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6 某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展. 某企业 1 月的营业额是 1 000 万元,第一季度的总营业额是 3 990 万元. 若设月平均增长率是$x$,则可列方程为（
A.$1\ 000(1+x)^{2}=3\ 990$
B.$1\ 000+1\ 000(1+x)+1\ 000(1+x)^{2}=3\ 990$
C.$1\ 000(1+2x)=3\ 990$
D.$1\ 000+1\ 000(1+x)+1\ 000(1+2x)=3\ 990$
B
）A.$1\ 000(1+x)^{2}=3\ 990$
B.$1\ 000+1\ 000(1+x)+1\ 000(1+x)^{2}=3\ 990$
C.$1\ 000(1+2x)=3\ 990$
D.$1\ 000+1\ 000(1+x)+1\ 000(1+2x)=3\ 990$
答案
6. B
解析
【分析】首先明确第一季度包含1月、2月、3月三个月的营业额，需分别计算这三个月的营业额，再求和等于总营业额3990万元。根据月平均增长率x，依次求出2月、3月的营业额，进而列出方程，对应选项即可得出答案。
【解析】已知1月营业额为1000万元，月平均增长率为x，则：
2月营业额 = 1月营业额×(1+增长率) = 1000(1+x)万元；
3月营业额 = 2月营业额×(1+增长率) = 1000(1+x)×(1+x) = 1000(1+x)²万元；
第一季度总营业额为1、2、3月营业额之和，因此列方程为：
1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)² = 3990，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查增长率问题的实际应用，核心是明确第一季度的时间范围（三个月），避免误将总营业额当成某一个月的营业额，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】已知1月营业额为1000万元，月平均增长率为x，则：
2月营业额 = 1月营业额×(1+增长率) = 1000(1+x)万元；
3月营业额 = 2月营业额×(1+增长率) = 1000(1+x)×(1+x) = 1000(1+x)²万元；
第一季度总营业额为1、2、3月营业额之和，因此列方程为：
1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)² = 3990，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查增长率问题的实际应用，核心是明确第一季度的时间范围（三个月），避免误将总营业额当成某一个月的营业额，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
7 某化肥厂去年 4 月生产化肥 500 t,因管理不善,5 月的产量减少 10%,从 6 月起加强管理,产量逐月上升,7 月产量达到了 648 t,则该化肥厂去年 6 月、7 月产量的月平均增长率是
$20\%$
.答案
7. $20\%$
解析
【分析】首先计算5月的产量，因5月比4月减少10%，故5月产量为4月产量的90%；接着明确从6月起产量逐月上升，设6、7月的月平均增长率为x，则7月产量是5月产量经过两次增长后的结果，即5月产量×(1+x)²；最后根据7月产量为648t列出方程，求解方程并舍去不符合实际意义的负根，得到月平均增长率。
【解析】解：1. 计算5月产量：500×(1-10%)=500×0.9=450(t)；
2. 设该化肥厂去年6月、7月产量的月平均增长率为x，根据题意列方程：
450(1+x)²=648；
3. 解方程：
两边同时除以450得：(1+x)²=648÷450=1.44；
开平方得：1+x=±1.2（增长率为正，舍去负根）；
因此1+x=1.2，解得x=0.2=20%。
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题是一元二次方程的典型应用——增长率问题，解题关键是理清各月产量的数量关系，正确建立方程，需注意舍去不符合实际的解，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】解：1. 计算5月产量：500×(1-10%)=500×0.9=450(t)；
2. 设该化肥厂去年6月、7月产量的月平均增长率为x，根据题意列方程：
450(1+x)²=648；
3. 解方程：
两边同时除以450得：(1+x)²=648÷450=1.44；
开平方得：1+x=±1.2（增长率为正，舍去负根）；
因此1+x=1.2，解得x=0.2=20%。
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题是一元二次方程的典型应用——增长率问题，解题关键是理清各月产量的数量关系，正确建立方程，需注意舍去不符合实际的解，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
8 某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的三分之一每根又长出同样数目的小支根，而其余支根每根长出一半数目的小支根，主根、支根、小支根的总根数是109。这种植物的主根长出了多少根支根？
答案
8. 设这种植物的主根长出了 $x$ 根支根. 根据题意,得 $1+x+\dfrac{1}{3}x· x+(1-\dfrac{1}{3})x· \dfrac{1}{2}x=109$,解得 $x_1=12$,$x_2=-\dfrac{27}{2}$(不合题意,舍去). $\therefore$ 这种植物的主根长出了 12 根支根
解析
【分析】首先设主根长出的支根数量为$ x $，分别计算主根、支根、小支根的数量：主根为1根，支根为$ x $根；小支根分为两部分，$\frac{1}{3}x$根支根每根长$ x $个小支根，其余$(1-\frac{1}{3})x$根支根每根长$\frac{1}{2}x$个小支根，总根数为三者之和等于109，据此列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负数解，得到答案。
【解析】解：设这种植物的主根长出了$ x $根支根。
根据题意，总根数为：主根数量 + 支根数量 + 小支根数量，即
