1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的约去，叫作分式的约分。

1. 公因式

【分析】
这道题属于概念识记类题目，考查分式约分的定义，解题时只需回忆教材中分式约分的相关概念，直接对应空缺内容填写即可，不需要复杂推导或计算。
【解析】
根据教材中分式约分的标准定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分，因此空缺处应填写公因式。
【答案】
公因式
【知识点】
分式约分的定义；分式的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对分式约分相关定义的记忆，牢记课本基础概念即可快速得分，属于考试中的基础得分题型。
【难度系数】
0.9

2. 分子与分母没有公因式的分式，叫作。分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为或者。

2. 最简分式；最简分式；整式

【分析】
这道题考查分式相关的基础概念，解题时先回忆最简分式的定义和约分的要求：首先，明确最简分式的判定标准就是分子与分母没有公因式，可直接对应第一个空；再回忆分式约分的最终要求：约去所有公因式后，若结果仍含有分母，则一定是不能再约分的最简分式，若约去公因式后分母为1，结果就为整式，即可填出后两个空。
【解析】
根据分式相关定义填写：
1. 按照定义，分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式，因此第一个空填最简分式；
2. 分式约分的规则是约去分子和分母所有的公因式，使最终结果无法再约分：若约分后仍保留分母，则结果为最简分式，若约分后分母为1，则结果为整式，因此后两个空依次填最简分式、整式。
【答案】
最简分式；最简分式；整式
【知识点】
最简分式的定义；分式的约分规则
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对分式基础概念的识记能力，掌握好最简分式定义和约分的要求即可快速解答，是后续分式运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

例1 下列分式，属于最简分式的是().

A.$\dfrac{4}{2x}$
B.$\dfrac{2x}{x^2+1}$
C.$\dfrac{x-1}{x^2-1}$
D.$\dfrac{1-x}{x-1}$
例2
(1
(2

例1：B

【分析】
要判断最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题时逐个分析选项，先将每个选项的分子、分母进行因式分解，再判断是否存在公因式，有公因式的就不是最简分式，没有公因式的就是最简分式。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：$\dfrac{4}{2x}$的分子4和分母$2x$有公因式2，约分后为$\dfrac{2}{x}$，不是最简分式；
B选项：$\dfrac{2x}{x^2+1}$的分母$x^2+1$无法因式分解，分子$2x$和分母$x^2+1$没有公因式，属于最简分式；
C选项：$\dfrac{x-1}{x^2-1}$的分母$x^2-1$用平方差公式分解为$(x-1)(x+1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后为$\dfrac{1}{x+1}$，不是最简分式；
D选项：$\dfrac{1-x}{x-1}$的分子$1-x=-(x-1)$，分子分母有公因式$x-1$，约分后为$-1$，不是最简分式。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的定义，因式分解，分式约分
【点评】
本题是基础类题目，核心考查最简分式的判断方法，解题时要注意因式分解要彻底，同时不要忽略分子分母互为相反数的情况也可约分。
【难度系数】
0.8

例2（教材改编）约分：
(1)$\frac{6x^2y}{12xy^2}=$；
(2)$\frac{8a^2b(a-1)}{24ab^2(1-a)}=$.

