登录
8. 填写正确解释生活、生产现象的数学知识.
答案
8.①两点确定一条直线 ②两点之间的所有连线中,线段最短 ③两点确定一条直线
解析
【分析】这道题需结合生活现象，对应数学中的几何基本公理。首先看①，用两个钉子固定木条，是因为两个钉子相当于两个点，能让木条固定在一条直线上，对应“两点确定一条直线”；②弯曲公路改直缩短路程，是因为两点间线段最短，改直后路程更短；③定两棵树确定直线，同样利用“两点确定一条直线”，两个点即可确定直线，让树在同一直线上。
【解析】逐个对应现象的数学知识：
1. 用两个钉子固定木条：两个钉子是两个点，根据“两点确定一条直线”，木条被固定在该直线上，不会移动，对应知识点为两点确定一条直线；
2. 弯曲公路改直缩短路程：两点之间的所有连线中，线段长度最短，改直后公路为两点间线段，路程缩短，对应知识点为两点之间的所有连线中，线段最短；
3. 定两棵树确定直线：两棵树的位置是两个点，根据“两点确定一条直线”，可确定同一行所在的直线，对应知识点为两点确定一条直线。
【答案】①两点确定一条直线；②两点之间的所有连线中，线段最短；③两点确定一条直线
【知识点】两点确定一条直线，两点之间线段最短
【点评】本题是数学基本公理在生活中的实际应用，贴近生活，考查学生对几何基础公理的理解与运用，属于基础题。
【难度系数】0.8
【解析】逐个对应现象的数学知识：
1. 用两个钉子固定木条：两个钉子是两个点，根据“两点确定一条直线”，木条被固定在该直线上，不会移动，对应知识点为两点确定一条直线；
2. 弯曲公路改直缩短路程：两点之间的所有连线中，线段长度最短，改直后公路为两点间线段，路程缩短，对应知识点为两点之间的所有连线中，线段最短；
3. 定两棵树确定直线：两棵树的位置是两个点，根据“两点确定一条直线”，可确定同一行所在的直线，对应知识点为两点确定一条直线。
【答案】①两点确定一条直线；②两点之间的所有连线中，线段最短；③两点确定一条直线
【知识点】两点确定一条直线，两点之间线段最短
【点评】本题是数学基本公理在生活中的实际应用，贴近生活，考查学生对几何基础公理的理解与运用，属于基础题。
【难度系数】0.8
9. 如图,射线$CD$的端点$C$在直线$AB$上,按照下面的要求画图,并标出相应的字母.过点$P$画直线$PE$,交$AB$于点$E$,过点$P$画射线$PF$交射线$CD$于点$F$,画线段$EF$,$PC$,两条线段交于点$O$.
答案
9.解:如答图所示.
解析
【分析】本题是几何画图题，解题思路是严格按照题目指令分步骤操作：先过点P画直线PE交AB于E，再过点P画射线PF交CD于F，最后画线段EF和PC，将它们的交点标记为O，完成所有画图要求。
【解析】
1. 过点P画直线PE，直线PE与直线AB相交于点E；
2. 过点P画射线PF，射线PF与射线CD相交于点F；
3. 画出线段EF和线段PC，两条线段的交点标记为O，最终图形满足题目要求。
【答案】
【知识点】直线、射线、线段的画法
【点评】本题是几何入门基础画图题，考查直线、射线、线段的基本概念及画图操作，按步骤操作即可完成，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 过点P画直线PE，直线PE与直线AB相交于点E；
2. 过点P画射线PF，射线PF与射线CD相交于点F；
3. 画出线段EF和线段PC，两条线段的交点标记为O，最终图形满足题目要求。
【答案】
【知识点】直线、射线、线段的画法
【点评】本题是几何入门基础画图题，考查直线、射线、线段的基本概念及画图操作，按步骤操作即可完成，难度较低。
【难度系数】0.7
10. 探究:如图①,在线段 AB 上取一点 C 时,以 A 为端点的线段有
参考上面的计算方法,解答下列问题:
(1)如图②,在线段 AB 上取两点 C,D 时,共有
(2)如图③,在线段 AB 上取三点 C,D,E 时,共有
(3)拓展:当一条线段上一共有 $ n $ 个点时,共有多少条线段呢?
(4)应用:
①你能用上面的思路来解决“十个同学聚会,每个人都与其他人握一次手,共握手多少次?”这个问题吗?请试着解决;
②往返于 A,B 两地的客车,中途停靠三个站,请问:有多少种不同的票价?要准备多少种车票?
2
条,分别是线段 AB,线段 AC
;以 C 为端点的线段有2
条,分别是线段 AC,线段 BC
;以 B 为端点的线段有2
条,分别是线段 BC,线段 AB
;除掉重复的线段,在线段 AB 上取一点 C 时,共有3
条线段.参考上面的计算方法,解答下列问题:
(1)如图②,在线段 AB 上取两点 C,D 时,共有
6
条线段;(2)如图③,在线段 AB 上取三点 C,D,E 时,共有
10
条线段;(3)拓展:当一条线段上一共有 $ n $ 个点时,共有多少条线段呢?
(4)应用:
①你能用上面的思路来解决“十个同学聚会,每个人都与其他人握一次手,共握手多少次?”这个问题吗?请试着解决;
②往返于 A,B 两地的客车,中途停靠三个站,请问:有多少种不同的票价?要准备多少种车票?
