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1. 6 的平方根是
A.$\pm 6$
B.3
C.$-6$
D.$\pm\sqrt{6}$
（
A.$\pm 6$
B.3
C.$-6$
D.$\pm\sqrt{6}$
（
D
）答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根，同时要记住正数有两个互为相反数的平方根。我们可以通过验证各选项数值的平方是否等于6来筛选正确答案，还要注意区分平方根和算术平方根，避免漏记负的平方根。
【解析】
根据平方根的定义，逐一验证选项：
A. $(\pm6)^2=36≠6$，不符合要求，错误；
B. $3^2=9≠6$，不符合要求，错误；
C. $(-6)^2=36≠6$，不符合要求，错误；
D. $(\pm\sqrt{6})^2=6$，满足平方根的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义，平方根的性质
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对平方根定义的理解，解题时要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要和仅为非负数的算术平方根混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根，同时要记住正数有两个互为相反数的平方根。我们可以通过验证各选项数值的平方是否等于6来筛选正确答案，还要注意区分平方根和算术平方根，避免漏记负的平方根。
【解析】
根据平方根的定义，逐一验证选项：
A. $(\pm6)^2=36≠6$，不符合要求，错误；
B. $3^2=9≠6$，不符合要求，错误；
C. $(-6)^2=36≠6$，不符合要求，错误；
D. $(\pm\sqrt{6})^2=6$，满足平方根的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义，平方根的性质
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对平方根定义的理解，解题时要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要和仅为非负数的算术平方根混淆。
【难度系数】
0.9
2. 以下列各组数为边长能组成直角三角形的是 （
A.4、5、6
B.$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{7}$
C.0.3、0.4、0.5
D.$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{10}$
C
）A.4、5、6
B.$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{7}$
C.0.3、0.4、0.5
D.$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{10}$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断给定的三边长能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三边长中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先对每个选项确定最长边，再分别计算两短边的平方和与最长边的平方，对比二者是否相等即可判断。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证选项：
A. 三边长为4、5、6，最长边为6
$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能组成直角三角形，不符合题意；
B. 三边长为$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{7}$，最长边为$\sqrt{7}$
$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2=3+5=8$，$(\sqrt{7})^2=7$，$8≠7$，不能组成直角三角形，不符合题意；
C. 三边长为0.3、0.4、0.5，最长边为0.5
$0.3^2+0.4^2=0.09+0.16=0.25$，$0.5^2=0.25$，二者相等，能组成直角三角形，符合题意；
D. 三边长为$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{10}$，最长边为$\frac{1}{6}$
$(\frac{1}{8})^2+(\frac{1}{10})^2=\frac{1}{64}+\frac{1}{100}=\frac{41}{1600}$，$(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，$\frac{41}{1600}≠\frac{1}{36}$，不能组成直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是先确定每组边长中的最长边，再准确计算平方后验证等量关系，计算时注意带根号、分数类的平方运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.85
要判断给定的三边长能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三边长中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先对每个选项确定最长边，再分别计算两短边的平方和与最长边的平方，对比二者是否相等即可判断。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证选项：
A. 三边长为4、5、6，最长边为6
$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能组成直角三角形，不符合题意；
B. 三边长为$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{7}$，最长边为$\sqrt{7}$
$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2=3+5=8$，$(\sqrt{7})^2=7$，$8≠7$，不能组成直角三角形，不符合题意；
C. 三边长为0.3、0.4、0.5，最长边为0.5
$0.3^2+0.4^2=0.09+0.16=0.25$，$0.5^2=0.25$，二者相等，能组成直角三角形，符合题意；
D. 三边长为$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{10}$，最长边为$\frac{1}{6}$
$(\frac{1}{8})^2+(\frac{1}{10})^2=\frac{1}{64}+\frac{1}{100}=\frac{41}{1600}$，$(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，$\frac{41}{1600}≠\frac{1}{36}$，不能组成直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是先确定每组边长中的最长边，再准确计算平方后验证等量关系，计算时注意带根号、分数类的平方运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.85
3. 已知$\sqrt{(a-2)^2} + |b+1| = 0$，则点$P(a,b)$关于原点对称的点的坐标是 （
A.$(2,-1)$
B.$(-2,-1)$
C.$(-2,1)$
D.$(2,1)$
C
）A.$(2,-1)$
B.$(-2,-1)$
C.$(-2,1)$
D.$(2,1)$
答案
3. C 解析:$\because \sqrt{(a-2)^2}+|b+1|=0,\therefore a-2=0,b+1=0,\therefore a=2,b=-1$,则点$P(2,-1)$,则点$P(2,-1)$关于原点对称的点的坐标为$(-2,1)$.