例2 (1)$\frac{x}{2y}$ (2)$-\frac{a}{3b}$

【分析】
分式约分的依据是分式的基本性质，解题步骤可按以下思路展开：1.找公因式：先确定分子、分母系数的最大公约数，再提取相同字母（或多项式因式）的最低次幂，组合得到公因式；2.若分子分母中存在互为相反数的因式，先变形统一（互为相反数的两个因式相除得-1，要注意符号变化）；3.分子分母同时除以公因式，得到最简分式。
第一小题分子分母都是单项式，直接找公因式约分即可；第二小题注意$(a-1)$和$(1-a)$互为相反数，变形后再找公因式约分。
【解析】
(1) 先确定分子$6x^2y$和分母$12xy^2$的公因式为$6xy$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$6xy$：
$\frac{6x^2y}{12xy^2}=\frac{6x^2y÷6xy}{12xy^2÷6xy}=\frac{x}{2y}$
(2) 首先将$(1-a)$变形为$-(a-1)$，原式可改写为：
$\frac{8a^2b(a-1)}{24ab^2(1-a)}=\frac{8a^2b(a-1)}{-24ab^2(a-1)}$
确定公因式为$8ab(a-1)$，分子分母同时除以$8ab(a-1)$：
$\frac{8a^2b(a-1)÷8ab(a-1)}{-24ab^2(a-1)÷8ab(a-1)}=\frac{a}{-3b}=-\frac{a}{3b}$
【答案】
(1)$\frac{x}{2y}$；(2)$-\frac{a}{3b}$
【知识点】
分式的基本性质、分式约分、公因式的确定
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题的核心是准确识别分子分母的公因式，当出现互为相反数的多项式因式时，要注意符号的变化，熟练掌握约分规则是后续分式运算的基础。
【难度系数】
0.75

3. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的的分式，叫作分式的通分。

3. 同分母

【分析】
本题是对分式通分定义的直接考查，解题时首先回忆通分的相关概念：通分的依据是分式的基本性质，要求不改变原分式的大小，核心目的是将异分母的分式转化为相同分母的分式，结合定义即可确定空缺内容。
【解析】
根据分式通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分。因此横线处应填“同分母”。
【答案】
同分母
【知识点】
分式通分的概念；分式的基本性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查教材中的基础概念，熟练掌握相关定义即可快速作答，是学习分式后续运算的基础内容。
【难度系数】
0.9

4. 分式的通分，关键是确定几个分式的，一般取各分母的所有因式的的积作公分母，它叫作。

4. 公分母；最高次幂；最简公分母

【分析】
这道题考查分式通分的基础概念，解题时需回忆通分的核心逻辑和相关定义：通分的目的是把异分母分式转化为同分母分式，所以首先要确定几个分式共有的分母；为了简化后续计算，我们会选取最简便的公分母，它的确定规则是取各分母所有因式的最高次幂的乘积，这个特定的公分母就是最简公分母，对应空缺依次填入即可。
【解析】
根据分式通分的相关定义：
1. 分式通分的核心前提是确定几个分式的公分母，只有确定了共同的分母，才能将异分母分式转化为同分母分式；
2. 为了最大程度简化通分及后续计算过程，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母；
3. 按上述规则确定的公分母，叫做最简公分母。
因此三个空缺依次填入公分母、最高次幂、最简公分母。
【答案】
公分母；最高次幂；最简公分母
【知识点】
分式通分；最简公分母
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查分式通分的核心要点和最简公分母的定义，是分式加减运算的必备基础，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

例3 分式$\frac{2}{ac}$与$\frac{1}{ab}$的最简公分母是().
A. $2abc$
B. $a^2bc$
C. $abc$
D. $2a^2bc$
例4 (教材改编)通分：
(1)$\frac{1}{3x}$与$\frac{1}{2x^2}$；
(2)$\frac{2}{3(3-a)}$与$\frac{a-1}{(a-3)^2}$。

例3：C
例4 解：(1)最简公分母是 $6x^2$. $\frac{1}{3x} =\frac{1· 2x}{3x · 2x}=\frac{2x}{6x^2}$, $\frac{1}{2x^2}=\frac{1· 3}{2x^2 · 3}=\frac{3}{6x^2}$.
(2)最简公分母是 $3(a-3)^2$. $\frac{2}{3(3-a)} = \frac{2· (3-a)}{3(3-a)· (3-a)} = \frac{6-2a}{3(a-3)^2}$, $\frac{a-1}{(a-3)^2}=\frac{(a-1)· 3}{(a-3)^2 · 3}=\frac{3a-3}{3(a-3)^2}$.

