{-(m - 4)}$ （对分母因式分解，变形第二个分式的分母）
$=\dfrac{16}{(m + 4)(m - 4)} - \dfrac{2}{m - 4}$ （整理符号）
$=\dfrac{16}{(m + 4)(m - 4)} - \dfrac{2(m + 4)}{(m + 4)(m - 4)}$ （通分，最简公分母为$(m+4)(m-4)$）
$=\dfrac{16 - 2(m + 4)}{(m + 4)(m - 4)}$ （同分母分式相加减，分子相加减）
$=\dfrac{16 - 2m - 8}{(m + 4)(m - 4)}$ （展开分子）
$=\dfrac{8 - 2m}{(m + 4)(m - 4)}$ （合并分子同类项）
$=\dfrac{-2(m - 4)}{(m + 4)(m - 4)}$ （分子因式分解）
$=-\dfrac{2}{m + 4}$ （约分，约去公因式$(m-4)$，注意$m≠±4$）
【答案】
$-\dfrac{2}{m + 4}$
【知识点】
分式加减运算、因式分解（平方差公式）、通分
【点评】
本题考查异分母分式的加减运算，核心是通分和约分的应用，需注意分母变形时的符号处理，是分式运算的基础题型，需熟练掌握相关技巧。
【难度系数】
0.5
本题是异分母分式的加减运算，解题思路为：先对分母进行因式分解，将异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算，最后化简结果。首先利用平方差公式分解第一个分式的分母，变形第二个分式的分母，确定最简公分母；接着通分后合并分子，对分子因式分解并与分母约分，得到最简结果。
【解析】
解：$\dfrac{16}{m^2 - 16} + \dfrac{2}{4 - m}$
$=\dfrac{16}{(m + 4)(m - 4)} + \dfrac{2}{-(m - 4)}$ （对分母因式分解，变形第二个分式的分母）
$=\dfrac{16}{(m + 4)(m - 4)} - \dfrac{2}{m - 4}$ （整理符号）
$=\dfrac{16}{(m + 4)(m - 4)} - \dfrac{2(m + 4)}{(m + 4)(m - 4)}$ （通分，最简公分母为$(m+4)(m-4)$）
$=\dfrac{16 - 2(m + 4)}{(m + 4)(m - 4)}$ （同分母分式相加减，分子相加减）
$=\dfrac{16 - 2m - 8}{(m + 4)(m - 4)}$ （展开分子）
$=\dfrac{8 - 2m}{(m + 4)(m - 4)}$ （合并分子同类项）
$=\dfrac{-2(m - 4)}{(m + 4)(m - 4)}$ （分子因式分解）
$=-\dfrac{2}{m + 4}$ （约分，约去公因式$(m-4)$，注意$m≠±4$）
【答案】
$-\dfrac{2}{m + 4}$
【知识点】
分式加减运算、因式分解（平方差公式）、通分
【点评】
本题考查异分母分式的加减运算，核心是通分和约分的应用，需注意分母变形时的符号处理，是分式运算的基础题型，需熟练掌握相关技巧。
【难度系数】
0.5
5 若$\dfrac{2x-3}{x+1}=A-\dfrac{5}{x+1}$，则$A$为（
A.$-3$
B.$2$
C.$3$
D.$5$
B
）A.$-3$
B.$2$
C.$3$
D.$5$
答案
5.B
解析
【分析】要确定A的值，可利用等式的性质，通过消去等式两边的分母，或直接对等式右边的分式进行合并，进而求出A的表达式，最终确定A的取值。
【解析】解：已知$\dfrac{2x-3}{x+1}=A-\dfrac{5}{x+1}$，
将等式右边的分式移项合并，根据同分母分式加法法则：
$A=\dfrac{2x-3}{x+1}+\dfrac{5}{x+1}=\dfrac{(2x-3)+5}{x+1}=\dfrac{2x+2}{x+1}$，
对分子因式分解得：$\dfrac{2(x+1)}{x+1}=2$（$x≠ -1$，分母不为0），
因此A的值为2。
【答案】B
【知识点】分式的加减运算、等式的性质
【点评】本题考查分式的基本运算与等式变形，属于基础题型，解题关键是利用同分母分式加法法则合并分式，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：已知$\dfrac{2x-3}{x+1}=A-\dfrac{5}{x+1}$，
将等式右边的分式移项合并，根据同分母分式加法法则：
$A=\dfrac{2x-3}{x+1}+\dfrac{5}{x+1}=\dfrac{(2x-3)+5}{x+1}=\dfrac{2x+2}{x+1}$，
对分子因式分解得：$\dfrac{2(x+1)}{x+1}=2$（$x≠ -1$，分母不为0），
因此A的值为2。
【答案】B
【知识点】分式的加减运算、等式的性质
【点评】本题考查分式的基本运算与等式变形，属于基础题型，解题关键是利用同分母分式加法法则合并分式，难度较低。
【难度系数】0.8
6 某企业购电 $m\ \mathrm{kW· h},$ 计划用 $a$ 天. 由于采取了节约用电的措施,因此这些电实际比原计划多用了5 天,则实际比原计划每天节约用电（
A.$\dfrac{5m}{a(a+5)}\ \mathrm{kW· h}$
B.$\dfrac{5m}{a(a-5)}\ \mathrm{kW· h}$
C.$\dfrac{m}{a+5}\ \mathrm{kW· h}$
D.$\dfrac{m}{a}\ \mathrm{kW· h}$
A
）A.$\dfrac{5m}{a(a+5)}\ \mathrm{kW· h}$
B.$\dfrac{5m}{a(a-5)}\ \mathrm{kW· h}$
C.$\dfrac{m}{a+5}\ \mathrm{kW· h}$
D.$\dfrac{m}{a}\ \mathrm{kW· h}$
答案
6.A
解析