解析
【分析】
解题时首先明确算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数的值都为0，据此可以先列方程求出a、b的值，得到点P的坐标；再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出对称点的坐标。
【解析】
解：
∵$\sqrt{(a-2)^2} ≥ 0$，$|b+1| ≥ 0$，且$\sqrt{(a-2)^2} + |b+1| = 0$
∴$\begin{cases}a-2=0 \\ b+1=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
∴点P的坐标为$(2,-1)$
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数
∴点P$(2,-1)$关于原点对称的点的坐标是$(-2,1)$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，综合考查了非负性的应用与平面直角坐标系中点的对称规律，解题关键是掌握常见非负数的类型以及不同对称方式下的坐标变化规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数的值都为0，据此可以先列方程求出a、b的值，得到点P的坐标；再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出对称点的坐标。
【解析】
解：
∵$\sqrt{(a-2)^2} ≥ 0$，$|b+1| ≥ 0$，且$\sqrt{(a-2)^2} + |b+1| = 0$
∴$\begin{cases}a-2=0 \\ b+1=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2 \\ b=-1\end{cases}$
∴点P的坐标为$(2,-1)$
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数
∴点P$(2,-1)$关于原点对称的点的坐标是$(-2,1)$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，综合考查了非负性的应用与平面直角坐标系中点的对称规律，解题关键是掌握常见非负数的类型以及不同对称方式下的坐标变化规则。
【难度系数】
0.8
4. 对于一次函数$y=2x-1$，下列结论正确的是 （
A.它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$
B.$y$随$x$的增大而减小
C.当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$
D.它的图象经过第一、二、三象限
A
）A.它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$
B.$y$随$x$的增大而减小
C.当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$
D.它的图象经过第一、二、三象限
答案
4. A 解析:当$x=0$时,$y=-1$,则它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$,故A选项符合题意;$\because 2＞0$,$\therefore y$随$x$的增大而增大,故B选项不符合题意;当$x＞\frac{1}{2}$时,$y＞0$,故C选项不符合题意;它的图象经过第一、三、四象限,故D选项不符合题意.
解析
【分析】
本题考查一次函数的相关性质，解题时可根据一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的性质，逐个对选项进行验证判断：①求与y轴的交点只需令$x=0$计算对应$y$值即可；②函数增减性由$k$的符号决定，$k＞0$时$y$随$x$增大而增大，$k＜0$时$y$随$x$增大而减小；③判断$y$的正负可解对应的不等式；④图象经过的象限由$k$、$b$的符号共同决定。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 当$x=0$时，代入$y=2x-1$得$y=2×0 -1 = -1$，因此它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$，该选项符合题意；
B. 一次函数解析式中$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，该选项不符合题意；
C. 令$y＜0$，即$2x-1＜0$，解得$x＜\frac{1}{2}$，即只有当$x＜\frac{1}{2}$时$y＜0$，当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＞0$，该选项不符合题意；
D. 由$k=2＞0$可知图象过第一、三象限，由$b=-1＜0$可知图象与$y$轴交于负半轴，因此图象还经过第四象限，即图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是一次函数的基础考察题，核心是掌握一次函数中系数$k$、$b$对函数增减性、图象所在象限的影响，以及函数与坐标轴交点的求解方法，熟练掌握这些知识点即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的相关性质，解题时可根据一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的性质，逐个对选项进行验证判断：①求与y轴的交点只需令$x=0$计算对应$y$值即可；②函数增减性由$k$的符号决定，$k＞0$时$y$随$x$增大而增大，$k＜0$时$y$随$x$增大而减小；③判断$y$的正负可解对应的不等式；④图象经过的象限由$k$、$b$的符号共同决定。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 当$x=0$时，代入$y=2x-1$得$y=2×0 -1 = -1$，因此它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$，该选项符合题意；
