14. 已知$△ ABC$和$△ ADE$均为等边三角形，点$F,D$分别在$AC,BC$上，$AF=CD$，连结$BF,EF$。求证：
(1)$AD=BF$。
(2)四边形$BFED$为平行四边形。

14. 证明:(1)因为$△ ABC$和$△ ADE$均为等边三角形，所以$AB=AC,∠ BAF=∠ C=60°$。又因为$AF=CD$,所以$△ ABF≌△ CAD(\mathrm{SAS})$,所以$AD=BF$。
(2)如图,设$AC$与$DE$相交于点$H$, 因为 $△ ABF ≌ △ CAD$, 所以 $BF = AD$, $∠ ABF = ∠ CAD$. 因为 $△ ADE$ 是等边三角形,所以$AD=DE$,所以$BF=DE$. 因为$∠ C=∠ AED=60°,∠ DHC=∠ AHE$,所以$∠ CDH=∠ CAE$. 因为$∠ CAE+∠ DAC=∠ CBF+∠ ABF=60°$,且$∠ ABF=∠ DAC$,所以$∠ CBF=∠ CAE$,所以$∠ CBF=∠ CDH$,所以$BF// DE$,所以四边形$BFED$为平行四边形。

15. 已知关于 $ x $ 的方程 $(k+1)x^2 + (3k-1)x + 2k-2 = 0$。
(1)求证:无论 $ k $ 取何值,此方程总有实数根。
(2)若此方程有两个整数根,求正整数 $ k $ 的值。
(3)若一元二次方程 $(k+1)x^2 + (3k-1)x + 2k-2 = 0$ 满足 $|x_1 - x_2| = 3$,求 $ k $ 的值。

15. 解:(1)证明:当$k+1=0$,即$k=-1$时,原方程为$-4x-4=0$,解得$x=-1$;当$k+1≠0$,即$k≠-1$时,$\Delta=(3k-1)^2-4(k+1)(2k-2)=k^2-6k+9=(k-3)^2≥0$,则方程有实数根。综上可知:无论$k$取何值,此方程总有实数根。
(2)因为方程有两个整数根,所以 $x_1 = \frac{1-3k+(k-3)}{2(k+1)} = -1$, $x_2 = \frac{1-3k-(k-3)}{2(k+1)} = \frac{2(1-k)}{k+1}=-2+\frac{4}{k+1}$,且 $k≠-1$,因为 $x_2$ 为整数,$k$ 为正整数,所以 $k=1$ 或 $k=3$。
(3)由(2)得 $x_1=-1$,$x_2=-2+\frac{4}{k+1}$,且 $k≠-1$,所以 $|x_1-x_2|=\left|-1-(-2+\frac{4}{k+1})\right|=\left|1-\frac{4}{k+1}\right|=3$,解得 $k=-3$ 或 $k=0$,经检验 $k=-3$ 或 $k=0$ 是原方程的解,故 $k$ 的值为$-3$ 或 $0$。