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7. 周长相等的正方形与正六边形的面积分别为$S_{1}$、$S_{2}$,$S_{1}$和$S_{2}$的关系为 (
A.$S_{1}=S_{2}$
B.$S_{1}:S_{2}=3\sqrt{3}:16$
C.$S_{1}:S_{2}=\sqrt{3}:3$
D.$S_{1}:S_{2}=\sqrt{3}:2$
D
)A.$S_{1}=S_{2}$
B.$S_{1}:S_{2}=3\sqrt{3}:16$
C.$S_{1}:S_{2}=\sqrt{3}:3$
D.$S_{1}:S_{2}=\sqrt{3}:2$
答案
7. D
解析
【分析】要解决周长相等的正方形与正六边形的面积比问题，首先设两者的周长为同一值，分别求出正方形和正六边形的边长，再根据面积公式计算各自面积，最后求面积的比值即可。
【解析】设正方形和正六边形的周长均为$ L $。
1. 计算正方形的边长和面积：
正方形边长$ a_1 = \frac{L}{4} $，面积$ S_1 = a_1^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16} $。
2. 计算正六边形的边长和面积：
正六边形边长$ a_2 = \frac{L}{6} $，正六边形可分为6个全等的正三角形，每个正三角形面积为$ \frac{\sqrt{3}}{4}a_2^2 $，因此正六边形面积：
$ S_2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4}a_2^2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4} × (\frac{L}{6})^2 = \frac{\sqrt{3}L^2}{24} $。
3. 计算面积比：
$ S_1:S_2 = \frac{L^2}{16} : \frac{\sqrt{3}L^2}{24} = \frac{1}{16} × \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，即$ S_1:S_2 = \sqrt{3}:2 $。
【答案】D
【知识点】正方形面积计算、正六边形面积计算、比例运算
【点评】本题核心是利用周长相等设参数，结合几何图形面积公式推导比值，属于基础几何应用题型，需牢记正六边形的面积计算方法。
【难度系数】0.5
【解析】设正方形和正六边形的周长均为$ L $。
1. 计算正方形的边长和面积：
正方形边长$ a_1 = \frac{L}{4} $，面积$ S_1 = a_1^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16} $。
2. 计算正六边形的边长和面积：
正六边形边长$ a_2 = \frac{L}{6} $，正六边形可分为6个全等的正三角形，每个正三角形面积为$ \frac{\sqrt{3}}{4}a_2^2 $，因此正六边形面积：
$ S_2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4}a_2^2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4} × (\frac{L}{6})^2 = \frac{\sqrt{3}L^2}{24} $。
3. 计算面积比：
$ S_1:S_2 = \frac{L^2}{16} : \frac{\sqrt{3}L^2}{24} = \frac{1}{16} × \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，即$ S_1:S_2 = \sqrt{3}:2 $。
【答案】D
【知识点】正方形面积计算、正六边形面积计算、比例运算
【点评】本题核心是利用周长相等设参数，结合几何图形面积公式推导比值，属于基础几何应用题型，需牢记正六边形的面积计算方法。
【难度系数】0.5
8. 如图,$A$、$B$、$C$、$D$是一个外角为$40°$的正多边形的顶点,若$O$为正多边形内一点,且到各顶点的距离相等,则$∠ OAD$的度数为
$30°$
.答案
8. $30°$
解析
【分析】首先根据正多边形外角和为360°求出该正多边形的边数，确定O是正多边形的中心；再计算正九边形相邻顶点的中心角，进而得到A、D两点对应的中心角；最后利用等腰三角形的内角性质求出∠OAD的度数。
【解析】1. 求正多边形的边数：因为任意多边形的外角和为360°，已知该正多边形的一个外角为40°，所以边数$n=360°÷40°=9$，即该正多边形为正九边形。
2. 确定O的性质：O到各顶点的距离相等，说明O是正九边形的中心，因此$OA=OD$，且正九边形相邻两个顶点对应的中心角为$360°÷9=40°$。
3. 计算$∠ AOD$：观察图形，顶点A到D间隔了3个相邻顶点的间隔，所以$∠ AOD=3×40°=120°$。
4. 求$∠ OAD$：在$△ OAD$中，$OA=OD$，即$△ OAD$为等腰三角形，根据等腰三角形内角和为$180°$，可得$∠ OAD=(180°-∠ AOD)÷2=(180°-120°)÷2=30°$。
【答案】$30°$
【知识点】正多边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】本题结合正多边形的外角和、中心角以及等腰三角形的性质求解，关键是先确定正多边形的边数和中心角，再找到对应顶点的中心角，利用等腰三角形内角和计算角度，属于基础几何综合题。
【难度系数】0.5
【解析】1. 求正多边形的边数：因为任意多边形的外角和为360°，已知该正多边形的一个外角为40°，所以边数$n=360°÷40°=9$，即该正多边形为正九边形。
2. 确定O的性质：O到各顶点的距离相等，说明O是正九边形的中心，因此$OA=OD$，且正九边形相邻两个顶点对应的中心角为$360°÷9=40°$。