B. 一次函数解析式中$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，该选项不符合题意；
C. 令$y＜0$，即$2x-1＜0$，解得$x＜\frac{1}{2}$，即只有当$x＜\frac{1}{2}$时$y＜0$，当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＞0$，该选项不符合题意；
D. 由$k=2＞0$可知图象过第一、三象限，由$b=-1＜0$可知图象与$y$轴交于负半轴，因此图象还经过第四象限，即图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是一次函数的基础考察题，核心是掌握一次函数中系数$k$、$b$对函数增减性、图象所在象限的影响，以及函数与坐标轴交点的求解方法，熟练掌握这些知识点即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$D$为$AB$的中点,点$E$在$BC$上,且$CE=AC$,$∠ BAE=15°$,则$∠ CDE$的度数为 （
A.$60°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$30°$
B
）A.$60°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
5. B 解析:$\because ∠ ACB=90°$,$CE=AC$,$\therefore ∠ CAE=∠ AEC=45°$,$\because ∠ BAE=15°$,$\therefore ∠ CAB=60°$,$\therefore ∠ B=30°$,$\because ∠ ACB=90°$,$D$为$AB$的中点,$\therefore CD=BD=AD=\frac{1}{2}AB$,$\therefore △ ACD$是等边三角形,$∠ DCB=∠ B=30°$,$\therefore AC=DC=CE$,$\therefore ∠ CDE=∠ CED=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰边相等和直角条件入手，先推导△ACE的内角度数，结合给出的∠BAE的度数求出△ABC的两个锐角度数；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD与AC的等量关系，结合CE=AC推出△CDE为等腰三角形，最后根据三角形内角和计算∠CDE的度数即可。
【解析】
$\because ∠ ACB=90°$，$CE=AC$，
$\therefore △ ACE$是等腰直角三角形，$∠ CAE=∠ AEC=45°$，
$\because ∠ BAE=15°$，
$\therefore ∠ CAB=∠ CAE+∠ BAE=45°+15°=60°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ CAB=30°$，
$\because ∠ ACB=90°$，$D$为$AB$的中点，
$\therefore CD=BD=AD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore △ ACD$是等边三角形，$∠ DCB=∠ B=30°$，
$\therefore AC=DC$，结合$CE=AC$可得$DC=CE$，即$△ CDE$是等腰三角形，
$\therefore ∠ CDE=∠ CED=\frac{1}{2}×(180°-∠ DCE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题属于三角形角度计算的综合题，需要灵活运用特殊三角形的边角性质进行关系转化，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质得到线段相等，进而推导等腰三角形求解角度，能较好地考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的等腰边相等和直角条件入手，先推导△ACE的内角度数，结合给出的∠BAE的度数求出△ABC的两个锐角度数；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD与AC的等量关系，结合CE=AC推出△CDE为等腰三角形，最后根据三角形内角和计算∠CDE的度数即可。
【解析】
$\because ∠ ACB=90°$，$CE=AC$，
$\therefore △ ACE$是等腰直角三角形，$∠ CAE=∠ AEC=45°$，
$\because ∠ BAE=15°$，
$\therefore ∠ CAB=∠ CAE+∠ BAE=45°+15°=60°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ CAB=30°$，
$\because ∠ ACB=90°$，$D$为$AB$的中点，
$\therefore CD=BD=AD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore △ ACD$是等边三角形，$∠ DCB=∠ B=30°$，
$\therefore AC=DC$，结合$CE=AC$可得$DC=CE$，即$△ CDE$是等腰三角形，
