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例1 如图，$\odot O$的半径是3，P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若$OP=4$，$∠ APO=30°$，求弦AB的长。
例1图
例1图答案
$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
求圆中弦长的常用方法是利用垂径定理，通过过圆心作弦的垂线，将弦长问题转化为求半弦长的问题，再结合直角三角形的性质和勾股定理求解。首先作OC⊥AB于C，根据垂径定理可知C是AB中点，只需求出AC即可得到AB的长。已知OP长度和∠APO的度数，可先在Rt△OPC中求出OC的长度，再在Rt△OAC中利用勾股定理求出AC，进而得到AB的长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ OCP$中，$∠ APO=30°$，$OP=4$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2$。
已知$\odot O$的半径$OA=3$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，
$\therefore AB=2AC=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题关键是过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理即可求解，解题思路具有通用性。
【难度系数】
0.7
求圆中弦长的常用方法是利用垂径定理，通过过圆心作弦的垂线，将弦长问题转化为求半弦长的问题，再结合直角三角形的性质和勾股定理求解。首先作OC⊥AB于C，根据垂径定理可知C是AB中点，只需求出AC即可得到AB的长。已知OP长度和∠APO的度数，可先在Rt△OPC中求出OC的长度，再在Rt△OAC中利用勾股定理求出AC，进而得到AB的长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ OCP$中，$∠ APO=30°$，$OP=4$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2$。
已知$\odot O$的半径$OA=3$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，
$\therefore AB=2AC=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题关键是过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理即可求解，解题思路具有通用性。
【难度系数】
0.7
1.如图，AB是$\odot O$的直径，分别以点O和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}OB$的长为半径作弧
（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与$\odot O$相交于C，D两点，若AB = 4，则CD的长为（
A.$4\sqrt{3}$
B.$4$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与$\odot O$相交于C，D两点，若AB = 4，则CD的长为（
C
）。A.$4\sqrt{3}$
B.$4$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先识别作图类型：分别以O、B为圆心，大于$\frac{1}{2}OB$长为半径作弧，交点连线MN是线段OB的垂直平分线，可得$MN⊥ OB$且平分OB；接下来求弦CD的长，结合垂径定理，只需先求出半弦长即可：连接OC，已知直径AB=4可得圆的半径为2，OB的一半就是O到直线MN的距离，最后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，乘2得到CD的总长度。
【解析】
由作图步骤可知，直线MN是线段OB的垂直平分线，因此$MN⊥ OB$，设MN与OB交于点E，则E为OB中点，根据垂径定理可得$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=4$，
∴$\odot O$的半径$OC=OB=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$OE=\frac{1}{2}OB=1$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$CD=2CE=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的尺规作图；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题将尺规作图识别与圆的性质结合考查，解题的关键是准确判断MN是OB的垂直平分线，再结合垂径定理和勾股定理计算弦长，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别作图类型：分别以O、B为圆心，大于$\frac{1}{2}OB$长为半径作弧，交点连线MN是线段OB的垂直平分线，可得$MN⊥ OB$且平分OB；接下来求弦CD的长，结合垂径定理，只需先求出半弦长即可：连接OC，已知直径AB=4可得圆的半径为2，OB的一半就是O到直线MN的距离，最后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，乘2得到CD的总长度。
【解析】
由作图步骤可知，直线MN是线段OB的垂直平分线，因此$MN⊥ OB$，设MN与OB交于点E，则E为OB中点，根据垂径定理可得$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=4$，
∴$\odot O$的半径$OC=OB=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$OE=\frac{1}{2}OB=1$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$CD=2CE=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的尺规作图；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题将尺规作图识别与圆的性质结合考查，解题的关键是准确判断MN是OB的垂直平分线，再结合垂径定理和勾股定理计算弦长，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小莹同学所在的学习小组想到了以下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7 cm，AB=6 cm，CD=8 cm。请你帮忙计算纸杯的直径为
10
cm。答案
2.10
解析
【分析】