答案
10.探究:2 线段 AB,线段 AC 2 线段 AC,线段 BC 2 线段 BC,线段 AB 3
(1)6 (2)10
(3)解:当一条线段上一共有 $n$ 个点时,共有$\frac{n(n-1)}{2}$条线段.
(4)解:①十个同学聚会,每个人都与其他人握一次手,共握手$\frac{10×(10-1)}{2}=45$(次).
②往返于 A,B 两地的客车,中途停靠三个站,有$\frac{5×(5-1)}{2}=10$(种)不同的票价,要准备 $10× 2=20$(种)车票.
(1)6 (2)10
(3)解:当一条线段上一共有 $n$ 个点时,共有$\frac{n(n-1)}{2}$条线段.
(4)解:①十个同学聚会,每个人都与其他人握一次手,共握手$\frac{10×(10-1)}{2}=45$(次).
②往返于 A,B 两地的客车,中途停靠三个站,有$\frac{5×(5-1)}{2}=10$(种)不同的票价,要准备 $10× 2=20$(种)车票.
解析
【分析】
解决线段计数问题时，需按端点分类数线段以避免重复，通过简单点数的例子归纳通用规律，再将实际问题转化为线段计数问题求解。具体思路：1. 对线段上的点，以每个点为左端点向右数线段，确保不重复；2. 从3个点、4个点、5个点的线段数中总结n个点的线段总数公式；3. 应用公式时注意实际问题的细节（如车票需考虑往返）。
【解析】
探究（图①）
线段AB上有3个点A、C、B：
以A为端点的线段：AC、AB，共2条；
以C为端点的线段：AC、BC，共2条；
以B为端点的线段：BC、AB，共2条；
去掉重复线段，总线段数为3条。
(1) 图②（4个点A、C、D、B）
按端点计数：以A为左端点的线段有AC、AD、AB；以C为左端点的线段有CD、CB；以D为左端点的线段有DB，共$3+2+1=6$条。
(2) 图③（5个点A、C、D、E、B）
按端点计数：以A为左端点的线段有AC、AD、AE、AB；以C为左端点的线段有CD、CE、CB；以D为左端点的线段有DE、DB；以E为左端点的线段有EB，共$4+3+2+1=10$条。
(3) n个点的线段总数
从n个点中任选2个点确定一条线段，属于组合问题，总数为$\frac{n(n-1)}{2}$条。
(4) 应用
① 十个同学聚会，每人与其他人握一次手，相当于10个点的线段计数，握手次数为$\frac{10×(10-1)}{2}=45$次；
② 往返A、B两地，中途3个站，总站点数为5个，不同票价对应单程线段，共$\frac{5×(5-1)}{2}=10$种；车票有往返，故车票种数为$10×2=20$种。
【答案】
探究:2 线段AB,线段AC 2 线段AC,线段BC 2 线段BC,线段AB 3
(1)6 (2)10
(3)当一条线段上一共有$n$个点时,共有$\frac{n(n-1)}{2}$条线段.
(4)①共握手45次；②有10种不同的票价，要准备20种车票.
【知识点】线段计数、规律探究、组合应用
【点评】本题从简单线段点数入手，归纳出线段计数的通用公式，再应用到实际场景，体现数学建模思想，锻炼归纳推理能力，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
解决线段计数问题时，需按端点分类数线段以避免重复，通过简单点数的例子归纳通用规律，再将实际问题转化为线段计数问题求解。具体思路：1. 对线段上的点，以每个点为左端点向右数线段，确保不重复；2. 从3个点、4个点、5个点的线段数中总结n个点的线段总数公式；3. 应用公式时注意实际问题的细节（如车票需考虑往返）。
【解析】
探究（图①）
线段AB上有3个点A、C、B：
以A为端点的线段：AC、AB，共2条；
以C为端点的线段：AC、BC，共2条；
以B为端点的线段：BC、AB，共2条；
去掉重复线段，总线段数为3条。
(1) 图②（4个点A、C、D、B）
按端点计数：以A为左端点的线段有AC、AD、AB；以C为左端点的线段有CD、CB；以D为左端点的线段有DB，共$3+2+1=6$条。
(2) 图③（5个点A、C、D、E、B）
按端点计数：以A为左端点的线段有AC、AD、AE、AB；以C为左端点的线段有CD、CE、CB；以D为左端点的线段有DE、DB；以E为左端点的线段有EB，共$4+3+2+1=10$条。
(3) n个点的线段总数
从n个点中任选2个点确定一条线段，属于组合问题，总数为$\frac{n(n-1)}{2}$条。
(4) 应用
① 十个同学聚会，每人与其他人握一次手，相当于10个点的线段计数，握手次数为$\frac{10×(10-1)}{2}=45$次；
② 往返A、B两地，中途3个站，总站点数为5个，不同票价对应单程线段，共$\frac{5×(5-1)}{2}=10$种；车票有往返，故车票种数为$10×2=20$种。
【答案】
探究:2 线段AB,线段AC 2 线段AC,线段BC 2 线段BC,线段AB 3
(1)6 (2)10
(3)当一条线段上一共有$n$个点时,共有$\frac{n(n-1)}{2}$条线段.
(4)①共握手45次；②有10种不同的票价，要准备20种车票.
【知识点】线段计数、规律探究、组合应用
【点评】本题从简单线段点数入手，归纳出线段计数的通用公式，再应用到实际场景，体现数学建模思想，锻炼归纳推理能力，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
