【典例2】求下列函数的定义域与值域：
(1)$y=2^{\frac{1}{x-4}}$； (2)$y=(\frac{1}{3})^{\sqrt{x-2}}$。
解题指导 根据具体函数定义域的求法得出定义域，再结合指数函数的性质及指数部分的取值范围求出值域。
答案 解:(1)由$x-4≠0$,得$x≠4$,所以定义域为$\{x|x≠4\}$, 即$(-∞,4)\cup(4,+∞)$。
则$\frac{1}{x-4}≠0$,所以$2^{\frac{1}{x-4}}≠1$,
所以$y=2^{\frac{1}{x-4}}$的值域为$\{y|y＞0$且$y≠1\}$。
即$(0,1)\cup(1,+∞)$。
(2)由$x-2≥0$,得$x≥2$,所以定义域为$[2,+∞)$。
令$u=\sqrt{x-2}$,则$u≥0$。
又$y=(\frac{1}{3})^u$为减函数,所以$0＜(\frac{1}{3})^u ≤$
即$0＜(\frac{1}{3})^{\sqrt{x-2}} ≤1$,
所以$y=(\frac{1}{3})^{\sqrt{x-2}}$的值域为$(0,1]$。
▶方法总结
(1)形如$y=a^{f(x)}(a＞0$,且$a≠1)$的函数定义域与函数$y=f(x)$的定义域相同。
(2)形如$y=a^{f(x)}(a＞0$,且$a≠1)$的函数值域,先求出$u=f(x)$的值域,再结合$y=a^u$的单调性求出$y=a^{f(x)}$的值域.若$a$的取值范围不确定,则需对$a$进行分类讨论。
【变式2】$y=(\frac{1}{2})^{x^2-2x-3}$的定义域是,值域是。

R (0,16] $y=(\dfrac{1}{2})^{x^2-2x-3}$ 的定义域是 $\mathbf{R}$.
令 $y=(\dfrac{1}{2})^t$,$t=x^2-2x-3=(x-1)^2-4≥-4$,
所以 $0＜y≤16$,
所以函数的值域为$(0,16]$.

【典例3】(1)已知函数$f(x)=a^{x+5}+4(a＞0,$且$a≠1)$的图象恒过定点$M(m,n)$,则函数$g(x)=m+n^{x}$的图象不经过 ()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)当$-2＜a＜-1$时,函数$y=(a+3)^{x}$与函数$y=(a+1)x+a+3$在同一平面直角坐标系内的图象可能是 ()

解题指导 (1)先根据指数函数的性质求定点,得函数$g(x)$的解析式,再判断函数的图象不经过的象限.
(2)根据指数函数单调性,以及函数的特殊值即可确定出结果.
解析 (1)由指数函数的性质可知,当$x=-5$时,$f(x)=5$,
所以$f(x)$的图象恒过定点$(-5,5),$
所以$m=-5,n=5$,所以$g(x)=-5+5^{x},$
则函数$g(x)$的图象恒过定点$(0,-4)$,且是单调递增函数,其图象不经过第二象限.
(2)因为$-2＜a＜-1$,所以$1＜a+3＜2$,函数$y=(a+3)^{x}$是增函数,排除A,B选项.
因为$-2＜a＜-1$,所以$-1＜a+1＜0$.当$x=0$时,$(a+3)^{x}=1,(a+1)x+a+3=a+3＞1,$
排除D选项.(注意$a$的范围,从函数的单调性及特殊点进行讨论)
答案 (1)B (2)C

解：
(1) 令$x+5=0$，得$x=-5$，
此时$f(-5)=a^0 + 4 = 5$，
故$f(x)$的图象恒过定点$M(-5,5)$，即$m=-5$，$n=5$，
因此$g(x) = -5 + 5^x$。
$g(x)$是$\mathbb{R}$上的单调递增函数，且过定点$(0,-4)$，其图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
故选B。
(2) 由$-2 ＜ a ＜ -1$，得$1 ＜ a+3 ＜ 2$，
故指数函数$y=(a+3)^x$为单调递增函数，排除选项A、B；
由$-2 ＜ a ＜ -1$，得$-1 ＜ a+1 ＜ 0$，故一次函数$y=(a+1)x + a+3$的斜率为负，单调递减。
当$x=0$时，一次函数的函数值为$a+3$，满足$1 ＜ a+3 ＜ 2$，大于指数函数在$x=0$处的函数值1，排除选项D。
故选C。