3. 计算$∠ AOD$：观察图形，顶点A到D间隔了3个相邻顶点的间隔，所以$∠ AOD=3×40°=120°$。
4. 求$∠ OAD$：在$△ OAD$中，$OA=OD$，即$△ OAD$为等腰三角形，根据等腰三角形内角和为$180°$，可得$∠ OAD=(180°-∠ AOD)÷2=(180°-120°)÷2=30°$。
【答案】$30°$
【知识点】正多边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】本题结合正多边形的外角和、中心角以及等腰三角形的性质求解，关键是先确定正多边形的边数和中心角，再找到对应顶点的中心角，利用等腰三角形内角和计算角度，属于基础几何综合题。
【难度系数】0.5
9. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率,开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中,作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若$\odot O$的半径为3,则这个圆内接正十二边形的面积为
27
.答案
9. 27
解析
【分析】要计算圆内接正十二边形的面积，可利用“割圆术”的思想，将正十二边形分割为12个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的顶点为圆心O，腰长为圆的半径。先求出每个等腰三角形的顶角，再结合三角形面积公式计算单个三角形面积，最后乘以12得到正十二边形的总面积。
【解析】圆内接正十二边形可分成12个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为：$\frac{360°}{12}=30°$，已知$\odot O$的半径$r=3$。
根据两边及夹角的三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$（此处$a=b=r=3$，夹角$C=30°$），单个等腰三角形的面积为：
$S_1=\frac{1}{2}×3×3×\sin30°=\frac{1}{2}×9×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$
则正十二边形的面积为：$12× S_1=12×\frac{9}{4}=27$
【答案】27
【知识点】圆内接正多边形、三角形面积计算
【点评】本题考查割圆术的应用，通过将正多边形转化为多个三角形的面积和，体现了转化的数学思想，解题关键是利用圆心角求出单个三角形的顶角，再结合正弦面积公式计算总面积。
【难度系数】0.5
【解析】圆内接正十二边形可分成12个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为：$\frac{360°}{12}=30°$，已知$\odot O$的半径$r=3$。
根据两边及夹角的三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$（此处$a=b=r=3$，夹角$C=30°$），单个等腰三角形的面积为：
$S_1=\frac{1}{2}×3×3×\sin30°=\frac{1}{2}×9×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$
则正十二边形的面积为：$12× S_1=12×\frac{9}{4}=27$
【答案】27
【知识点】圆内接正多边形、三角形面积计算
【点评】本题考查割圆术的应用，通过将正多边形转化为多个三角形的面积和，体现了转化的数学思想，解题关键是利用圆心角求出单个三角形的顶角，再结合正弦面积公式计算总面积。
【难度系数】0.5
10. 如图,正六边形$ABCDEF$的边长为2,以点$E$为圆心,$EF$长为半径作圆,则该圆被正六边形截得的$\overset{\frown}{DF}$的长为
$\dfrac{4π}{3}$
.答案
10. $\dfrac{4π}{3}$
解析
【分析】要计算弧$\overset{\frown}{DF}$的长，需先确定弧对应的圆心角和圆的半径：正六边形每个内角为120°，本题中弧$\overset{\frown}{DF}$的圆心为E，圆心角就是正六边形的内角∠DEF，再结合弧长公式即可求解。
【解析】
1. 正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，因此每个内角的度数为$720°÷6=120°$，即圆心角$∠ DEF=120°$；
2. 由题意，圆的半径$r=EF=2$，弧长公式为$l=\frac{nπr}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）；
3. 代入数值计算：弧$\overset{\frown}{DF}$的长为$\frac{120×π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】$\dfrac{4π}{3}$
【知识点】正六边形内角、弧长公式
【点评】本题结合正六边形性质与弧长公式考查计算，核心是确定弧对应的圆心角，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，因此每个内角的度数为$720°÷6=120°$，即圆心角$∠ DEF=120°$；
2. 由题意，圆的半径$r=EF=2$，弧长公式为$l=\frac{nπr}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）；
3. 代入数值计算：弧$\overset{\frown}{DF}$的长为$\frac{120×π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】$\dfrac{4π}{3}$
【知识点】正六边形内角、弧长公式
