三、解答题
1. 函数$y=2x+1$的图象如图所示，利用图象解答下列问题.
(1)求方程$2x+1=0$的解；
(2)求不等式$2x+1≥0$的解集；
(3)当$y≤3$时，求$x$的取值范围；
(4)当$y＞-3$时，求$x$的取值范围.

1. (1) $x = -\dfrac{1}{2}$
(2) $x≥ -\dfrac{1}{2}$
(3) $x≤1$
(4) $x＞ -2$

【分析】
本题考查一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关联，解题核心是利用数形结合思想：一次函数图象与x轴交点的横坐标对应对应一元一次方程的解；不等式的解集对应函数图象在指定y值范围时对应的x的取值范围。我们先找到图象上的关键特殊点：与x轴交点为$(-\dfrac{1}{2},0)$，当$x=1$时$y=3$，当$x=-2$时$y=-3$，再对应每一问的要求分析即可。
【解析】
(1) 方程$2x+1=0$的解，对应函数$y=2x+1$的图象与x轴交点的横坐标，由图可知图象与x轴交点的横坐标为$-\dfrac{1}{2}$，因此方程的解为$x=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 不等式$2x+1≥0$即$y≥0$，对应函数图象在x轴及x轴上方的部分，观察图象可得此部分对应的x的取值范围是$x≥-\dfrac{1}{2}$，即不等式的解集为$x≥-\dfrac{1}{2}$。
(3) 当$y≤3$时，先找到$y=3$对应的横坐标为$x=1$，对应函数图象在$y=3$及$y=3$下方的部分，观察图象可得此部分对应的x的取值范围是$x≤1$。
(4) 当$y＞-3$时，先找到$y=-3$对应的横坐标为$x=-2$，对应函数图象在$y=-3$上方的部分，观察图象可得此部分对应的x的取值范围是$x＞-2$。
【答案】
(1) $x = -\dfrac{1}{2}$
(2) $x≥ -\dfrac{1}{2}$
(3) $x≤1$
(4) $x＞ -2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象
【点评】
本题属于基础题型，核心是运用数形结合思想，将方程、不等式的问题转化为一次函数图象的相关问题，通过定位图象上的特殊点、判断图象的升降趋势即可快速求解，熟练掌握数形结合思想能大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8

2. 直线$y=x-3a+1$与直线$y=-x+a+7$相交于第一象限,求$a$的取值范围.

2. $-\dfrac{3}{2} ＜ a ＜ 4$

【分析】
解题可按3个步骤思考：①两条直线的交点坐标就是两个解析式联立所得二元一次方程组的解，因此先联立两个直线解析式，用含a的代数式表示出交点的横、纵坐标；②第一象限内点的坐标特征为横坐标＞0、纵坐标＞0，据此可列出关于a的一元一次不等式组；③解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
联立两条直线的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y = x - 3a + 1 \\ y = -x + a + 7 \end{cases}$
将两个方程右侧相等消去y，得：
$x - 3a + 1 = -x + a + 7$
移项合并同类项：$2x = 4a + 6$，解得$x = 2a + 3$
把$x = 2a + 3$代入$y = x - 3a + 1$，得：
$y = 2a + 3 - 3a + 1 = -a + 4$
因此两直线交点坐标为$(2a+3, -a+4)$
因为交点在第一象限，所以：
$\begin{cases} 2a + 3 ＞ 0 ① \\ -a + 4 ＞ 0 ② \end{cases}$
解不等式①得：$a ＞ -\dfrac{3}{2}$
解不等式②得：$a ＜ 4$
综上，不等式组的解集为$-\dfrac{3}{2} ＜ a ＜ 4$
【答案】
$-\dfrac{3}{2} ＜ a ＜ 4$
【知识点】
一次函数交点性质，象限内点的坐标特征，一元一次不等式组解法
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型基础题型，核心是将交点的位置特征转化为坐标的符号条件，考察了知识迁移能力和基础运算能力，是一次函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.7