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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin A = \dfrac{1}{2}$，则$\cos A$的值是（
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
答案
1. B 解析:∠A 为锐角,且 sin A=1/2,
∴ ∠A=30°,cos A=√3/2.故选 B.
∴ ∠A=30°,cos A=√3/2.故选 B.
2. (2025·青岛校级月考)在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ C$都是锐角，且$\sin A = \cos(90° - ∠ C) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$△ ABC$的形状是 (
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.直角三角形
D
)A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.直角三角形
答案
2. D 解析:
∵ sin A = cos(90°-∠C)=√2/2,
∴ ∠A=45°,90°-∠C=45°,即∠A=45°,∠C=45°,
∴ ∠B=90°,即△ABC 为直角三角形.故选 D.
∵ sin A = cos(90°-∠C)=√2/2,
∴ ∠A=45°,90°-∠C=45°,即∠A=45°,∠C=45°,
∴ ∠B=90°,即△ABC 为直角三角形.故选 D.
3. 点$M(-\cos 30°, \sin 30°)$关于$x$轴对称的点的坐标是
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2})$
.答案
3. $(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2})$ 解析:$-\cos 30°=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30°=\dfrac{1}{2}$.关于x轴对称后,横坐标不变,纵坐标变为相反数.
4. 已知α为锐角，当$\frac{1}{1-\tanα}$无意义时，$\sin(α+15°)+\cos(α-15°)=$
$\sqrt{3}$
.答案
4. $\sqrt{3}$ 解析:分式无意义,
∴ $1-\tan α=0$,得 $\tan α=1$.
∵ α 为锐角,
∴ α=45°.故 $\sin 60°+\cos 30°=\sqrt{3}$.
∴ $1-\tan α=0$,得 $\tan α=1$.
∵ α 为锐角,
∴ α=45°.故 $\sin 60°+\cos 30°=\sqrt{3}$.
5. (2025·南充中考)如图，$∠ AOB=90°$，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在$∠ AOB$的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E。设$OC=1$，则OE的长是
$\sqrt{3}$
。答案
5. $\sqrt{3}$ 解析:如图,连接 OD,由作图可得 OD = OC = CD,
∴ △OCD是等边三角形,
∴ ∠OCD = 60°,
∴ OE = OC × tan∠OCD=1×√3=√3.
6. 计算：
(1)$(2026· 湖南中考)2\sin 30° + |-3| + 2^2$；
(2)$|1 - \sqrt{2}| - 2\cos 45° + π^0 - ( \frac{1}{3} )^{-1}$；
(3)$\cos 60° - 2\sin^2 45° + \frac{2}{3}\tan^2 60° - \sin 30°$。
(1)$(2026· 湖南中考)2\sin 30° + |-3| + 2^2$；
(2)$|1 - \sqrt{2}| - 2\cos 45° + π^0 - ( \frac{1}{3} )^{-1}$；
(3)$\cos 60° - 2\sin^2 45° + \frac{2}{3}\tan^2 60° - \sin 30°$。
答案
6. (1)原式=$2×\dfrac{1}{2}+3+4=1+3+4=8$.
(2)原式=$\sqrt{2}-1-2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1-3=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}+1-3=-3$.
(3)原式=$\dfrac{1}{2}-2×(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2+\dfrac{2}{3}×(\sqrt{3})^2-\dfrac{1}{2}=1$.
(2)原式=$\sqrt{2}-1-2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1-3=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}+1-3=-3$.
(3)原式=$\dfrac{1}{2}-2×(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2+\dfrac{2}{3}×(\sqrt{3})^2-\dfrac{1}{2}=1$.
7. (通辽中考)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长度(结果保留小数点后一位,$\sqrt{3} \approx 1.7$).
答案
7. 如图,设AC,DF交于点G,延长BA交CE的垂线DG于点F,则四边形DFBE是矩形.
∵ ∠FDB=45°,
∴ DF=FB,
∴ 四边形DFBE是正方形,
∴ BF=EB=14 m.
∵ ∠DCG=90°-60°=30°,AF//CD,
∴ ∠FAG=∠DCG=30°.在Rt△CDG中,$DG=\tan∠DCG·CD=\dfrac{\sqrt{3}}{3}×20=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}(\mathrm{m})$,
∴ $GF=DF-DG=(14-\dfrac{20\sqrt{3}}{3})\mathrm{m}$.在Rt△AFG中,$AF=\dfrac{FG}{\tan∠FAG}=\dfrac{FG}{\tan 30°}=\dfrac{14-\dfrac{20\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=(14\sqrt{3}-20)\mathrm{m}$,
∴ $AB=BF-AF=14-(14\sqrt{3}-20)=34-14\sqrt{3}≈10.2(\mathrm{m})$.
8. (武汉中考)由4个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O = 60°，则$\tan∠ ABC =$（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
8. C 解析:如图,连接AD.
∵ 网格是由菱形组成的,∠O=60°,
∴ △AOD,△BCE,△BCD,△ACD都是等边三角形,
∴ AD=BD=BC=AC,
∴ 四边形ADBC为菱形,且∠DBC=60°,
∴ ∠ABD=∠ABC=30°,
∴ $\tan∠ABC=\tan 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.故选 C.
