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9. 定义一种新运算“△”：$a△ b = a^2 - ab$，则$\sqrt{2}△1$的值为（）
A.$1 - \sqrt{2}$
B.$1 + \sqrt{2}$
C.$2 - \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$
A.$1 - \sqrt{2}$
B.$1 + \sqrt{2}$
C.$2 - \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$
答案
C
解析
根据新运算“△”的定义$a△b=a^2-ab$，将$a=\sqrt{2}$，$b=1$代入运算式：
$\sqrt{2}△1=(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}×1=2-\sqrt{2}$
$\sqrt{2}△1=(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}×1=2-\sqrt{2}$
10.下列关于圆周率π说法错误的是 （）
A.它是无限不循环小数
B.它可以用数轴上唯一的一个点来表示
C.它的相反数小于－3
D.它与任何无理数的和是无理数
A.它是无限不循环小数
B.它可以用数轴上唯一的一个点来表示
C.它的相反数小于－3
D.它与任何无理数的和是无理数
答案
D
解析
逐一分析各选项：
1. π是无限不循环小数，A说法正确；
2. 实数和数轴上的点一一对应，π是实数，可在数轴上用唯一的点表示，B说法正确；
3. π≈3.14，它的相反数是-π≈-3.14，-3.14＜-3，C说法正确；
4. 举反例：π和无理数-π的和为0，0是有理数，因此“π与任何无理数的和是无理数”的表述错误。
1. π是无限不循环小数，A说法正确；
2. 实数和数轴上的点一一对应，π是实数，可在数轴上用唯一的点表示，B说法正确；
3. π≈3.14，它的相反数是-π≈-3.14，-3.14＜-3，C说法正确；
4. 举反例：π和无理数-π的和为0，0是有理数，因此“π与任何无理数的和是无理数”的表述错误。
二、填空题
11. 已知某数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，则这个数为。
11. 已知某数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，则这个数为。
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
解：
根据平方根的定义，这个数为$(-\sqrt{13})^2 = 13$。
根据平方根的定义，这个数为$(-\sqrt{13})^2 = 13$。
12.计算：$\sqrt{9} - |-2| =$ .
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
解：
$\sqrt{9}=3$，$|-2|=2$，
$\sqrt{9}-|-2|=3-2=1$
$\sqrt{9}=3$，$|-2|=2$，
$\sqrt{9}-|-2|=3-2=1$
13. 在实数$\frac{2}{3}$，$\sqrt[3]{5}$，0，π中，无理数有个.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
根据无理数的定义逐一判断：
$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
$\sqrt[3]{5}$是开方开不尽的数，属于无理数；
$0$是整数，属于有理数；
$π$是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
根据无理数的定义逐一判断：
$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
$\sqrt[3]{5}$是开方开不尽的数，属于无理数；
$0$是整数，属于有理数；
$π$是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
14. 比较大小：$-\sqrt{31}$ $-6$.（选填“＞”或“＜”）
答案
$＞$
解析
解：
∵ $6 = \sqrt{36}$，且$31 ＜ 36$，
∴ $\sqrt{31} ＜ \sqrt{36} = 6$，
∴ $|-\sqrt{31}| = \sqrt{31} ＜ |-6| = 6$，
两个负数比较大小，绝对值小的数更大，
∴ $-\sqrt{31} ＞ -6$。
∵ $6 = \sqrt{36}$，且$31 ＜ 36$，
∴ $\sqrt{31} ＜ \sqrt{36} = 6$，
∴ $|-\sqrt{31}| = \sqrt{31} ＜ |-6| = 6$，
两个负数比较大小，绝对值小的数更大，
∴ $-\sqrt{31} ＞ -6$。
15.若$2m - 4$与$3m - 1$是正数$a$的两个不同的平方根，则$a$为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ 正数的两个不同的平方根互为相反数，
∴ 2m - 4 + 3m - 1 = 0，
合并同类项得5m = 5，
解得m = 1。
将m=1代入2m-4，得2×1 - 4 = -2，
∴ a = (-2)² = 4。
最终
∵ 正数的两个不同的平方根互为相反数，
∴ 2m - 4 + 3m - 1 = 0，
合并同类项得5m = 5，
解得m = 1。
将m=1代入2m-4，得2×1 - 4 = -2，
∴ a = (-2)² = 4。
最终
16.已知$m＜\sqrt{19}＜m+1$，且$m$为整数，则$m$的值为.
答案
解：
因为 $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
所以 $16 ＜ 19 ＜ 25$，
所以 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$。
又因为 $m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1$，且m为整数，
所以 $m = 4$。
因为 $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
所以 $16 ＜ 19 ＜ 25$，
所以 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$。
又因为 $m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1$，且m为整数，
所以 $m = 4$。
17. 数轴上点A表示$\sqrt{5}$，那么到点A的距离等于$3\sqrt{5}$的点所表示的数是。
答案
$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$
解析
解：
数轴上到点A的距离等于$3\sqrt{5}$的点有两个：
当点在A的右侧时，对应的数为$\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
当点在A的左侧时，对应的数为$\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$
数轴上到点A的距离等于$3\sqrt{5}$的点有两个：
当点在A的右侧时，对应的数为$\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
当点在A的左侧时，对应的数为$\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$
18. 若 $4 - \sqrt{5}$ 的整数部分为 $a$，小数部分为 $b$，则代数式 $2 + \sqrt{5}a - b$ 的值为 。
答案
解：
因为$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
所以$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，
所以$4-3 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 4-2$，即$1 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 2$，
因此$4-\sqrt{5}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=4-\sqrt{5}-a=4-\sqrt{5}-1=3-\sqrt{5}$。
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入代数式$2+\sqrt{5}a - b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+\sqrt{5}×1-(3-\sqrt{5})\\&=2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{2\sqrt{5}-1}$。
因为$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
所以$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，
所以$4-3 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 4-2$，即$1 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 2$，
因此$4-\sqrt{5}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=4-\sqrt{5}-a=4-\sqrt{5}-1=3-\sqrt{5}$。
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入代数式$2+\sqrt{5}a - b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+\sqrt{5}×1-(3-\sqrt{5})\\&=2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{2\sqrt{5}-1}$。
三、解答题
19. 计算：
(1) $(-2)^2 - (3 - 5) - \sqrt{4} + 2 × 3$；
(2) $\sqrt[3]{27} - |2 - \sqrt{5}| - (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{(-3)^2}$。
19. 计算：
(1) $(-2)^2 - (3 - 5) - \sqrt{4} + 2 × 3$；
(2) $\sqrt[3]{27} - |2 - \sqrt{5}| - (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{(-3)^2}$。
答案
解：
(1) 原式$=4 - (-2) - 2 + 6$
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 原式$=3 - (\sqrt{5} - 2) - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
(1) 原式$=4 - (-2) - 2 + 6$
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 原式$=3 - (\sqrt{5} - 2) - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
