2.函数$f(x)=3\cos(2x-\dfrac{π}{4})$的图象的一个对称中心是（）

A.$(\dfrac{π}{8},0)$
B.$(\dfrac{3π}{8},0)$
C.$(\dfrac{5π}{8},0)$
D.$(\dfrac{3π}{4},0)$

2.B 由$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ,k\in\mathbf{Z}$,得$x=\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$,
即函数$f(x)=3\cos(2x-\frac{π}{4})$的图象的对称中心为$(\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2},0),k\in\mathbf{Z}$.
结合各选项,知仅$(\frac{3π}{8},0)$满足题意,故B正确,A,C,D均错误.

3.若$f(x)=\sin(x+2φ)(0＜φ＜π)$为偶函数，
则$f(φ)=$（）

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$0$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

3.A 若$f(x)$为偶函数,且$0＜\varphi＜π$,则$2\varphi=\frac{π}{2}$或$2\varphi=\frac{3π}{2}$,解得$\varphi=\frac{π}{4}$或$\varphi=\frac{3π}{4}$.
若$\varphi=\frac{π}{4}$,则$f(\frac{π}{4})=\sin(\frac{π}{4}+\frac{π}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
若$\varphi=\frac{3π}{4}$,则$f(\frac{3π}{4})=\sin(\frac{3π}{4}+\frac{3π}{2})=\sin(\frac{π}{4}+2π)=\sin \frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以$f(\varphi)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4.函数$f(x)=2\cos^2x -6\cos x +1$的值域是（）

A.$[-\dfrac{7}{2},+∞)$
B.$[-\dfrac{7}{2},-3]$
C.$[-3,9]$
D.$[-\dfrac{7}{2},9]$

4.C 令$t=\cos x\in[-1,1]$,则$f(x)=g(t)=2t^2-6t+1=2(t-\frac{3}{2})^2-\frac{7}{2}$.
显然$g(t)$的图象开口向上且对称轴为$t=\frac{3}{2}$,则$g(t)$在$[-1,1]$上单调递减.
由$g(-1)=9,g(1)=-3$,得$g(t)\in[-3,9]$,即$f(x)$的值域是$[-3,9]$.

5.已知函数$y=f(x)$的图象关于$x=2$对称，且$f(x)$的一个周期为4，则$f(x)$的解析式可以是（）

A.$\sin(\dfrac{π}{2}x)$
B.$\cos(\dfrac{π}{2}x)$
C.$\sin(\dfrac{π}{4}x)$
D.$\cos(\dfrac{π}{4}x)$

5.B A选项中,函数的周期为$\frac{2π}{\frac{π}{2}}=4$,
B选项中,函数的周期为$\frac{2π}{\frac{π}{2}}=4$,
C选项中,函数的周期为$\frac{2π}{\frac{π}{4}}=8$,
D选项中,函数的周期为$\frac{2π}{\frac{π}{4}}=8$,排除C,D选项.
对于A选项,当$x=2$时,$y=f(2)=\sin(\frac{π}{2}×2)=0$,故$(2,0)$是该函数的一个对称中心,排除该选项;对于B选项,当$x=2$时,$y=f(2)=\cos(\frac{π}{2}×2)=-1$,故$x=2$是该函数的一条对称轴,符合题意.

6.函数$f(x)=\sin(4x+\varphi)(0＜\varphi＜\frac{π}{2})$的最小正周期为；若$x=\frac{π}{24}$是$f(x)$图象的一条对称轴，则$\varphi=$。

6.$\frac{π}{2}$ $\frac{π}{3}$ 函数$f(x)=\sin(4x+\varphi)(0＜\varphi＜\frac{π}{2})$的最小正周期为$T=\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$.
令$4x+\varphi=\frac{π}{2}+kπ,k\in\mathbf{Z}$,得$x=-\frac{\varphi}{4}+\frac{π}{8}+\frac{kπ}{4},k\in\mathbf{Z}$.
因为$x=\frac{π}{24}$是$f(x)$图象的一条对称轴,
所以$-\frac{\varphi}{4}+\frac{π}{8}+\frac{kπ}{4}=\frac{π}{24},k\in\mathbf{Z}$,
化简,得$\varphi=kπ+\frac{π}{3},k\in\mathbf{Z}$.
又$0＜\varphi＜\frac{π}{2}$,所以令$k=0$,得$\varphi=\frac{π}{3}$.

7.函数$f(x)=-\cos(x+\frac{π}{6}), x\in[-\frac{π}{3},\frac{2π}{3}]$的值域为。

7.$[-1,\frac{\sqrt{3}}{2}]$ 因为$x\in[-\frac{π}{3},\frac{2π}{3}]$,所以$x+\frac{π}{6}\in[-\frac{π}{6},\frac{5π}{6}]$,则$\cos(x+\frac{π}{6})\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$,故$f(x)$的值域为$[-1,\frac{\sqrt{3}}{2}]$.

