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1. (广州中考) 如图,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,则点$O$是$△ ABC$的 (
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
)A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
1.B 解析:三条角平分线的交点是内心,也是内切圆的圆心.故选B.
解析
【分析】要判断点O是△ABC的什么，需明确三角形不同心的定义：内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点；另外，三条边的垂直平分线交点是外心，三条中线交点是重心，三条高的交点是垂心，据此可分析选项。
【解析】根据三角形内心的定义：三角形的内心是其内切圆的圆心，内心是三角形三条角平分线的交点。题目中⊙O是△ABC的内切圆，因此圆心O是△ABC三条角平分线的交点，对应选项B。
【答案】B
【知识点】三角形内心、内切圆
【点评】本题考查三角形内心的基本定义，属于基础概念题，需牢记三角形各心对应的性质，是中考常见的基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】根据三角形内心的定义：三角形的内心是其内切圆的圆心，内心是三角形三条角平分线的交点。题目中⊙O是△ABC的内切圆，因此圆心O是△ABC三条角平分线的交点，对应选项B。
【答案】B
【知识点】三角形内心、内切圆
【点评】本题考查三角形内心的基本定义，属于基础概念题，需牢记三角形各心对应的性质，是中考常见的基础题型。
【难度系数】0.7
2. (2025·宁夏中考改编)如图,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,$∠ A=54°$,则$∠ BOC$等于 （
A.$108°$
B.$117°$
C.$126°$
D.$134°$
B
）A.$108°$
B.$117°$
C.$126°$
D.$134°$
答案
2.B 解析:
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆,$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$.$\because ∠ A=54°$,$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=126°$,$\therefore ∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)= 180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}×126°=117°$.
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆,$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$.$\because ∠ A=54°$,$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=126°$,$\therefore ∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)= 180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}×126°=117°$.
解析
【分析】
要计算∠BOC的度数，需利用三角形内切圆的性质：内切圆的圆心是三角形的内心，即三个角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB；再结合三角形内角和定理，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，进而得到△BOC中两个底角的和，最后算出∠BOC。
【解析】
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ 点O是△ABC的内心，根据内心的性质，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。在△ABC中，由三角形内角和为180°，已知∠A=54°，可得∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 54° = 126°。在△BOC中，∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×126° = 63°，再根据三角形内角和，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 63° = 117°。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆、角平分线、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内切圆的性质，核心是利用内心为角平分线交点，结合三角形内角和定理计算，属于基础几何题，是中考常见题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要计算∠BOC的度数，需利用三角形内切圆的性质：内切圆的圆心是三角形的内心，即三个角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB；再结合三角形内角和定理，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，进而得到△BOC中两个底角的和，最后算出∠BOC。
【解析】
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ 点O是△ABC的内心，根据内心的性质，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。在△ABC中，由三角形内角和为180°，已知∠A=54°，可得∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 54° = 126°。在△BOC中，∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×126° = 63°，再根据三角形内角和，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 63° = 117°。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆、角平分线、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内切圆的性质，核心是利用内心为角平分线交点，结合三角形内角和定理计算，属于基础几何题，是中考常见题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
3. 如图,$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆,点$D,E,F$为切点,$P$是$\overgroup{EFD}$上任意一点(不与点$E,D$重合),则$∠ EPD=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
3. 45 解析:连接OE,OD,如图所示.
∵ $\odot O$是直角$△ ABC$的内切圆,点D,E,F为切点,$\therefore OE ⊥ BC$,$OD ⊥ AC$,$\therefore ∠ C=∠ OEC=∠ ODC=90°$,$\therefore$ 四边形OECD是矩形,$\therefore ∠ EOD=90°$,$\therefore ∠ EPD=\frac{1}{2}∠ EOD=45°$.