纸杯杯口是圆形，AB、CD是圆的两条平行弦，纸条宽度MN就是两条弦之间的距离为7cm。解题时可利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，先得到两条弦的半长，再设圆心到其中一条弦的距离为未知数，根据两条弦对应的半径相等，结合勾股定理列方程求解半径，即可得到直径长度。
【解析】
设圆O的半径为$ r $ cm，圆心O到弦CD的距离$ OM = x $ cm，由$ MN=7\mathrm{cm} $，得圆心O到弦AB的距离$ ON=(7-x)\mathrm{cm} $。
根据垂径定理：
$ CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm} $，$ AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OCM $中，由勾股定理得：$ r^2=x^2+4^2 $ ①
在$ \mathrm{Rt}△ OAM $中，由勾股定理得：$ r^2=(7-x)^2+3^2 $ ②
联立①②得：$ x^2+16=(7-x)^2+9 $
展开化简：$ x^2+16=49-14x+x^2+9 $
消去$ x^2 $，解得$ 14x=42 $，即$ x=3 $。
将$ x=3 $代入①，得$ r^2=3^2+16=25 $，所以$ r=5 $（半径为正）。
因此纸杯的直径为$ 2r=2×5=10\mathrm{cm} $。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活测量场景考查几何知识的应用，核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过半径相等建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的实用性。
【难度系数】
0.7
纸杯杯口是圆形，AB、CD是圆的两条平行弦，纸条宽度MN就是两条弦之间的距离为7cm。解题时可利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，先得到两条弦的半长，再设圆心到其中一条弦的距离为未知数，根据两条弦对应的半径相等，结合勾股定理列方程求解半径，即可得到直径长度。
【解析】
设圆O的半径为$ r $ cm，圆心O到弦CD的距离$ OM = x $ cm，由$ MN=7\mathrm{cm} $，得圆心O到弦AB的距离$ ON=(7-x)\mathrm{cm} $。
根据垂径定理：
$ CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm} $，$ AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OCM $中，由勾股定理得：$ r^2=x^2+4^2 $ ①
在$ \mathrm{Rt}△ OAM $中，由勾股定理得：$ r^2=(7-x)^2+3^2 $ ②
联立①②得：$ x^2+16=(7-x)^2+9 $
展开化简：$ x^2+16=49-14x+x^2+9 $
消去$ x^2 $，解得$ 14x=42 $，即$ x=3 $。
将$ x=3 $代入①，得$ r^2=3^2+16=25 $，所以$ r=5 $（半径为正）。
因此纸杯的直径为$ 2r=2×5=10\mathrm{cm} $。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活测量场景考查几何知识的应用，核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过半径相等建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的实用性。
【难度系数】
0.7
例2 如图，等边三角形ABC内接于半径为1的$\odot O$，以BC为一边作$\odot O$的内接矩形BCDE，求矩形BCDE的面积。
例2图
例2图
答案
矩形BCDE的面积$=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要求矩形BCDE的面积，需先求出矩形的邻边BC、CD的长度。解题思路如下：1. 连接OB、OC，利用等边三角形的性质和圆周角定理，求出圆心角∠BOC的度数，结合圆的半径为1，计算出BC的长度；2. 根据圆内接矩形的性质，可知矩形的对角线为圆的直径，得到BD的长度，再在Rt△BCD中用勾股定理求出CD的长度；3. 最后用矩形面积公式计算结果即可。
【解析】
连接OB、OC。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得∠BOC=2∠BAC=120°。
∵OB=OC=1，过O作OH⊥BC于H，
∴∠BOH=½∠BOC=60°，
在Rt△BOH中，BH=OB·sin60°=1×√3/2=√3/2，
∴BC=2BH=√3。
∵四边形BCDE是⊙O的内接矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直径，BD=2×1=2。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
CD=√(BD² - BC²)=√(2² - (√3)²)=√(4-3)=1，
∴矩形BCDE的面积=BC×CD=√3×1=√3。
【答案】
√3
【知识点】
圆周角定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊多边形的综合应用题，解题的关键是灵活运用圆周角定理和圆内接矩形的性质，通过添加辅助线求出矩形的邻边长，对基础性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求矩形BCDE的面积，需先求出矩形的邻边BC、CD的长度。解题思路如下：1. 连接OB、OC，利用等边三角形的性质和圆周角定理，求出圆心角∠BOC的度数，结合圆的半径为1，计算出BC的长度；2. 根据圆内接矩形的性质，可知矩形的对角线为圆的直径，得到BD的长度，再在Rt△BCD中用勾股定理求出CD的长度；3. 最后用矩形面积公式计算结果即可。
【解析】
连接OB、OC。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得∠BOC=2∠BAC=120°。
∵OB=OC=1，过O作OH⊥BC于H，
∴∠BOH=½∠BOC=60°，
在Rt△BOH中，BH=OB·sin60°=1×√3/2=√3/2，
∴BC=2BH=√3。
∵四边形BCDE是⊙O的内接矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直径，BD=2×1=2。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
CD=√(BD² - BC²)=√(2² - (√3)²)=√(4-3)=1，
∴矩形BCDE的面积=BC×CD=√3×1=√3。
【答案】
√3
【知识点】
圆周角定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊多边形的综合应用题，解题的关键是灵活运用圆周角定理和圆内接矩形的性质，通过添加辅助线求出矩形的邻边长，对基础性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