【分析】
1. 例3解题思路：要确定两个分式的最简公分母，按照三步判断：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母连同指数直接作为公分母的因式；③相同字母取最高次幂。两个分式分母分别为ac、ab，系数都是1，最小公倍数为1，字母a最高次为1次，b、c各出现1次，相乘即可得到最简公分母。
2. 例4解题思路：通分的前提是先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，分子分母同乘同一个不为0的整式，将分式化为同分母分式。第(1)题分母为3x和2x²，先求系数最小公倍数，再取x的最高次幂即可得到公分母。第(2)题注意(3-a)和(a-3)互为相反数，(a-3)²=(3-a)²，再按规则确定公分母后通分即可。
【解析】
例3
两个分式的分母分别为$ac$、$ab$：
系数部分：两个分母的系数都是1，最小公倍数为1；
字母部分：相同字母$a$的最高次幂为1次，独有的字母$b$、$c$各取1次；
因此最简公分母为$1× a× b× c=abc$，故选C。
例4
通分的核心是先确定最简公分母，再利用分式基本性质变形：
(1) 两个分式的分母为$3x$、$2x^2$：
系数3和2的最小公倍数为6，$x$的最高次幂为2，因此最简公分母为$6x^2$。
$\frac{1}{3x} =\frac{1× 2x}{3x × 2x}=\frac{2x}{6x^2}$，$\frac{1}{2x^2}=\frac{1× 3}{2x^2 × 3}=\frac{3}{6x^2}$。
(2) 先变形得$(a-3)^2=(3-a)^2$，两个分式的分母为$3(3-a)$、$(a-3)^2$：
系数最小公倍数为3，$(a-3)$的最高次幂为2，因此最简公分母为$3(a-3)^2$。
$\frac{2}{3(3-a)} = \frac{2× (3-a)}{3(3-a)× (3-a)} = \frac{6-2a}{3(a-3)^2}$，$\frac{a-1}{(a-3)^2}=\frac{(a-1)× 3}{(a-3)^2 × 3}=\frac{3a-3}{3(a-3)^2}$。
【答案】
例3：$\boldsymbol{C}$
例4：(1) $\frac{1}{3x}=\frac{2x}{6x^2}$，$\frac{1}{2x^2}=\frac{3}{6x^2}$；(2) $\frac{2}{3(3-a)}=\frac{6-2a}{3(a-3)^2}$，$\frac{a-1}{(a-3)^2}=\frac{3a-3}{3(a-3)^2}$
【知识点】
最简公分母的确定，分式的基本性质，分式通分
【点评】
本组题是分式运算的基础题型，重点考查最简公分母的确定方法和分式通分的步骤，解题时需注意互为相反数的因式的幂次变形，熟练掌握该部分内容能为后续分式的加减运算打好基础。
【难度系数】
0.8

1. (教材改编)约分：
(1) $\frac{-8x^3y}{4x^3y} =$ ；
(2) $\frac{2xy(x+y)}{4x^2y^2} =$ ；
(3) $\frac{x^2 - x}{(x - 1)^2} =$ ；
(4) $\frac{a^2 + 3ab}{3b^2 + ab} =$ 。

1. (1)$-2$ (2)$\frac{x+y}{2xy}$ (3)$\frac{x}{x-1}$ (4)$\frac{a}{b}$

【分析】
分式约分的核心是找到分子与分母的公因式后约去，最终得到最简分式或整式，解题思路如下：1. 若分子、分母均为单项式，直接取系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，组合得到公因式；2. 若分子或分母是多项式，先对多项式进行因式分解，再提取公因式，最后约去公因式即可，约分过程中要注意公因式不能为0。
【解析】
(1) 分子$-8x^3y$和分母$4x^3y$的公因式为$4x^3y$，约去公因式得：
$\frac{-8x^3y}{4x^3y}=\frac{-2×4x^3y}{1×4x^3y}=-2$
(2) 分子$2xy(x+y)$和分母$4x^2y^2$的公因式为$2xy$，约去公因式得：
$\frac{2xy(x+y)}{4x^2y^2}=\frac{(x+y)×2xy}{2xy×2xy}=\frac{x+y}{2xy}$
(3) 先对分子因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，分子和分母$(x-1)^2$的公因式为$(x-1)$，约去公因式得：
$\frac{x^2 - x}{(x - 1)^2}=\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-1)}=\frac{x}{x-1}$
(4) 先对分子、分母分别因式分解：$a^2 + 3ab=a(a+3b)$，$3b^2 + ab=b(a+3b)$，公因式为$(a+3b)$，约去公因式得：
$\frac{a^2 + 3ab}{3b^2 + ab}=\frac{a(a+3b)}{b(a+3b)}=\frac{a}{b}$
【答案】
(1)$-2$；(2)$\frac{x+y}{2xy}$；(3)$\frac{x}{x-1}$；(4)$\frac{a}{b}$
【知识点】
分式的基本性质；分式约分；因式分解
【点评】
本题是分式约分的基础题型，覆盖了单项式、多项式两类分子分母的约分场景，能帮助巩固约分的基本步骤，解题时需注意遇到多项式先因式分解，再找公因式，避免直接约分项导致错误。
【难度系数】
0.8