解析
【分析】要解决本题，需结合直角三角形内切圆的性质与圆周角定理。首先连接OE、OD，利用内切圆的切线垂直于过切点的半径，得到OE⊥BC、OD⊥AC，结合∠C为直角，可推出四边形OECD是矩形，进而得到圆心角∠EOD的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠EPD的度数。
【解析】连接OE、OD，如图所示。
∵ ⊙O是Rt△ABC的内切圆，点D、E为切点，
∴ OE⊥BC，OD⊥AC（圆的切线垂直于过切点的半径），
又
∵ ∠C=90°，
∴ ∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∴ 四边形OECD是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ ∠EOD=90°，
∵ ∠EPD是弧ED所对的圆周角，∠EOD是弧ED所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠EPD = $\frac{1}{2}$∠EOD = $\frac{1}{2}$×90°=45°。
【答案】45
【知识点】三角形内切圆、圆周角定理、矩形的判定
【点评】本题将直角三角形内切圆的性质与圆周角定理结合考查，核心是通过切线性质确定圆心角的度数，再利用圆周角定理计算，属于基础几何应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】连接OE、OD，如图所示。
∵ ⊙O是Rt△ABC的内切圆，点D、E为切点，
∴ OE⊥BC，OD⊥AC（圆的切线垂直于过切点的半径），
又
∵ ∠C=90°，
∴ ∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∴ 四边形OECD是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ ∠EOD=90°，
∵ ∠EPD是弧ED所对的圆周角，∠EOD是弧ED所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠EPD = $\frac{1}{2}$∠EOD = $\frac{1}{2}$×90°=45°。
【答案】45
【知识点】三角形内切圆、圆周角定理、矩形的判定
【点评】本题将直角三角形内切圆的性质与圆周角定理结合考查，核心是通过切线性质确定圆心角的度数，再利用圆周角定理计算，属于基础几何应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5
4. (1)(宿迁中考改编)直角三角形的两条直角边分别是5 和 12,则它的外接圆半径为
(2)等边$△ ABC$的边长为6,则它的内切圆半径为
6.5
,内切圆半径为2
.(2)等边$△ ABC$的边长为6,则它的内切圆半径为
$\sqrt{3}$
.答案
4.(1)6.5 2 解析:
∵直角边长分别为5和12,
∴斜边长是13,
∴这个直角三角形的外接圆的半径为6.5.设内切圆半径为r,由三角形面积公式可得$\frac{1}{2}×(5+12+13)r=\frac{1}{2}×5×12$,得r=2,即内切圆的半径为2.
(2)$\sqrt{3}$ 解析:如图所示,连接圆心O和切点D,连接CO,即OD为圆的半径,
∵ $△ ABC$是等边三角形,$\therefore OD ⊥ BC$,$∠ OCD=30°$.$\because BC=6$,$\therefore CD=3$.在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,由勾股定理可得$OD=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题考查三角形外接圆、内切圆半径的计算，分为直角三角形和等边三角形两类场景。对于直角三角形，需利用“外接圆直径为斜边”的性质求外接圆半径，通过面积法或直角三角形内切圆公式求内切圆半径；对于等边三角形，结合其三线合一性质，利用勾股定理即可计算内切圆半径。
【解析】
(1) 直角三角形的外接圆与内切圆半径
已知直角三角形两条直角边为5和12，由勾股定理得斜边长：$\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$。
外接圆半径：直角三角形外接圆直径等于斜边，故半径为斜边的一半，即$\frac{13}{2}=6.5$。
内切圆半径：设内切圆半径为$r$，根据三角形面积公式，$\frac{1}{2}×(5+12+13)×r = \frac{1}{2}×5×12$，化简得$15r=30$，解得$r=2$。
(2) 等边三角形的内切圆半径
等边$△ ABC$边长为6，连接内切圆圆心$O$与$BC$的切点$D$，则$OD⊥BC$，$CD=\frac{1}{2}BC=3$，$∠ OCD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$\tan30°=\frac{OD}{CD}$，故$OD=CD×\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，即内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $6.5$，$2$；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形外接圆半径；三角形内切圆半径；等边三角形性质
【点评】
本题为中考基础题，核心考查三角形外接圆、内切圆的性质，解题思路清晰，需牢记相关公式，属于易得分题型。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形外接圆、内切圆半径的计算，分为直角三角形和等边三角形两类场景。对于直角三角形，需利用“外接圆直径为斜边”的性质求外接圆半径，通过面积法或直角三角形内切圆公式求内切圆半径；对于等边三角形，结合其三线合一性质，利用勾股定理即可计算内切圆半径。
【解析】
(1) 直角三角形的外接圆与内切圆半径
已知直角三角形两条直角边为5和12，由勾股定理得斜边长：$\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$。
外接圆半径：直角三角形外接圆直径等于斜边，故半径为斜边的一半，即$\frac{13}{2}=6.5$。
内切圆半径：设内切圆半径为$r$，根据三角形面积公式，$\frac{1}{2}×(5+12+13)×r = \frac{1}{2}×5×12$，化简得$15r=30$，解得$r=2$。
(2) 等边三角形的内切圆半径
等边$△ ABC$边长为6，连接内切圆圆心$O$与$BC$的切点$D$，则$OD⊥BC$，$CD=\frac{1}{2}BC=3$，$∠ OCD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$\tan30°=\frac{OD}{CD}$，故$OD=CD×\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，即内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $6.5$，$2$；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形外接圆半径；三角形内切圆半径；等边三角形性质
【点评】
本题为中考基础题，核心考查三角形外接圆、内切圆的性质，解题思路清晰，需牢记相关公式，属于易得分题型。
【难度系数】
0.7
5. 新趋势 尺规作图（绥化中考）如图,已知:
$△ ABC$.