$\therefore ∠ CDE=∠ CED=\frac{1}{2}×(180°-∠ DCE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题属于三角形角度计算的综合题，需要灵活运用特殊三角形的边角性质进行关系转化，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质得到线段相等，进而推导等腰三角形求解角度，能较好地考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6. 把 67.748 精确到百分位得到的近似数是
67.75
.答案
6. 67.75
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求是精确到百分位，即保留两位小数。回忆取近似数的常用方法为四舍五入法，规则是：精确到某一位时，需要观察该数位的下一位数字，若下一位数字小于5则直接舍去后续数位，若下一位数字大于等于5则向该数位进1后再舍去后续数位。接下来先定位67.748的百分位，再看它下一位千分位的数字，按规则计算即可得到结果。
【解析】
解：将67.748精确到百分位，步骤如下：
1. 定位百分位：67.748的小数点后第二位是4，即百分位对应的数字为4；
2. 观察下一位数字：百分位的下一位是千分位，对应数字为8，满足8≥5；
3. 按四舍五入规则计算：向百分位进1，4+1=5，舍去千分位的8，得到近似数67.75。
【答案】
67.75
【知识点】
近似数、四舍五入法、小数数位
【点评】
本题属于基础题，主要考查近似数的取法，解题关键是准确找到精确数位的下一位，再按照四舍五入规则运算，注意避免看错数位的低级错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目要求是精确到百分位，即保留两位小数。回忆取近似数的常用方法为四舍五入法，规则是：精确到某一位时，需要观察该数位的下一位数字，若下一位数字小于5则直接舍去后续数位，若下一位数字大于等于5则向该数位进1后再舍去后续数位。接下来先定位67.748的百分位，再看它下一位千分位的数字，按规则计算即可得到结果。
【解析】
解：将67.748精确到百分位，步骤如下：
1. 定位百分位：67.748的小数点后第二位是4，即百分位对应的数字为4；
2. 观察下一位数字：百分位的下一位是千分位，对应数字为8，满足8≥5；
3. 按四舍五入规则计算：向百分位进1，4+1=5，舍去千分位的8，得到近似数67.75。
【答案】
67.75
【知识点】
近似数、四舍五入法、小数数位
【点评】
本题属于基础题，主要考查近似数的取法，解题关键是准确找到精确数位的下一位，再按照四舍五入规则运算，注意避免看错数位的低级错误。
【难度系数】
0.9
7. 将一次函数$y=x-2$的图象平移，使其经过点$(2,3)$，则所得直线的函数表达式是________.
答案
7. $y=x+1$ 解析:设平移后所得直线的表达式为$y=x+b$,则$3=2+b$,解得$b=1$,$\therefore$平移后所得直线的表达式为$y=x+1$.
解析
【分析】
首先回忆一次函数图象平移的性质：一次函数平移时，其斜率k的值保持不变，仅截距b发生变化。本题中原一次函数y=x-2的k=1，因此平移后的新函数k仍然为1，我们可以先设平移后的函数表达式为y=x+b；又已知平移后的图象经过点(2,3)，将该点坐标代入设好的表达式中即可求出b的值，最终得到平移后的函数表达式。
【解析】
根据一次函数平移的性质，平移后直线的斜率与原直线相同，原直线y=x-2的k=1，因此设平移后所得直线的表达式为$y=x+b$。
∵平移后的直线经过点$(2,3)$，将$x=2$，$y=3$代入表达式得：
$3=2+b$
解得$b=1$
∴平移后所得直线的函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
$y=x+1$
【知识点】
一次函数图象平移规律；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数平移性质及待定系数法的应用，解题核心是牢记一次函数平移时斜率k不变的特点，属于基础题型，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆一次函数图象平移的性质：一次函数平移时，其斜率k的值保持不变，仅截距b发生变化。本题中原一次函数y=x-2的k=1，因此平移后的新函数k仍然为1，我们可以先设平移后的函数表达式为y=x+b；又已知平移后的图象经过点(2,3)，将该点坐标代入设好的表达式中即可求出b的值，最终得到平移后的函数表达式。
【解析】
根据一次函数平移的性质，平移后直线的斜率与原直线相同，原直线y=x-2的k=1，因此设平移后所得直线的表达式为$y=x+b$。
∵平移后的直线经过点$(2,3)$，将$x=2$，$y=3$代入表达式得：
$3=2+b$
解得$b=1$
∴平移后所得直线的函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
$y=x+1$
【知识点】
一次函数图象平移规律；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数平移性质及待定系数法的应用，解题核心是牢记一次函数平移时斜率k不变的特点，属于基础题型，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在平面直角坐标系中,线段AB端点的坐标分别为$A(-5,0)$、$B(0,-3)$.若将线段AB平移至线段$A_1B_1$的位置,且$A_1(-3,m)$、$B_1(2,1)$,则$m$的值为________.
答案
8. 4 解析:由题意,得线段$AB$向右平移2个单位长度,向上平移4个单位长度得到线段$A_1B_1$,$\therefore m=0+4=4$.