【点评】本题结合正六边形性质与弧长公式考查计算，核心是确定弧对应的圆心角，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
11. 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”,它可以按下述方法作出:作等边三角形$ABC$;分别以点$A$、$B$、$C$为圆心,以$AB$的长为半径作$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AB}$.三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为$3π$,则它的面积是
$\dfrac{9π-9\sqrt{3}}{2}$
.答案
11. $\dfrac{9π-9\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
要解决莱洛三角形的面积问题，首先明确其周长由三段等弧组成，每段弧对应等边三角形的顶点为圆心、边长为半径、圆心角60°的弧。先通过周长求出等边三角形的边长，再利用“三个扇形面积之和减去两个等边三角形面积”计算莱洛三角形的面积（因扇形重叠部分需扣除重复计算的面积）。
【解析】
设等边三角形ABC的边长为$ r $。
1. 计算弧长，求边长：
每段弧的圆心角为等边三角形的内角$ 60° $，根据弧长公式，一段弧长为$ \frac{60°}{360°} × 2π r = \frac{π r}{3} $。
莱洛三角形周长为三段弧长之和，即$ 3 × \frac{π r}{3} = π r $，已知周长为$ 3π $，则$ π r = 3π $，解得$ r = 3 $。
2. 计算莱洛三角形面积：
单个圆心角$ 60° $的扇形面积：$ \frac{60°}{360°} × π r^2 = \frac{1}{6} × π × 3^2 = \frac{3π}{2} $，三个扇形面积之和为$ 3 × \frac{3π}{2} = \frac{9π}{2} $。
等边三角形ABC的面积：$ \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} × 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} $，三个扇形重叠了2个等边三角形的面积，需扣除。
因此，莱洛三角形面积为：$ \frac{9π}{2} - 2 × \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{9π}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{9π - 9\sqrt{3}}{2} $。
【答案】
$\dfrac{9π -9\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
弧长计算、扇形面积、等边三角形面积
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，关键是理解莱洛三角形的构成，利用弧长公式求出基础边长，再通过扇形与等边三角形的面积组合（扣除重叠部分）得到结果，需注意重叠部分的处理逻辑。
【难度系数】
0.5
要解决莱洛三角形的面积问题，首先明确其周长由三段等弧组成，每段弧对应等边三角形的顶点为圆心、边长为半径、圆心角60°的弧。先通过周长求出等边三角形的边长，再利用“三个扇形面积之和减去两个等边三角形面积”计算莱洛三角形的面积（因扇形重叠部分需扣除重复计算的面积）。
【解析】
设等边三角形ABC的边长为$ r $。
1. 计算弧长，求边长：
每段弧的圆心角为等边三角形的内角$ 60° $，根据弧长公式，一段弧长为$ \frac{60°}{360°} × 2π r = \frac{π r}{3} $。
莱洛三角形周长为三段弧长之和，即$ 3 × \frac{π r}{3} = π r $，已知周长为$ 3π $，则$ π r = 3π $，解得$ r = 3 $。
2. 计算莱洛三角形面积：
单个圆心角$ 60° $的扇形面积：$ \frac{60°}{360°} × π r^2 = \frac{1}{6} × π × 3^2 = \frac{3π}{2} $，三个扇形面积之和为$ 3 × \frac{3π}{2} = \frac{9π}{2} $。
等边三角形ABC的面积：$ \frac{\sqrt{3}}{4} r^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} × 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} $，三个扇形重叠了2个等边三角形的面积，需扣除。
因此，莱洛三角形面积为：$ \frac{9π}{2} - 2 × \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{9π}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{9π - 9\sqrt{3}}{2} $。
【答案】
$\dfrac{9π -9\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
弧长计算、扇形面积、等边三角形面积
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，关键是理解莱洛三角形的构成，利用弧长公式求出基础边长，再通过扇形与等边三角形的面积组合（扣除重叠部分）得到结果，需注意重叠部分的处理逻辑。
【难度系数】
0.5
12. [原创题]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,以$AC$上一点$O$为圆心.过点$A$作$\odot O$,$\odot O$交$AB$于点$D$,$DB$的垂直平分线$EF$分别交$BC$、$AB$于点$E$、$F$.