(1)尺规作图:用直尺和圆规作出$△ ABC$内切圆的圆心$O$;(只保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)如果$△ ABC$的周长为$14\ \mathrm{cm}$,内切圆的半径为$1.3\ \mathrm{cm}$,求$△ ABC$的面积.
$△ ABC$.
(1)尺规作图:用直尺和圆规作出$△ ABC$内切圆的圆心$O$;(只保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)如果$△ ABC$的周长为$14\ \mathrm{cm}$,内切圆的半径为$1.3\ \mathrm{cm}$,求$△ ABC$的面积.
答案
5.(1)如图①所示,点O即为所求作.
(2)如图②所示,连接OA,OB,OC,作$OD ⊥ AB$于点D,$OE ⊥ BC$于点E,$OF ⊥ AC$于点F.
∵ 内切圆的半径为1.3 cm,$\therefore OD=OF=OE=1.3$ cm.$\because △ ABC$的周长为14 cm,$\therefore AB+BC+AC=14$ cm,则$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ COB}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· AB· OD+\frac{1}{2}· BC· OE+\frac{1}{2}· AC· OF=\frac{1}{2}×1.3×(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×1.3×14=9.1(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
首先，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，因此通过尺规作两个内角的角平分线，其交点即为内切圆圆心O；其次，求三角形面积时，将原三角形分割为三个以内切圆半径为高的小三角形，利用三角形面积公式求和，结合周长即可计算总面积。
【解析】
(1) 尺规作图：作∠ABC与∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点即为△ABC内切圆的圆心O，作图痕迹如图①所示。
(2) 计算面积：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F。
∵ O是△ABC内切圆的圆心，
∴ OD=OE=OF=内切圆半径=1.3 cm。
已知△ABC的周长为14 cm，即AB+BC+AC=14 cm。
则$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△COB}+S_{△AOC}$
$=\frac{1}{2}·AB·OD+\frac{1}{2}·BC·OE+\frac{1}{2}·AC·OF$
$=\frac{1}{2}×1.3×(AB+BC+AC)$
$=\frac{1}{2}×1.3×14=9.1(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 如图①所示，点O即为所求作。
(2) △ABC的面积为9.1 cm²。
【知识点】
三角形内切圆、角平分线性质、三角形面积公式
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形内切圆的相关计算，需掌握角平分线的尺规作图方法，以及内切圆半径与三角形面积、周长的关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6
首先，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，因此通过尺规作两个内角的角平分线，其交点即为内切圆圆心O；其次，求三角形面积时，将原三角形分割为三个以内切圆半径为高的小三角形，利用三角形面积公式求和，结合周长即可计算总面积。
【解析】
(1) 尺规作图：作∠ABC与∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点即为△ABC内切圆的圆心O，作图痕迹如图①所示。
(2) 计算面积：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F。
∵ O是△ABC内切圆的圆心，
∴ OD=OE=OF=内切圆半径=1.3 cm。
已知△ABC的周长为14 cm，即AB+BC+AC=14 cm。
则$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△COB}+S_{△AOC}$
$=\frac{1}{2}·AB·OD+\frac{1}{2}·BC·OE+\frac{1}{2}·AC·OF$
$=\frac{1}{2}×1.3×(AB+BC+AC)$
$=\frac{1}{2}×1.3×14=9.1(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 如图①所示，点O即为所求作。
(2) △ABC的面积为9.1 cm²。
【知识点】
三角形内切圆、角平分线性质、三角形面积公式
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形内切圆的相关计算，需掌握角平分线的尺规作图方法，以及内切圆半径与三角形面积、周长的关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6
6. 如图,点 $I$ 为 $△ ABC$ 的内心, $AB = 4, AC = 3$, $BC=2$, 将 $∠ ACB$ 平移使其顶点与 $I$ 重合, 则图中阴影部分的周长为 （
A.4.5
B.4
C.3
D.2
B
）A.4.5
B.4
C.3
D.2
答案
6.B 解析:连接AI,BI,
∵ 点I为$△ ABC$的内心,
∴ AI平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAI=∠ BAI$.由平移得$AC // DI$,$\therefore ∠ CAI=∠ AID$,$\therefore ∠ BAI=∠ AID$,$\therefore AD=DI$,同理可得$BE=EI$,$\therefore △ DIE$的周长$=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4$,即题图中阴影部分的周长为4.故选B.
