1.(教材P60T11变式)如图，$∠ AEC=∠ BFC=90°$,点C在EF上,$AC⊥ BC$,$AC=BC$,$AE=2$,$BF=5$,则$EF=$.

7

【分析】
解题时首先从已知的直角条件入手，利用直角三角形两锐角互余、平角为180°的性质，通过同角的余角相等得到一组相等的角；结合已知的AC=BC、两个直角相等，即可用AAS判定△AEC和△CFB全等；再根据全等三角形对应边相等，将EF拆分为EC+CF，替换为已知的BF、AE的长度求和即可。
【解析】
解：
∵∠AEC=90°，
∴∠A + ∠ACE = 90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE + ∠BCF = 180° - ∠ACB = 90°，
∴∠A = ∠BCF，
在△AEC和△CFB中：
$\{\begin{array}{l}∠AEC=∠CFB=90° \\∠A=∠BCF \\AC=BC\end{array} $
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴EC=BF=5，CF=AE=2，
∴EF=EC + CF=5 + 2=7。
【答案】
7
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. 全等三角形AAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，核心是利用直角的性质推导等角，进而证明三角形全等，再通过全等对应边相等求解线段和，掌握全等的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

2.如图,在平面直角坐标系中,A(1,3),OA=OB,且OA⊥OB,点B在第二象限,则点B的坐标为.

$(-3,1)$

【分析】
遇到平面直角坐标系中线段相等且互相垂直的问题，可通过向坐标轴作垂线构造直角三角形，结合全等三角形的知识求解。首先过A、B两点分别作x轴的垂线，得到两个直角三角形；利用OA⊥OB的条件推导角相等，结合OA=OB证明两个直角三角形全等；再根据全等三角形对应边相等得到点B横、纵坐标对应的线段长度，最后结合B所在的第二象限确定坐标的正负即可。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则$∠ BDO=∠ OCA=90°$。
∵OA⊥OB，
∴$∠ AOB=90°$，
∴$∠ BOD + ∠ AOC = 180° - 90° = 90°$，
∵在Rt△AOC中，$∠ OAC + ∠ AOC = 90°$，
∴$∠ BOD = ∠ OAC$（同角的余角相等）。
在△BDO和△OCA中：
$\{\begin{array}{l}∠ BDO=∠ OCA \\∠ BOD=∠ OAC \\OB=OA\end{array} $
∴△BDO≌△OCA（AAS），
∴$BD=OC$，$OD=AC$。
∵$A(1,3)$，
∴$OC=1$，$AC=3$，
∴$BD=1$，$OD=3$，
又
∵点B在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点B的坐标为$(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），平面直角坐标系点的坐标，同角的余角相等
【点评】
本题是平面直角坐标系与全等三角形结合的基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，将已知的垂直、线段相等条件转化为全等的判定依据，同时要注意结合点所在象限判断坐标的符号。
【难度系数】
0.7

3.如图,四边形ABCD中,AB//CD,点E在AC上,∠1=∠2,AC=AB,AB=10,CE=6,则CD=.

4

【分析】
解题思路：首先根据AB平行CD的平行关系，推导得到一组内错角相等；再结合已知的∠1=∠2、AC=AB的条件，证明△ACD和△BAE全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，将CD转化为AE求解，AE的长度可通过AC减CE计算得到。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠DCA=∠EAB（两直线平行，内错角相等）
在△ACD和△BAE中：
$\{\begin{array}{l}∠DCA=∠EAB \\AC=BA \\∠1=∠2\end{array} $
∴△ACD≌△BAE（ASA）
∴CD=AE（全等三角形的对应边相等）
∵AC=AB=10，CE=6
∴AE=AC-CE=10-6=4
∴CD=4
【答案】
4
【知识点】
平行线的性质；全等三角形ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是通过平行线性质得到等角，结合已知条件构造全等三角形，将待求线段转化为易求的线段，解题时要注意准确识别全等三角形的对应元素。
【难度系数】
0.8

4.如图，△ABC中，点P在AB上，点M，N分别在AC，BC上，∠A=∠B=∠MPN=60°，PA=BN，求证：PM=PN.

证明:$∠MPB=∠A+∠AMP=60°+∠BPN$，
$\therefore ∠BPN=∠AMP$，
在$△ APM$和$△ BNP$中,$\begin{cases}∠A=∠B,\\∠AMP=∠BPN,\\AP=BN,\end{cases}$
$\therefore △ APM ≌ △ BNP(\mathrm{AAS}),\therefore PM=PN$。

【分析】
要证明PM=PN，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。观察图形可知PM在△APM中，PN在△BNP中，因此只需证明△APM≌△BNP即可。已知条件已经给出∠A=∠B、PA=BN，还缺少一组角相等的条件，此时可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，对∠MPB进行拆分，结合已知的∠A=∠MPN=60°，即可推导出另一组对应角相等，满足AAS的全等判定条件，进而证明全等得到对应边相等。
【解析】
证明：$\because ∠MPB=∠A+∠AMP=60°+∠BPN$，
$\therefore ∠BPN=∠AMP$，
在$△ APM$和$△ BNP$中,
$\begin{cases}∠A=∠B,\\∠AMP=∠BPN,\\AP=BN,\end{cases}$
$\therefore △ APM ≌ △ BNP(\mathrm{AAS}),\therefore PM=PN$。
【答案】
证明过程如上，可得PM=PN。
【知识点】
三角形外角性质，全等三角形AAS判定，全等三角形的性质
【点评】
这道题是全等三角形证明线段相等的典型基础题，解题核心是利用三角形外角的性质推导得到全等所需的对应角相等，结合已知条件即可完成证明，能有效考察学生对基础几何定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7

5.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,点E在BC上,DE平分∠ADC,EA平分∠DAB,AE的延长线交DC的延长线于点F.
(1)求证:△ADE≌△FDE;
(2)求证:AD=AB+CD.