解析
【分析】
本题可根据平移的性质求解，平移过程中所有对应点的横、纵坐标变化量完全相同。解题时先通过已知的B、B₁两点的坐标，计算出平移时横坐标和纵坐标的变化规律，再将该规律应用到A、A₁这组对应点上，即可求出m的值。
【解析】
解：已知平移前B点坐标为$(0,-3)$，平移后对应点$B_1$坐标为$(2,1)$。
1. 计算横坐标变化量：$2 - 0 = 2$，说明线段AB向右平移了2个单位长度；
2. 计算纵坐标变化量：$1 - (-3) = 4$，说明线段AB向上平移了4个单位长度；
因为$A(-5,0)$平移后对应点为$A_1(-3,m)$，对应点纵坐标变化量一致，因此：
$m = 0 + 4 = 4$
【答案】
4
【知识点】
1. 平移的性质 2. 坐标平移规律
【点评】
本题考查平移的坐标变化规律的应用，解题核心是抓住平移前后对应点的坐标变化量相同，属于基础题型，熟练掌握平移的坐标变化规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题可根据平移的性质求解，平移过程中所有对应点的横、纵坐标变化量完全相同。解题时先通过已知的B、B₁两点的坐标，计算出平移时横坐标和纵坐标的变化规律，再将该规律应用到A、A₁这组对应点上，即可求出m的值。
【解析】
解：已知平移前B点坐标为$(0,-3)$，平移后对应点$B_1$坐标为$(2,1)$。
1. 计算横坐标变化量：$2 - 0 = 2$，说明线段AB向右平移了2个单位长度；
2. 计算纵坐标变化量：$1 - (-3) = 4$，说明线段AB向上平移了4个单位长度；
因为$A(-5,0)$平移后对应点为$A_1(-3,m)$，对应点纵坐标变化量一致，因此：
$m = 0 + 4 = 4$
【答案】
4
【知识点】
1. 平移的性质 2. 坐标平移规律
【点评】
本题考查平移的坐标变化规律的应用，解题核心是抓住平移前后对应点的坐标变化量相同，属于基础题型，熟练掌握平移的坐标变化规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
9. 如图，直线 $ l_1: y = \frac{3}{4}x + 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $、$ B $，直线 $ l_2 $ 经过点 $ A $，与 $ y $ 轴负半轴交于点 $ C $，且 $ ∠ BAC = 45° $，则直线 $ l_2 $ 的函数表达式为 ______。
答案
9. $y=-\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}$ 解析:
过点$B$作$BD⊥ AB$交$l_2$于点$D$,过点$D$作$DE⊥ y$轴于点$E$.$\because ∠ BAC=45°$,$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形,$\therefore BD=AB$.$\because ∠ ABO+∠ DBE=90°=∠ BAO+∠ ABO$,$\therefore ∠ BAO=∠ DBE$.在$△ AOB$和$△ BED$中,$\begin{cases}∠ AOB=∠ BED,\\∠ BAO=∠ DBE,\\AB=BD,\end{cases}$$\therefore △ AOB≌△ BED(\mathrm{AAS})$,$\therefore AO=BE$,$OB=ED$.$\because$直线$l_1$:$y=\frac{3}{4}x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$、$B$,$\therefore$点$A(-4,0)$、$B(0,3)$,$\therefore BE=AO=4$,$ED=OB=3$,$\therefore$点$D$的坐标为$(3,-1)$.设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$,将点$A(-4,0)$、$D(3,-1)$代入,得$\begin{cases}-4k+b=0,\\3k+b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{7},\\b=-\frac{4}{7},\end{cases}$$\therefore$直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}$.解析
【分析】
要确定直线$l_2$的函数表达式，已知$l_2$经过点$A$，只需再求出$l_2$上另一个点的坐标即可。首先根据直线$l_1$的解析式求出点$A$、$B$的坐标；结合已知$∠BAC=45°$，过点$B$作$AB$的垂线交$l_2$于点$D$，即可得到等腰直角$△ ABD$，再作$DE⊥y$轴构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质求出点$D$的坐标；最后用待定系数法将$A$、$D$两点坐标代入解析式，就能求出$l_2$的函数表达式。
【解析】
首先求点$A$、$B$的坐标：
对于直线$l_1:y=\frac{3}{4}x+3$，
令$y=0$，得$\frac{3}{4}x+3=0$，解得$x=-4$，故$A(-4,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$。
