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8.【数学文化】我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”大意是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱.问人数、物价各是多少.若设人数为$x$，下列说法错误的是（
A.每人出8钱，则物价为$8x$钱
B.每人出7钱，则物价为$(7x+4)$钱
C.列出关于$x$的方程为$8x-3=7x+4$
D.物价是53钱
A
）A.每人出8钱，则物价为$8x$钱
B.每人出7钱，则物价为$(7x+4)$钱
C.列出关于$x$的方程为$8x-3=7x+4$
D.物价是53钱
答案
8. A 解析:设人数为 $x$ 人,则物价为 $(8x-3)$ 钱或 $(7x+4)$钱,根据题意列方程为 $8x-3=7x+4$,解得 $x=7$,所以$8x-3=53$,即物价是 53 钱,故 A 选项符合题意,B、C、D 选项不符合题意.
9. 有6个班的同学在大会议室里听报告,如果每条长椅坐5人,还缺8条长椅;如果每条长椅坐6人,就多出2条长椅.设来听报告的同学有$x$人,会议室里有$y$条长椅,则下面所列方程:
①$\dfrac{x}{5}-8=\dfrac{x}{6}+2$;②$5(y-8)=6(y+2)$;③$5(y+8)=6(y-2)$;④$\dfrac{x}{5}+8=\dfrac{x}{6}-2$.其中正确的是（
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
①$\dfrac{x}{5}-8=\dfrac{x}{6}+2$;②$5(y-8)=6(y+2)$;③$5(y+8)=6(y-2)$;④$\dfrac{x}{5}+8=\dfrac{x}{6}-2$.其中正确的是（
A
）A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
答案
9. A 解析:根据会议室的长椅的数量不变列方程得$\dfrac{x}{5}-8=\dfrac{x}{6}+2$;根据听报告的人数不变列方程得$5(y+8)=6(y-2)$.综上所述,正确的是①③.
10. 将方程$\dfrac{2}{3}x-1=\dfrac{1}{2}x+3$变形为$4x-6=3x+18$，这种变形的依据是
等式的基本性质 2
.答案
10. 等式的基本性质 2
11. 如果将方程 $3x-2y=25$ 变形为用含 $x$ 的式子表示 $y$,那么 $y=$
$\dfrac{3x-25}{2}$
。答案
11. $\dfrac{3x-25}{2}$ 解析:两边同时减去 $3x$,得 $-2y=25-3x$;方程两边同时除以 $-2$,得 $y=\dfrac{3x-25}{2}$.
12. 若要由方程 $m(a+1)=x(a+1)$ 得到 $m=x$，则需要满足的条件是
$a≠ -1$
.答案
12. $a≠ -1$
13. 一快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶 1.2 km，就早到 10 min；若快递员开车每分钟行驶 0.8 km，就要迟到 5 min. 试求出规定时间及快递员所行驶的总路程.然然和涵涵列出的方程如下：
(1) 然然：$1.2(x - 10) = 0.8(x + 5)$，所列方程中的 $x$ 表示什么？
(2) 涵涵：$\dfrac{y}{1.2} + 10 = \dfrac{y}{0.8} - 5$，所列方程中的 $y$ 表示什么？
(1) 然然：$1.2(x - 10) = 0.8(x + 5)$，所列方程中的 $x$ 表示什么？
(2) 涵涵：$\dfrac{y}{1.2} + 10 = \dfrac{y}{0.8} - 5$，所列方程中的 $y$ 表示什么？
答案
13. (1)规定时间 (2)快递员所行驶的总路程
14. 小明课后利用方程的知识探索发现,所有纯循环小数都可以化为分数.例如:化 $0.\dot{3}$ 为分数,
解决方法是: 设 $x=0.\dot{3}$, 即 $x=0.333···$, 将方程两边同时乘 10, 得 $10x=3.333···$, 即 $10x=$
$3+0.333···$, 又因为 $x=0.333···$, 所以 $10x=3+x$, 所以 $9x=3$, 所以 $x=\dfrac{1}{3}$, 即 $0.\dot{3}=\dfrac{1}{3}$.
尝试解决下列各题:
(1) 把 $0.\dot{1}$ 化成分数为
(2) 请利用小明的方法, 把纯循环小数 $0.\dot{1}\dot{6}$ 化成分数.
解决方法是: 设 $x=0.\dot{3}$, 即 $x=0.333···$, 将方程两边同时乘 10, 得 $10x=3.333···$, 即 $10x=$
$3+0.333···$, 又因为 $x=0.333···$, 所以 $10x=3+x$, 所以 $9x=3$, 所以 $x=\dfrac{1}{3}$, 即 $0.\dot{3}=\dfrac{1}{3}$.
尝试解决下列各题:
(1) 把 $0.\dot{1}$ 化成分数为
$\dfrac{1}{9}$
.(2) 请利用小明的方法, 把纯循环小数 $0.\dot{1}\dot{6}$ 化成分数.
答案
14. (1)$\dfrac{1}{9}$ 解析:设 $x=0.\dot{1}$,即 $x=0.111\ 1···$.方程两边同时乘 10,得$10x=1.111···$,即 $10x=1+0.111···$.又因为 $x=0.111···$,所以$10x=1+x$,所以 $9x=1$,所以 $x=\dfrac{1}{9}$,即 $0.\dot{1}=\dfrac{1}{9}$.
(2)设$x=0.\dot{1}\dot{6}$,即 $x=0.161\ 6···$.方程两边同时乘 100,得 $100x=16.161\ 6···$,即 $100x=16+0.161\ 6···$.又因为 $x=0.161\ 6···$,所以 $100x=16+x$,所以 $99x=16$,所以 $x=\dfrac{16}{99}$,即 $0.\dot{1}\dot{6}=\dfrac{16}{99}$.
(2)设$x=0.\dot{1}\dot{6}$,即 $x=0.161\ 6···$.方程两边同时乘 100,得 $100x=16.161\ 6···$,即 $100x=16+0.161\ 6···$.又因为 $x=0.161\ 6···$,所以 $100x=16+x$,所以 $99x=16$,所以 $x=\dfrac{16}{99}$,即 $0.\dot{1}\dot{6}=\dfrac{16}{99}$.