(1)$\because AB// CD,\therefore ∠BAE=∠F$，
$\therefore ∠DAE=∠F$，
在$△ ADE$和$△ FDE$中,$\begin{cases}∠DAE=∠F,\\∠ADE=∠FDE,\\DE=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ FDE(\mathrm{AAS})$；
(2)由(1)知$AE=EF,AD=DF$，
在$△ ABE$和$△ FCE$中,$\begin{cases}∠BAE=∠F,\\AE=EF,\\∠AEB=∠CEF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FCE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=CF,\therefore AD=DF=CD+AB$。

【分析】
(1)要证△ADE≌△FDE，先结合已知条件梳理相等关系：由DE平分∠ADC可得∠ADE=∠FDE；由AB//CD得内错角∠BAE=∠F，再结合EA平分∠DAB得∠BAE=∠DAE，等量代换得∠DAE=∠F；此时两个三角形有两组角对应相等，且有公共边DE，可通过AAS判定全等。
(2)要证AD=AB+CD，采用线段转化的思路：由(1)的全等结论得AD=DF，而DF=CD+CF，因此只需证AB=CF即可；结合已有角相等、对顶角相等以及(1)得到的AE=EF，可通过ASA证明△ABE≌△FCE，得到AB=CF，代入即可得证。
【解析】
(1)证明：
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ BAE=∠ F$，
$\because EA$平分$∠ DAB$，$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ DAE=∠ F$，
$\because DE$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADE=∠ FDE$，
在$△ ADE$和$△ FDE$中，
$\begin{cases}∠ DAE=∠ F,\\∠ ADE=∠ FDE,\\DE=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ FDE(\mathrm{AAS})$；
(2)证明：
由(1)中$△ ADE ≌ △ FDE$，可得$AE=EF$，$AD=DF$，
在$△ ABE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ BAE=∠ F,\\AE=EF,\\∠ AEB=∠ CEF(\mathrm{对顶角相等}),\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FCE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=CF$，
$\because DF=CD+CF$，
$\therefore AD=DF=CD+AB$，即$AD=AB+CD$。
【答案】
(1)△ADE≌△FDE得证；
(2)AD=AB+CD得证。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题型，解题时需结合平行线、角平分线的性质转化角的等量关系，处理线段和差问题时，通常通过全等将分散的线段转化到同一条直线上合并求解，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

6.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,AC⊥BC,BF平分∠ABC,交AC于点F,CM⊥BF于点E,交AB于点M,AD⊥CM交CM的延长线于D点.
(1)求证:△ACD≌△CBE; (2)求证:BF=CD+DM.

(1)$\because ∠ACD+∠DCB=90°$，
又$\because ∠CBE+∠DCB=90°$，
$\therefore ∠ACD=∠CBE$，
在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases}∠ACD=∠CBE,\\∠D=∠CEB=90°,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ CBE(\mathrm{AAS})$；
(2)由(1)知$AD=CE$，
又$\because AD// BE$，
$\therefore ∠DAM=∠MBE=∠CBF=∠ECF$，
$\therefore △ ADM ≌ △ CEF(\mathrm{ASA}),\therefore EF=DM$，
$\therefore BF=EF+BE=CD+DM$。

【分析】
(1) 要证明△ACD≌△CBE，首先明确已知条件：AC=BC，AD⊥CD、CM⊥BF可得∠D=∠CEB=90°，只需再证明一组对应角相等即可。由∠ACB=90°和CM⊥BF，根据同角的余角相等，可推出∠ACD=∠CBE，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要证明BF=CD+DM，首先利用(1)的全等结论可得BE=CD、AD=CE，接下来只需证明DM=EF，即可通过线段和的关系等量替换得到结论。先由AD、BF都垂直于CD可得AD//BE，推出∠DAM=∠MBE，结合角平分线的性质和(1)的角相等结论，可得∠DAM=∠ECF，再结合AD=CE、∠D=∠CEF=90°，用ASA证明△ADM≌△CEF，得到DM=EF，最后将BF拆分为BE+EF，替换后即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD + ∠DCB = 90°，
∵ CM⊥BF，
∴ ∠CEB=90°，则∠CBE + ∠DCB = 90°，
∴ ∠ACD = ∠CBE（同角的余角相等），
∵ AD⊥CM，
∴ ∠D=∠CEB=90°，
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ACD=∠CBE \\∠D=∠CEB \\AC=CB\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ CBE(\mathrm{AAS})$。
(2) 证明：
由(1)中$△ ACD ≌ △ CBE$可得：$AD=CE$，$CD=BE$，
∵ AD⊥CM，BF⊥CM，
∴ $AD// BE$，
∴ $∠DAM = ∠MBE$，
∵ BF平分∠ABC，
∴ $∠MBE=∠CBF$，
由(1)知$∠CBF=∠ECF$，
∴ $∠DAM=∠ECF$，
在$△ ADM$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}∠D=∠CEF=90° \\AD=CE \\∠DAM=∠ECF\end{cases}$
∴ $△ ADM ≌ △ CEF(\mathrm{ASA})$，
∴ $EF=DM$，
∵ $BF = BE + EF$，
将$BE$替换为$CD$，$EF$替换为$DM$，可得：$BF = CD + DM$。
【答案】
(1) $△ ACD ≌ △ CBE$得证；
(2) $BF=CD+DM$得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，解题关键是先利用同角的余角相等推导对应角相等，结合已知边相等的条件证明三角形全等，再通过全等的性质进行线段的等量替换，考查了对全等判定定理的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6