16. （★★）如图，在 $ △ A B C $中，E为边AB上的一点，连接CE并延长，过点A作 $ AD\bot CE $ ，垂足为 D.已知 $ AD=7,CD=24,AB=20, BC=15 $ ，求证： $ AB\bot BC. $

16. $\because AD⊥ CE$,
$\therefore ∠ D=90°$.
$\because AD=7,CD=24$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=25$.
$\because AB=20,BC=15,20^{2}+15^{2}=25^{2}=625,AC^{2}=25^{2}=625$,
$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$.
$\therefore △ ABC$是直角三角形,且$∠ B=90°$.
$\therefore AB⊥ BC$.

 17. （★★★）（1）如图 $ \textcircled{1} $ ，在等边三角形 ABC内有一点 P，且 $ P A=2,P B=\sqrt{3},PC=1. $ 若把 $ △ BPC $绕点 B逆时针旋转 $ 60° $得到 $ △ BP^{\prime}A $连接 $ PP^{\prime} $ ，求 $ ∠ BPC $的度数和 $ PP^{\prime} $的长.
(2) 如图 $ \textcircled{2} $在等腰直角三角形 ABC内有一点 P，且 $ ∠ A B C=9 0° $ $ P A=6 $ , $ P B=4 $ , $ PC=2 $求 $ ∠ B P C $的度数.

17. (1)$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore AB=CB,∠ ABC=60°$.
$\because$ 把$△ BPC$绕点$B$逆时针旋转$60°$得到$△ BP'A$,
$\therefore P'A=PC=1,P'B=PB=\sqrt{3},∠ PBP'=60°,∠ BPC=∠ BP'A$.
$\therefore △ PBP'$是等边三角形.
$\therefore PP'=PB=\sqrt{3},∠ BP'P=60°$.
$\because PA=2$,
$\therefore P'A^{2}+PP'^{2}=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4,PA^{2}=2^{2}=4$.
$\therefore P'A^{2}+PP'^{2}=PA^{2}$.
$\therefore △ AP'P$是直角三角形,且$∠ AP'P=90°$.
$\therefore ∠ BPC=∠ BP'A=∠ BP'P+∠ AP'P=150°$.
$\therefore ∠ BPC$的度数是$150°$,$PP'$的长是$\sqrt{3}$.
(2)如图,将线段$BP$绕点$B$逆时针旋转$90°$得到线段$BQ$,连接$PQ,QA$,

则$QB=PB=4,∠ QBP=90°$.
$\therefore ∠ BQP=∠ BPQ=45°,PQ^{2}=QB^{2}+PB^{2}=4^{2}+4^{2}=32$.
$\because △ ABC$是等腰直角三角形,$∠ ABC=90°$,
$\therefore AB=CB$.
$\therefore ∠ ABQ=∠ CBP=90°-∠ ABP$.
$\therefore △ ABQ≌△ CBP(\mathrm{SAS})$.
$\therefore QA=PC=2,∠ BPC=∠ BQA$.
$\because PA=6$,
$\therefore PQ^{2}+QA^{2}=32+2^{2}=36,PA^{2}=6^{2}=36$.
$\therefore PQ^{2}+QA^{2}=PA^{2}$.
$\therefore △ AQP$是直角三角形,且$∠ AQP=90°$.
$\therefore ∠ BPC=∠ BQA=∠ BQP+∠ AQP=45°+90°=135°$.
$\therefore ∠ BPC$的度数是$135°$.