(1) 求证:$DE$是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠ B=40°$,$OA=6$,求$\overset{\frown}{AD}$的长.
(1) 求证:$DE$是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠ B=40°$,$OA=6$,求$\overset{\frown}{AD}$的长.
答案
12. (1) 证明略 (2) $\overset{\frown}{AD}$ 的长为 $\dfrac{8}{3}π$
解析
【分析】
(1) 要证明DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明OD⊥DE。利用EF是DB的垂直平分线得ED=EB，推出∠EDB=∠B；结合OA=OD得∠OAD=∠ODA，再由Rt△ABC中∠C=90°，得∠OAD+∠B=90°，进而推出∠ODA+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，即可证得DE是切线。
(2) 求弧AD的长，需用弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，先求圆心角∠AOD的度数：由∠B=40°，结合Rt△ABC中∠OAD=90°-∠B=50°，再由OA=OD得△OAD为等腰三角形，算出∠AOD=80°，代入半径OA=6计算弧长。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ EF是DB的垂直平分线，
∴ ED=EB，
∴ ∠EDB=∠B。
∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA。
在△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠OAD + ∠B=90°，
∴ ∠ODA + ∠EDB=90°，
∴ ∠ODE=180° - (∠ODA + ∠EDB)=90°，
即OD⊥DE。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE是⊙O的切线。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，
∴ ∠OAD=90° - ∠B=50°。
∵ OA=OD=6，
∴ △OAD是等腰三角形，∠ODA=∠OAD=50°，
∴ ∠AOD=180° - 50° -50°=80°。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AD}$的长为：
$ l=\frac{80×π×6}{180}=\frac{8}{3}π $。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{8}{3}π$
【知识点】
切线的判定、弧长的计算、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查切线的判定和弧长计算，解题核心是连接半径OD，利用垂直平分线、等腰三角形的性质推导角度关系，进而完成切线证明和弧长计算，需掌握切线判定的基本逻辑与弧长公式的应用，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明OD⊥DE。利用EF是DB的垂直平分线得ED=EB，推出∠EDB=∠B；结合OA=OD得∠OAD=∠ODA，再由Rt△ABC中∠C=90°，得∠OAD+∠B=90°，进而推出∠ODA+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，即可证得DE是切线。
(2) 求弧AD的长，需用弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，先求圆心角∠AOD的度数：由∠B=40°，结合Rt△ABC中∠OAD=90°-∠B=50°，再由OA=OD得△OAD为等腰三角形，算出∠AOD=80°，代入半径OA=6计算弧长。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ EF是DB的垂直平分线，
∴ ED=EB，
∴ ∠EDB=∠B。
∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA。
在△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠OAD + ∠B=90°，
∴ ∠ODA + ∠EDB=90°，
∴ ∠ODE=180° - (∠ODA + ∠EDB)=90°，
即OD⊥DE。
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE是⊙O的切线。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，
∴ ∠OAD=90° - ∠B=50°。
∵ OA=OD=6，
∴ △OAD是等腰三角形，∠ODA=∠OAD=50°，
∴ ∠AOD=180° - 50° -50°=80°。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AD}$的长为：
$ l=\frac{80×π×6}{180}=\frac{8}{3}π $。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{8}{3}π$
【知识点】
切线的判定、弧长的计算、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查切线的判定和弧长计算，解题核心是连接半径OD，利用垂直平分线、等腰三角形的性质推导角度关系，进而完成切线证明和弧长计算，需掌握切线判定的基本逻辑与弧长公式的应用，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
13. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的底面半径是
1
.答案
13. 1
解析
【分析】
要解决该问题，需利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长的核心关系。先计算侧面展开图（半径为2的半圆）的弧长，再设圆锥底面半径为$r$，根据底面周长与弧长相等列方程求解即可。
【解析】
1. 计算侧面展开图的弧长：已知侧面展开图是半径为2的半圆，半圆的弧长公式为$l=π R$（$R$为半圆半径），代入$R=2$，得弧长$l=π×2=2π$。
2. 设圆锥底面半径为$r$，圆锥底面周长公式为$C=2π r$。
3. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，列方程：$2π r=2π$，解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆的周长计算