2.（教材改编）通分：
(1)$\frac{3}{x^2}$与$\frac{5}{4xy}$； (2)$\frac{1}{(a-b)^2}$与$\frac{ab}{a^2 - b^2}$.

2. 解：(1)最简公分母是 $4x^2y$. $\frac{3}{x^2} = \frac{3· 4y}{x^2 · 4y} = \frac{12y}{4x^2 y}$, $\frac{5}{4xy}=\frac{5· x}{4xy · x}=\frac{5x}{4x^2 y}$.
(2)最简公分母是$(a+b)(a-b)^2$. $\frac{1}{(a-b)^2} = \frac{a+b}{(a-b)^2 · (a+b)} = \frac{a+b}{(a+b)(a-b)^2}$, $\frac{ab}{a^2 - b^2}=\frac{ab(a-b)}{(a+b)(a-b)(a-b)}=\frac{ab(a-b)}{(a+b)(a-b)^2}$.

【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母，且分式的值不变。解题思路如下：1. 找最简公分母：若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积作为最简公分母；若分母是多项式，先把每个分母因式分解，再按上述规则确定最简公分母。2. 根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘原分母缺少的因式，完成通分。
【解析】
(1) 两个分式的分母分别为$x^2$和$4xy$，系数的最小公倍数是4，$x$的最高次幂是2次，$y$的最高次幂是1次，因此最简公分母是$4x^2y$。
根据分式的基本性质：
$\frac{3}{x^2}$的分母缺少因式$4y$，分子分母同乘$4y$得：$\frac{3}{x^2} = \frac{3· 4y}{x^2 · 4y} = \frac{12y}{4x^2 y}$；
$\frac{5}{4xy}$的分母缺少因式$x$，分子分母同乘$x$得：$\frac{5}{4xy}=\frac{5· x}{4xy · x}=\frac{5x}{4x^2 y}$。
(2) 先对第二个分母因式分解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，两个分母分别为$(a-b)^2$和$(a+b)(a-b)$，因此最简公分母是$(a+b)(a-b)^2$。
根据分式的基本性质：
$\frac{1}{(a-b)^2}$的分母缺少因式$a+b$，分子分母同乘$a+b$得：$\frac{1}{(a-b)^2} = \frac{a+b}{(a-b)^2 · (a+b)} = \frac{a+b}{(a+b)(a-b)^2}$；
$\frac{ab}{a^2 - b^2}$的分母缺少因式$a-b$，分子分母同乘$a-b$得：$\frac{ab}{a^2 - b^2}=\frac{ab(a-b)}{(a+b)(a-b)(a-b)}=\frac{ab(a-b)}{(a+b)(a-b)^2}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{x^2}=\frac{12y}{4x^2y}$，$\frac{5}{4xy}=\frac{5x}{4x^2y}$；
(2) $\frac{1}{(a-b)^2}=\frac{a+b}{(a+b)(a-b)^2}$，$\frac{ab}{a^2-b^2}=\frac{ab(a-b)}{(a+b)(a-b)^2}$。
【知识点】
分式通分，最简公分母确定，因式分解
【点评】
本题是通分的基础题型，既考查了单项式分母的最简公分母找法，也考查了多项式分母需先因式分解再确定公分母的方法，是后续分式加减运算的重要基础，需熟练掌握通分的步骤和规则。
【难度系数】
0.8