∵ 点I为$△ ABC$的内心,
∴ AI平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAI=∠ BAI$.由平移得$AC // DI$,$\therefore ∠ CAI=∠ AID$,$\therefore ∠ BAI=∠ AID$,$\therefore AD=DI$,同理可得$BE=EI$,$\therefore △ DIE$的周长$=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4$,即题图中阴影部分的周长为4.故选B.
解析
【分析】
要计算阴影部分（△DIE）的周长，需结合三角形内心的性质和平移的性质，通过角与平行线的关系推导等腰三角形，将阴影部分的边长转化为已知线段AB的长度。具体思路：1. 利用内心是角平分线交点，得到AI平分∠CAB，BI平分∠CBA；2. 根据平移的性质，AC//DI、BC//EI，结合内错角相等，推出∠BAI=∠AID、∠CBI=∠BIE，进而得到AD=DI、BE=EI；3. 将阴影部分周长的边替换为AD、BE、DE，总和即为AB的长度。
【解析】
连接AI、BI。
∵ 点I为△ABC的内心，
∴ AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，
∴ ∠CAI = ∠BAI，∠CBI = ∠ABI。
由平移的性质得：AC//DI，BC//EI，
∴ ∠CAI = ∠AID（两直线平行，内错角相等），
∠CBI = ∠BIE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BAI = ∠AID，∠ABI = ∠BIE，
∴ AD = DI，BE = EI（等角对等边）。
因此，△DIE的周长（即阴影部分周长）为：
DI + EI + DE = AD + BE + DE = AB = 4。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心性质、平移性质、等腰三角形判定
【点评】
本题将三角形内心与平移的性质结合，通过角的等量关系转化边长，体现了几何中的转化思想，解题关键是利用平行线和角平分线得到等腰三角形，将未知周长转化为已知线段长度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分（△DIE）的周长，需结合三角形内心的性质和平移的性质，通过角与平行线的关系推导等腰三角形，将阴影部分的边长转化为已知线段AB的长度。具体思路：1. 利用内心是角平分线交点，得到AI平分∠CAB，BI平分∠CBA；2. 根据平移的性质，AC//DI、BC//EI，结合内错角相等，推出∠BAI=∠AID、∠CBI=∠BIE，进而得到AD=DI、BE=EI；3. 将阴影部分周长的边替换为AD、BE、DE，总和即为AB的长度。
【解析】
连接AI、BI。
∵ 点I为△ABC的内心，
∴ AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，
∴ ∠CAI = ∠BAI，∠CBI = ∠ABI。
由平移的性质得：AC//DI，BC//EI，
∴ ∠CAI = ∠AID（两直线平行，内错角相等），
∠CBI = ∠BIE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BAI = ∠AID，∠ABI = ∠BIE，
∴ AD = DI，BE = EI（等角对等边）。
因此，△DIE的周长（即阴影部分周长）为：
DI + EI + DE = AD + BE + DE = AB = 4。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心性质、平移性质、等腰三角形判定
【点评】
本题将三角形内心与平移的性质结合，通过角的等量关系转化边长，体现了几何中的转化思想，解题关键是利用平行线和角平分线得到等腰三角形，将未知周长转化为已知线段长度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
7. (2025·滨州中考)如图,E,F,G,H四点分别在正方形$ABCD$的四条边上,$AF=BG=CH=$$DE$.若$AB=17$,$EF=13$,则$△ GCH$的内切圆半径为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7.B 解析:
∵ 四边形ABCD是正方形,$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$,$AB=BC=CD=AD=17$.$\because AF=BG=CH=DE$,$\therefore BF=CG=DH=AE$,$\therefore △ AEF ≌ △ BFG ≌ △ CGH ≌ △ DHE$(SAS),$\therefore EF=FG=GH=EH=13$,设$CH=x$,则$CG=DH=17-x$,在$\mathrm{Rt}△ CGH$中,$CH^2+CG^2=GH^2$,$\therefore x^2+(17-x)^2=13^2$,解得$x=5$,$\therefore CH=5$,$CG=12$.令$△ GCH$的内切圆圆心为O,连接OC,OH,OG,令切点为M,N,P,连接OM,ON,OP,如图所示,
则$OM ⊥ CG$,$ON ⊥ CH$,$OP ⊥ HG$.∵ $\odot O$内切于$△ GCH$,$\therefore OM=ON=OP=r$.
