1.已知$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$对应的三边分别是$a$，$b$，$c$.若$∠ B=90°$，则有关系式 （）

A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$a^2 + c^2 = b^2$
C.$a^2 - b^2 = c^2$
D.$b^2 + c^2 = a^2$

B

在△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理，直角对应的边为斜边，即边b是斜边，a、c为两条直角边，因此可得关系式$a^2 + c^2 = b^2$。

2.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 （）

A.$\sqrt{11}$
B.3
C.4
D.5

C

根据等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高，该高将底边分为长度相等的两段，每段长为6÷2=3。此时腰、底边的一半、底边上的高构成直角三角形，由勾股定理计算得底边上的高为$\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。

3.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少要飞行 ()


A.8米
B.10米
C.12米
D.14米

B

先计算两棵树的高度差：10-4=6米，已知两树水平距离为8米，小鸟飞行的最短路径是以6米、8米为直角边的直角三角形的斜边。根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$米，即小鸟至少要飞行10米。

4.如图,每个小正方形的边长为1,四边形的顶点A,B,C,D都在格点上,则下面4条线段长度为$\sqrt{10}$的是 （）

A.AB
B.BC
C.CD
D.AD

A

根据勾股定理，分别计算各线段的长度：
1. 线段AB：水平方向距离为1，竖直方向距离为3，故$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
2. 线段BC：水平方向距离为4，竖直方向距离为0，故$BC=4$；
3. 线段CD：水平方向距离为1，竖直方向距离为1，故$CD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
4. 线段AD：水平方向距离为3，竖直方向距离为2，故$AD=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
因此长度为$\sqrt{10}$的线段是AB。

图，若两个正方形的面积分别为64和49，则AC＝.

解：
面积为64的正方形的边长为$\sqrt{64}=8$，
面积为49的正方形的边长为$\sqrt{49}=7$。
由图可知，长度为8和7的线段是直角三角形的两条直角边，AC是该直角三角形的斜边，
根据勾股定理得：
$AC^2 = 8^2 + 7^2 = 64 + 49 = 113$，
又∵ $AC＞0$，
∴ $AC=\sqrt{113}$。
$\sqrt{113}$

6.已知:如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=15$,$BC=20$,$CD$是斜边$AB$上的高.
(1)求$AB$的长.
(2)求$CD$的长.

解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$\because AC=15$，$BC=20$
$\therefore AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$
(2) 由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$
化简得：$AC · BC = AB · CD$
将$AC=15$，$BC=20$，$AB=25$代入：
$15 × 20 = 25 · CD$
解得：$CD = \frac{15 × 20}{25} = 12$
答：$AB$的长为25，$CD$的长为12。