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与底面的关系，核心是掌握“侧面展开图弧长等于底面周长”的关键知识点，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长的核心关系。先计算侧面展开图（半径为2的半圆）的弧长，再设圆锥底面半径为$r$，根据底面周长与弧长相等列方程求解即可。
【解析】
1. 计算侧面展开图的弧长：已知侧面展开图是半径为2的半圆，半圆的弧长公式为$l=π R$（$R$为半圆半径），代入$R=2$，得弧长$l=π×2=2π$。
2. 设圆锥底面半径为$r$，圆锥底面周长公式为$C=2π r$。
3. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，列方程：$2π r=2π$，解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
圆锥侧面展开图、圆的周长计算
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与底面的关系，核心是掌握“侧面展开图弧长等于底面周长”的关键知识点，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
14. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,以$AC$所在直线为轴,把$△ ABC$旋转一周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为
$60π$
.答案
14. $60π$
解析
【分析】
要解决该问题，需先确定以AC为轴旋转后圆锥的底面半径和母线长：旋转轴为AC时，垂直于AC的边BC旋转形成圆锥底面，故底面半径r=BC；斜边AB旋转形成圆锥的母线，故母线长l=AB。再结合勾股定理求出AB，最后代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
1. 求Rt△ABC的斜边AB：
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10。
2. 确定圆锥的参数：
以AC为轴旋转，圆锥底面半径r=BC=6，母线长l=AB=10。
3. 计算圆锥侧面积：
圆锥侧面积公式为S侧=πrl，代入得：
S侧=π×6×10=60π。
【答案】
60π
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理
【点评】
本题考查旋转体侧面积的计算，核心是明确旋转后圆锥的底面半径与母线长，结合勾股定理求解母线长，套用侧面积公式即可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先确定以AC为轴旋转后圆锥的底面半径和母线长：旋转轴为AC时，垂直于AC的边BC旋转形成圆锥底面，故底面半径r=BC；斜边AB旋转形成圆锥的母线，故母线长l=AB。再结合勾股定理求出AB，最后代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
1. 求Rt△ABC的斜边AB：
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10。
2. 确定圆锥的参数：
以AC为轴旋转，圆锥底面半径r=BC=6，母线长l=AB=10。
3. 计算圆锥侧面积：
圆锥侧面积公式为S侧=πrl，代入得：
S侧=π×6×10=60π。
【答案】
60π
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理
【点评】
本题考查旋转体侧面积的计算，核心是明确旋转后圆锥的底面半径与母线长，结合勾股定理求解母线长，套用侧面积公式即可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
15. 小明用一张半径为24 cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝处忽略不计).如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm,那么这张扇形纸板的面积是
素养拓展
$240π\ \mathrm{cm}^2$
.素养拓展
答案
15. $240π\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】首先明确圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长。解题时先通过圆锥底面半径计算出底面周长（即扇形弧长），再结合扇形半径，利用扇形面积公式求出扇形纸板的面积。
【解析】
1. 计算圆锥底面的周长（即扇形的弧长）：
已知圆锥底面半径为10 cm，根据圆的周长公式 $ C=2π r $，可得底面周长为 $ 2π × 10 = 20π \, \mathrm{cm} $，即扇形的弧长 $ l=20π \, \mathrm{cm} $。
2. 计算扇形纸板的面积：
已知扇形的半径（即圆锥的母线长）为24 cm，根据扇形面积公式 $ S=\frac{1}{2} l R $，代入弧长和半径得：
$ S=\frac{1}{2} × 20π × 24 = 240π \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】$ 240π \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】圆锥侧面积、弧长与周长的关系、扇形面积计算
【点评】本题考查圆锥侧面展开图的相关计算，核心是理解“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关系，利用对应公式即可求解，属于基础几何应用题目。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 计算圆锥底面的周长（即扇形的弧长）：
已知圆锥底面半径为10 cm，根据圆的周长公式 $ C=2π r $，可得底面周长为 $ 2π × 10 = 20π \, \mathrm{cm} $，即扇形的弧长 $ l=20π \, \mathrm{cm} $。
2. 计算扇形纸板的面积：
已知扇形的半径（即圆锥的母线长）为24 cm，根据扇形面积公式 $ S=\frac{1}{2} l R $，代入弧长和半径得：
$ S=\frac{1}{2} × 20π × 24 = 240π \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】$ 240π \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】圆锥侧面积、弧长与周长的关系、扇形面积计算
【点评】本题考查圆锥侧面展开图的相关计算，核心是理解“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关系，利用对应公式即可求解，属于基础几何应用题目。
【难度系数】0.5