∵ $S_{△ CHG}=S_{△ COG}+S_{△ COH}+S_{△ HOG}$,$\therefore \frac{1}{2} CG· CH=\frac{1}{2} CG· OM+\frac{1}{2} CH· ON+\frac{1}{2} HG· OP$,$\therefore \frac{1}{2}×12×5=\frac{1}{2}×12r+\frac{1}{2}×5r+\frac{1}{2}×13r=15r$,解得$r=2$,即$△ GCH$的内切圆半径为2.故选B.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用正方形的性质得到边和角的关系，结合已知AF=BG=CH=DE推出BF=CG=DH=AE，证明三角形全等得到GH=EF=13；接着设未知数，用勾股定理求出Rt△GCH的两条直角边长度；最后利用三角形面积与内切圆半径的关系计算内切圆半径。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=17。
∵ AF=BG=CH=DE，
∴ BF=AB - AF = CG=BC - BG=DH=CD - CH=AE=AD - DE，
∴ △AEF ≌ △BFG ≌ △CGH ≌ △DHE（SAS），
∴ GH=EF=13。
设CH=x，则CG=17 - x，
在Rt△CGH中，由勾股定理得：CH² + CG² = GH²，
即x² + (17 - x)² = 13²，
展开整理：2x² - 34x + 120 = 0，化简为x² -17x +60=0，
解得x=5或x=12，对应CH=5、CG=12（或CH=12、CG=5，结果一致）。
设△GCH的内切圆半径为r，根据三角形内切圆半径公式：三角形面积 = (1/2)×周长×r，
△GCH的面积S = (1/2)×CG×CH = (1/2)×12×5=30，
△GCH的周长=5+12+13=30，
代入公式得：30 = (1/2)×30×r，
解得r=2。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、勾股定理、三角形内切圆半径
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形、勾股定理及三角形内切圆的相关知识，需要学生逐步推导边长，再运用公式计算，对知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用正方形的性质得到边和角的关系，结合已知AF=BG=CH=DE推出BF=CG=DH=AE，证明三角形全等得到GH=EF=13；接着设未知数，用勾股定理求出Rt△GCH的两条直角边长度；最后利用三角形面积与内切圆半径的关系计算内切圆半径。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=17。
∵ AF=BG=CH=DE，
∴ BF=AB - AF = CG=BC - BG=DH=CD - CH=AE=AD - DE，
∴ △AEF ≌ △BFG ≌ △CGH ≌ △DHE（SAS），
∴ GH=EF=13。
设CH=x，则CG=17 - x，
在Rt△CGH中，由勾股定理得：CH² + CG² = GH²，
即x² + (17 - x)² = 13²，
展开整理：2x² - 34x + 120 = 0，化简为x² -17x +60=0，
解得x=5或x=12，对应CH=5、CG=12（或CH=12、CG=5，结果一致）。
设△GCH的内切圆半径为r，根据三角形内切圆半径公式：三角形面积 = (1/2)×周长×r，
△GCH的面积S = (1/2)×CG×CH = (1/2)×12×5=30，
△GCH的周长=5+12+13=30，
代入公式得：30 = (1/2)×30×r，
解得r=2。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、勾股定理、三角形内切圆半径
【点评】
本题综合考查正方形、全等三角形、勾股定理及三角形内切圆的相关知识，需要学生逐步推导边长，再运用公式计算，对知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
8. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为$(3,6),(-3,3)$,$(7,-2)$,则$△ ABC$内心的坐标为（
A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(2,4)$
D.$(4,2)$
A
）A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(2,4)$
D.$(4,2)$
答案
8.A 解析:如图,建立平面直角坐标系,
∵ $A(3,6)$,$B(-3,3)$,$C(7,-2)$,易得$AB=3\sqrt{5}$,$AC=4\sqrt{5}$,$BC=5\sqrt{5}$,$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$,$\therefore ∠ BAC=90°$,$\therefore △ ABC$是直角三角形.设$△ ABC$的内心为点I,内切圆的半径为r,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×4\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}+5\sqrt{5})r$,解得$r=\sqrt{5}$.过点B作$BD // x$轴,过点A作$AF // y$轴交BC于点F,交BD于点E.