8.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的
大小：
(1)$\sin(-\dfrac{π}{18})$与$\sin(-\dfrac{π}{10})$；
(3)$\cos(-\dfrac{23π}{5})$与$\cos(-\dfrac{17π}{4})$。

8.解:(1)因为$-\frac{π}{2}＜-\frac{π}{10}＜-\frac{π}{18}＜\frac{π}{2}$,函数$y=\sin x$在$[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$上单调递增,
所以$\sin(-\frac{π}{18})＞\sin(-\frac{π}{10})$.
(2)$\sin 196°=\sin(180°+16°)=-\sin 16°$,$\cos 156°=\cos(90°+66°)=-\sin 66°$.
由$0°＜16°＜66°＜90°$,得$\sin 16°＜\sin 66°$,
所以$-\sin 16°＞-\sin 66°$,即$\sin 196°＞\cos 156°$.
(3)$\cos(-\frac{23π}{5})=\cos \frac{23π}{5}=\cos(4π+\frac{3π}{5})=\cos \frac{3π}{5}$,
$\cos(-\frac{17π}{4})=\cos \frac{17π}{4}=\cos(4π+\frac{π}{4})=\cos \frac{π}{4}$.
因为$0＜\frac{π}{4}＜\frac{3π}{5}＜π$,且$y=\cos x$在$[0,π]$上单调递减,
所以$\cos \frac{3π}{5}＜\cos \frac{π}{4}$,即$\cos(-\frac{23π}{5})＜\cos(-\frac{17π}{4})$.

9.(天津卷)已知函数$f(x)=3\sin(ω x+\dfrac{π}{3})(ω＞0)$的最小正周期为$π$，则$f(x)$在区间$[-\dfrac{π}{12},\dfrac{π}{6}]$上的最小值是（）

A.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.0
D.$\dfrac{3}{2}$

9.D 因为函数$f(x)$的最小正周期为$π$,所以$\frac{2π}{ω}=π$,所以$ω=2$,即$f(x)=3\sin(2x+\frac{π}{3})$.
因为当$x\in[-\frac{π}{12},\frac{π}{6}]$时,$2x+\frac{π}{3}\in[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]$,所以当$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$,即$x=-\frac{π}{12}$时,$f(x)_{\min}=3\sin \frac{π}{6}=\frac{3}{2}$.

10.函数$y=\cos(\frac{π}{4}-x)$在下列区间上单调递增的是（）

A.$[\frac{π}{2},π]$
B.$[0,\frac{π}{4}]$
C.$[-π,0]$
D.$[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]$

10.B 依题意,得函数$y=\cos(\frac{π}{4}-x)=\cos(x-\frac{π}{4})$.
由$x-\frac{π}{4}\in[-π+2kπ,2kπ],k\in\mathbf{Z}$,得$x\in[-\frac{3π}{4}+2kπ,\frac{π}{4}+2kπ],k\in\mathbf{Z}$,
所以函数$y=\cos(\frac{π}{4}-x)$的单调递增区间是$[-\frac{3π}{4}+2kπ,\frac{π}{4}+2kπ],k\in\mathbf{Z}$.
当$k=0$时,$x\in[-\frac{3π}{4},\frac{π}{4}]$.
因为$[0,\frac{π}{4}]⊆[-\frac{3π}{4},\frac{π}{4}]$,所以函数$y=\cos(\frac{π}{4}-x)$在$[0,\frac{π}{4}]$上单调递增,故B正确;
函数$y=\cos(\frac{π}{4}-x)$在$[\frac{π}{2},π],[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]$上单调递减,在$[-π,0]$上不单调,故A,C,D均错误.

11.已知函数$f(x)=3\sin(2x+\dfrac{π}{6})+1.$
(1)求函数$f(x)$的最小正周期及其图象的对称中心的坐标；
(2)求函数$f(x)$的最值及取得最值时的自变量$x$的集合；
(3)求函数$f(x)$的单调递减区间。

11.解:(1)因为$f(x)=3\sin(2x+\frac{π}{6})+1$,所以$\frac{2π}{2}=π$,即函数$f(x)$的最小正周期为$π$.
令$2x+\frac{π}{6}=kπ,k\in\mathbf{Z}$,解得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12},k\in\mathbf{Z}$,
所以函数$f(x)$图象的对称中心的坐标为$(\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12},1),k\in\mathbf{Z}$.
(2)当$2x+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2},k\in\mathbf{Z}$,即$x=kπ+\frac{π}{6},k\in\mathbf{Z}$时,$f(x)$取得最大值4,
故当$f(x)$取得最大值4时,自变量$x$的集合为$\{x∣ x=kπ+\frac{π}{6},k\in\mathbf{Z}\}$;
当$2x+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{3π}{2},k\in\mathbf{Z}$,即$x=kπ+\frac{2π}{3},k\in\mathbf{Z}$时,$f(x)$取得最小值$-2$,
故当$f(x)$取得最小值$-2$时,自变量$x$的集合为$\{x∣ x=kπ+\frac{2π}{3},k\in\mathbf{Z}\}$.
(3)由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2},k\in\mathbf{Z}$,解得$kπ+\frac{π}{6}≤ x≤ kπ+\frac{2π}{3},k\in\mathbf{Z}$,
故函数$f(x)$的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{6},kπ+\frac{2π}{3}],k\in\mathbf{Z}$.

(2)sin 196与cos 156；

解：
利用诱导公式变形：
$\sin196° = \sin(180° + 16°) = -\sin16°$
$\cos156° = \cos(90° + 66°) = -\sin66°$
因为正弦函数$y=\sin x$在$[0°,90°]$上单调递增，且$0°＜16°＜66°＜90°$，
所以$0＜\sin16°＜\sin66°$，
两边同乘$-1$得：$-\sin16° ＞ -\sin66°$，
因此$\sin196° ＞ \cos156°$。