过点$B$作$BD⊥AB$交$l_2$于点$D$，过点$D$作$DE⊥y$轴于点$E$。
$\because ∠BAC=45°$，$BD⊥AB$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，$\therefore AB=BD$。
$\because ∠ABO+∠DBE=90°$，$∠ABO+∠BAO=90°$，
$\therefore ∠BAO=∠DBE$。
在$△ AOB$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠AOB=∠BED=90° \\∠BAO=∠DBE \\AB=BD\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BED(\mathrm{AAS})$
$\therefore AO=BE$，$OB=ED$。
已知$AO=4$，$OB=3$，$\therefore BE=4$，$ED=3$。
$\because$点$D$在第四象限，$OE=BE-OB=4-3=1$，
$\therefore D$的坐标为$(3,-1)$。
设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-4,0)$、$D(3,-1)$代入得：
$\begin{cases}-4k+b=0 \\3k+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$7k=-1$，解得$k=-\frac{1}{7}$，
将$k=-\frac{1}{7}$代入$-4k+b=0$，得$b=4k=-\frac{4}{7}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质
【点评】
本题综合考查一次函数与全等三角形的相关知识，解题的核心是利用45°角构造等腰直角三角形，通过全等三角形转化边长求出未知点坐标，对几何构造能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要确定直线$l_2$的函数表达式，已知$l_2$经过点$A$，只需再求出$l_2$上另一个点的坐标即可。首先根据直线$l_1$的解析式求出点$A$、$B$的坐标；结合已知$∠BAC=45°$，过点$B$作$AB$的垂线交$l_2$于点$D$，即可得到等腰直角$△ ABD$，再作$DE⊥y$轴构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质求出点$D$的坐标；最后用待定系数法将$A$、$D$两点坐标代入解析式，就能求出$l_2$的函数表达式。
【解析】
首先求点$A$、$B$的坐标：
对于直线$l_1:y=\frac{3}{4}x+3$，
令$y=0$，得$\frac{3}{4}x+3=0$，解得$x=-4$，故$A(-4,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$。
过点$B$作$BD⊥AB$交$l_2$于点$D$，过点$D$作$DE⊥y$轴于点$E$。
$\because ∠BAC=45°$，$BD⊥AB$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，$\therefore AB=BD$。
$\because ∠ABO+∠DBE=90°$，$∠ABO+∠BAO=90°$，
$\therefore ∠BAO=∠DBE$。
在$△ AOB$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠AOB=∠BED=90° \\∠BAO=∠DBE \\AB=BD\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BED(\mathrm{AAS})$
$\therefore AO=BE$，$OB=ED$。
已知$AO=4$，$OB=3$，$\therefore BE=4$，$ED=3$。
$\because$点$D$在第四象限，$OE=BE-OB=4-3=1$，
$\therefore D$的坐标为$(3,-1)$。
设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-4,0)$、$D(3,-1)$代入得：
$\begin{cases}-4k+b=0 \\3k+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$7k=-1$，解得$k=-\frac{1}{7}$，
将$k=-\frac{1}{7}$代入$-4k+b=0$，得$b=4k=-\frac{4}{7}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质
【点评】
本题综合考查一次函数与全等三角形的相关知识，解题的核心是利用45°角构造等腰直角三角形，通过全等三角形转化边长求出未知点坐标，对几何构造能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. 如图，点A、B的坐标分别为(1,0)、(0,3)，点C在第一象限.若$△ ABC$是等腰直角三角形，则点C的坐标是________.