∵ $AE=EF=3$,$AB=BF=3\sqrt{5}$,$\therefore ∠ ABE=∠ FBE$,即BD平分$∠ ABC$,$\therefore △ ABC$的内心I一定在射线BD上,$\therefore$ 只需在射线BD上找一点到边AB的垂直距离为$\sqrt{5}$即可,结合网格小正方形,易得点I的坐标为$(2,3)$.故选A.
解析
【分析】
要确定△ABC内心的坐标，首先明确内心是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等。步骤为：1. 根据三点坐标计算三边长度，判断三角形形状；2. 利用三角形性质或内心坐标公式计算内心坐标，结合网格验证结果。
【解析】
已知点A(3,6)，B(-3,3)，C(7,-2)，计算三边长度：
AB = √[(3 - (-3))² + (6 - 3)²] = √(6² + 3²) = 3√5；
AC = √[(7 - 3)² + (-2 - 6)²] = √(4² + (-8)²) = 4√5；
BC = √[(7 - (-3))² + (-2 - 3)²] = √(10² + (-5)²) = 5√5。
验证得AB² + AC² = (3√5)² + (4√5)² = 125 = (5√5)² = BC²，故△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
对于三角形内心，若顶点坐标为(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)，对应对边长度为a,b,c，则内心坐标公式为：$( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} )$。此处a=BC=5√5（对应A点），b=AC=4√5（对应B点），c=AB=3√5（对应C点），代入得：
$x = \frac{5\sqrt{5}×3 + 4\sqrt{5}×(-3) + 3\sqrt{5}×7}{5\sqrt{5}+4\sqrt{5}+3\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = 2$；
$y = \frac{5\sqrt{5}×6 + 4\sqrt{5}×3 + 3\sqrt{5}×(-2)}{12\sqrt{5}} = \frac{36\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = 3$；
故内心坐标为(2,3)。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心、直角三角形判定、平面直角坐标系
【点评】
本题结合平面直角坐标系与三角形内心性质，先通过边长判断三角形形状，再利用内心坐标公式求解，需掌握内心定义及直角三角形的相关性质，计算时注意边长与坐标的对应关系。
【难度系数】
0.5
要确定△ABC内心的坐标，首先明确内心是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等。步骤为：1. 根据三点坐标计算三边长度，判断三角形形状；2. 利用三角形性质或内心坐标公式计算内心坐标，结合网格验证结果。
【解析】
已知点A(3,6)，B(-3,3)，C(7,-2)，计算三边长度：
AB = √[(3 - (-3))² + (6 - 3)²] = √(6² + 3²) = 3√5；
AC = √[(7 - 3)² + (-2 - 6)²] = √(4² + (-8)²) = 4√5；
BC = √[(7 - (-3))² + (-2 - 3)²] = √(10² + (-5)²) = 5√5。
验证得AB² + AC² = (3√5)² + (4√5)² = 125 = (5√5)² = BC²，故△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
对于三角形内心，若顶点坐标为(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)，对应对边长度为a,b,c，则内心坐标公式为：$( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} )$。此处a=BC=5√5（对应A点），b=AC=4√5（对应B点），c=AB=3√5（对应C点），代入得：
$x = \frac{5\sqrt{5}×3 + 4\sqrt{5}×(-3) + 3\sqrt{5}×7}{5\sqrt{5}+4\sqrt{5}+3\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = 2$；
$y = \frac{5\sqrt{5}×6 + 4\sqrt{5}×3 + 3\sqrt{5}×(-2)}{12\sqrt{5}} = \frac{36\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = 3$；
故内心坐标为(2,3)。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心、直角三角形判定、平面直角坐标系
【点评】
本题结合平面直角坐标系与三角形内心性质，先通过边长判断三角形形状，再利用内心坐标公式求解，需掌握内心定义及直角三角形的相关性质，计算时注意边长与坐标的对应关系。
【难度系数】
0.5