【分析】要解决这个问题，需先分别求出原计划和实际每天的用电量，再计算两者的差值（即每天节约的电量）。首先根据“每天用电量=总电量÷天数”，算出原计划每天用电量和实际每天用电量，再通过分式减法化简得到结果，对应选项即可。
【解析】解：
1. 原计划每天用电量为：$\dfrac{m}{a}\ \mathrm{kW· h}$；
2. 实际用电天数为$a+5$天，因此实际每天用电量为：$\dfrac{m}{a+5}\ \mathrm{kW· h}$；
3. 实际比原计划每天节约的电量 = 原计划每天用电量 - 实际每天用电量，即：
$\dfrac{m}{a} - \dfrac{m}{a+5} = \dfrac{m(a+5) - ma}{a(a+5)} = \dfrac{ma +5m - ma}{a(a+5)} = \dfrac{5m}{a(a+5)}\ \mathrm{kW· h}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的运算，代数式的实际应用
【点评】本题考查分式在实际问题中的应用，核心是找准数量关系，通过分式减法运算化简结果，属于基础题型，需注意通分的正确性。
【难度系数】0.7
【解析】解：
1. 原计划每天用电量为：$\dfrac{m}{a}\ \mathrm{kW· h}$；
2. 实际用电天数为$a+5$天，因此实际每天用电量为：$\dfrac{m}{a+5}\ \mathrm{kW· h}$；
3. 实际比原计划每天节约的电量 = 原计划每天用电量 - 实际每天用电量，即：
$\dfrac{m}{a} - \dfrac{m}{a+5} = \dfrac{m(a+5) - ma}{a(a+5)} = \dfrac{ma +5m - ma}{a(a+5)} = \dfrac{5m}{a(a+5)}\ \mathrm{kW· h}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的运算，代数式的实际应用
【点评】本题考查分式在实际问题中的应用，核心是找准数量关系，通过分式减法运算化简结果，属于基础题型，需注意通分的正确性。
【难度系数】0.7
7 计算：
(1) $\dfrac{x^{2}+2x+1}{x+1}-\dfrac{x^{2}+x}{x}=$
(2) $\dfrac{x}{y(x+y)}-\dfrac{y}{x(x+y)}=$
(1) $\dfrac{x^{2}+2x+1}{x+1}-\dfrac{x^{2}+x}{x}=$
0
；(2) $\dfrac{x}{y(x+y)}-\dfrac{y}{x(x+y)}=$
$\dfrac{x-y}{xy}$
.答案
7.(1) 0 (2) $\dfrac{x-y}{xy}$
解析
【分析】
本题考查分式的加减运算，解题思路是：先对各分式的分子因式分解，能约分的先约分简化分式；对于异分母分式，先确定最简公分母通分，再按同分母分式加减法则计算，最后化简结果。
【解析】
(1) 先对分子因式分解并约分：
$\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，
$\dfrac{x^2+x}{x}=\dfrac{x(x+1)}{x}=x+1$，
则原式$=(x+1)-(x+1)=0$。
(2) 确定最简公分母为$xy(x+y)$，通分后计算：
$\dfrac{x}{y(x+y)}=\dfrac{x· x}{xy(x+y)}=\dfrac{x^2}{xy(x+y)}$，
$\dfrac{y}{x(x+y)}=\dfrac{y· y}{xy(x+y)}=\dfrac{y^2}{xy(x+y)}$，
则原式$=\dfrac{x^2 - y^2}{xy(x+y)}=\dfrac{(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}=\dfrac{x-y}{xy}$。
【答案】
(1) $0$；(2) $\dfrac{x-y}{xy}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解（完全平方公式、平方差公式）
【点评】
本题是分式加减的基础计算题，核心是掌握分式约分、通分及因式分解的方法，计算时需注意约分后剩余项的正确性，避免符号或因式分解错误。
【难度系数】
0.6
本题考查分式的加减运算，解题思路是：先对各分式的分子因式分解，能约分的先约分简化分式；对于异分母分式，先确定最简公分母通分，再按同分母分式加减法则计算，最后化简结果。
【解析】
(1) 先对分子因式分解并约分：
$\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，
$\dfrac{x^2+x}{x}=\dfrac{x(x+1)}{x}=x+1$，
则原式$=(x+1)-(x+1)=0$。
(2) 确定最简公分母为$xy(x+y)$，通分后计算：
$\dfrac{x}{y(x+y)}=\dfrac{x· x}{xy(x+y)}=\dfrac{x^2}{xy(x+y)}$，
$\dfrac{y}{x(x+y)}=\dfrac{y· y}{xy(x+y)}=\dfrac{y^2}{xy(x+y)}$，
则原式$=\dfrac{x^2 - y^2}{xy(x+y)}=\dfrac{(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}=\dfrac{x-y}{xy}$。
【答案】
(1) $0$；(2) $\dfrac{x-y}{xy}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解（完全平方公式、平方差公式）
【点评】
本题是分式加减的基础计算题，核心是掌握分式约分、通分及因式分解的方法，计算时需注意约分后剩余项的正确性，避免符号或因式分解错误。
【难度系数】
0.6