答案
10. $(3,4)$或$(4,1)$或$(2,2)$ 解析:
若$△ ABC$是等腰直角三角形,则存在三种情况,如图所示,点$C$分别在点$C_1$、$C_2$或$C_3$处.过点$C_1$、$C_2$分别作$C_1E⊥ y$轴、$C_2D⊥ x$轴.$\because △ ABC_1$、$△ ABC_2$、$△ ABC_3$是等腰直角三角形,$\therefore$在$△ ABO$和$△ BC_1E$中,$\begin{cases}∠ OAB=∠ EBC_1,\\∠ AOB=∠ BEC_1,\\AB=BC_1,\end{cases}$$\therefore △ ABO≌△ BC_1E(\mathrm{AAS})$,$\therefore BE=AO=1$,$EC_1=OB=3$,$\therefore$点$C_1(3,4)$;同理可得点$C_2(4,1)$;易知$C_3$是$BC_2$的中点,$\therefore$点$C_3(2,2)$.综上所述,当$△ ABC$是等腰直角三角形时,点$C$的坐标为$(3,4)$或$(4,1)$或$(2,2)$.解析
【分析】
解决本题首先要明确：等腰直角三角形未指定直角顶点时，需分三种情况讨论，分别以点A、点B、点C为直角顶点。针对每种情况，通过向坐标轴作垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知点A、B的坐标求出对应线段长度，即可推导得到点C的坐标。
【解析】
已知点$A(1,0)$、$B(0,3)$，可得$OA=1$，$OB=3$，分三种情况讨论：
1. 当点B为直角顶点时，$AB=BC_1$，$∠ ABC_1=90°$：
过$C_1$作$C_1E ⊥ y$轴于点E，
$\because ∠ ABO + ∠ EBC_1 = 90°$，$∠ ABO + ∠ OAB = 90°$，$\therefore ∠ OAB = ∠ EBC_1$，
在$△ ABO$和$△ BC_1E$中：
$\begin{cases}∠ AOB = ∠ BEC_1 = 90° \\∠ OAB = ∠ EBC_1 \\AB = BC_1\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ BC_1E \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE = AO = 1$，$EC_1 = OB = 3$，
$\therefore OE = OB + BE = 3 + 1 = 4$，即$C_1$坐标为$(3,4)$。
2. 当点A为直角顶点时，$AB=AC_2$，$∠ BAC_2=90°$：
过$C_2$作$C_2D ⊥ x$轴于点D，同理可证$△ ABO ≌ △ C_2AD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD = OB = 3$，$C_2D = AO = 1$，
$\therefore OD = OA + AD = 1 + 3 = 4$，即$C_2$坐标为$(4,1)$。
3. 当点C为直角顶点时，$AC_3=BC_3$，$∠ AC_3B=90°$：
此时$C_3$为线段$BC_2$的中点，根据中点坐标公式可得$C_3$的横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即$C_3$坐标为$(2,2)$。
综上，满足条件的点C的坐标为$(3,4)$或$(4,1)$或$(2,2)$。
【答案】
$(3,4)$或$(4,1)$或$(2,2)$
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的存在性问题，解题核心是明确直角顶点的三种可能性，通过构造全等三角形实现线段长度与坐标的转化，易错点是遗漏分类情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确：等腰直角三角形未指定直角顶点时，需分三种情况讨论，分别以点A、点B、点C为直角顶点。针对每种情况，通过向坐标轴作垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知点A、B的坐标求出对应线段长度，即可推导得到点C的坐标。
【解析】
已知点$A(1,0)$、$B(0,3)$，可得$OA=1$，$OB=3$，分三种情况讨论：
1. 当点B为直角顶点时，$AB=BC_1$，$∠ ABC_1=90°$：
过$C_1$作$C_1E ⊥ y$轴于点E，
$\because ∠ ABO + ∠ EBC_1 = 90°$，$∠ ABO + ∠ OAB = 90°$，$\therefore ∠ OAB = ∠ EBC_1$，
在$△ ABO$和$△ BC_1E$中：
$\begin{cases}∠ AOB = ∠ BEC_1 = 90° \\∠ OAB = ∠ EBC_1 \\AB = BC_1\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ BC_1E \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE = AO = 1$，$EC_1 = OB = 3$，
$\therefore OE = OB + BE = 3 + 1 = 4$，即$C_1$坐标为$(3,4)$。
2. 当点A为直角顶点时，$AB=AC_2$，$∠ BAC_2=90°$：
过$C_2$作$C_2D ⊥ x$轴于点D，同理可证$△ ABO ≌ △ C_2AD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD = OB = 3$，$C_2D = AO = 1$，
$\therefore OD = OA + AD = 1 + 3 = 4$，即$C_2$坐标为$(4,1)$。
3. 当点C为直角顶点时，$AC_3=BC_3$，$∠ AC_3B=90°$：
此时$C_3$为线段$BC_2$的中点，根据中点坐标公式可得$C_3$的横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即$C_3$坐标为$(2,2)$。
综上，满足条件的点C的坐标为$(3,4)$或$(4,1)$或$(2,2)$。
【答案】
$(3,4)$或$(4,1)$或$(2,2)$
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的存在性问题，解题核心是明确直角顶点的三种可能性，通过构造全等三角形实现线段长度与坐标的转化，易错点是遗漏分类情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