$1 + x + \frac{1}{3}x · x + (1 - \frac{1}{3})x · \frac{1}{2}x = 109$
化简方程：
$1 + x + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 = 109$
$\frac{2}{3}x^2 + x + 1 = 109$
两边同乘3消去分母：
$2x^2 + 3x + 3 = 327$
整理得：
$2x^2 + 3x - 324 = 0$
计算判别式：$\Delta = 3^2 - 4 × 2 × (-324) = 9 + 2592 = 2601 = 51^2$
解得：
$x = \frac{-3 \pm 51}{4}$
即$x_1 = \frac{48}{4} = 12$，$x_2 = \frac{-54}{4} = -\frac{27}{2}$
因为支根数量不能为负数，所以舍去$x_2 = -\frac{27}{2}$，故$x = 12$。
【答案】12根
【知识点】一元二次方程的应用、实际问题与一元二次方程
【点评】本题核心是理清各部分根的数量关系，正确列代数式并建立方程，求解后需结合实际意义取舍解，属于中等难度的应用题，考查学生的数学建模能力。
【难度系数】0.5
【解析】解：设这种植物的主根长出了$ x $根支根。
根据题意，总根数为：主根数量 + 支根数量 + 小支根数量，即
$1 + x + \frac{1}{3}x · x + (1 - \frac{1}{3})x · \frac{1}{2}x = 109$
化简方程：
$1 + x + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 = 109$
$\frac{2}{3}x^2 + x + 1 = 109$
两边同乘3消去分母：
$2x^2 + 3x + 3 = 327$
整理得：
$2x^2 + 3x - 324 = 0$
计算判别式：$\Delta = 3^2 - 4 × 2 × (-324) = 9 + 2592 = 2601 = 51^2$
解得：
$x = \frac{-3 \pm 51}{4}$
即$x_1 = \frac{48}{4} = 12$，$x_2 = \frac{-54}{4} = -\frac{27}{2}$
因为支根数量不能为负数，所以舍去$x_2 = -\frac{27}{2}$，故$x = 12$。
【答案】12根
【知识点】一元二次方程的应用、实际问题与一元二次方程
【点评】本题核心是理清各部分根的数量关系，正确列代数式并建立方程，求解后需结合实际意义取舍解，属于中等难度的应用题，考查学生的数学建模能力。
【难度系数】0.5
9 某商场销售一批鞋子,平均每天可售出 20 双,每双盈利 50 元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取降价措施,调查发现,每双鞋子每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 双.
(1)若每双鞋子降价 20 元,商场平均每天可售出多少双鞋子?
(2)(易错题)若商场每天要盈利1750元,且让顾客尽可能多得实惠,每双鞋子应降价多少元?
(1)若每双鞋子降价 20 元,商场平均每天可售出多少双鞋子?
(2)(易错题)若商场每天要盈利1750元,且让顾客尽可能多得实惠,每双鞋子应降价多少元?
答案
9. (1) 由题意,得 $2× 20+20=60$(双). $\therefore$ 若每双鞋子降价20 元,商场平均每天可售出 60 双鞋子
(2) 设每双鞋子降价$x$ 元. 根据题意,得 $(50-x)(20+2x)=1\ 750$,整理,得 $x^2-40x+375=0$,解得 $x_1=15$,$x_2=25$. $\because$ 让顾客尽可能多得实惠, $\therefore x=25$. $\therefore$ 每双鞋子应降价 25 元
(2) 设每双鞋子降价$x$ 元. 根据题意,得 $(50-x)(20+2x)=1\ 750$,整理,得 $x^2-40x+375=0$,解得 $x_1=15$,$x_2=25$. $\because$ 让顾客尽可能多得实惠, $\therefore x=25$. $\therefore$ 每双鞋子应降价 25 元
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据“每降价1元多售2双”的数量关系，计算降价20元时的总销量；第(2)问是销售盈利问题，核心公式为“总盈利=每双盈利×销售数量”，需设降价金额为未知数列方程，再结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件对解取舍。
【解析】
(1) 每双鞋子降价20元时，多售出的鞋子数量为 $2×20=40$ 双，加上原每天售出的20双，总销量为 $20+40=60$ 双。
(2) 设每双鞋子降价 $x$ 元，则每双盈利为 $(50-x)$ 元，每天销量为 $(20+2x)$ 双。根据总盈利1750元列方程：
$(50-x)(20+2x)=1750$
整理得：$x^2-40x+375=0$，解得 $x_1=15$，$x_2=25$。因要让顾客尽可能多得实惠，故选择较大的降价金额 $x=25$。
【答案】
(1) 60双；(2) 25元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是销售类实际应用题，第(1)问较基础；第(2)问为易错题，需注意根据题目要求对一元二次方程的解进行合理取舍，避免忽略“让顾客多得实惠”的条件。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需根据“每降价1元多售2双”的数量关系，计算降价20元时的总销量；第(2)问是销售盈利问题，核心公式为“总盈利=每双盈利×销售数量”，需设降价金额为未知数列方程，再结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件对解取舍。
【解析】
(1) 每双鞋子降价20元时，多售出的鞋子数量为 $2×20=40$ 双，加上原每天售出的20双，总销量为 $20+40=60$ 双。
(2) 设每双鞋子降价 $x$ 元，则每双盈利为 $(50-x)$ 元，每天销量为 $(20+2x)$ 双。根据总盈利1750元列方程：
$(50-x)(20+2x)=1750$
整理得：$x^2-40x+375=0$，解得 $x_1=15$，$x_2=25$。因要让顾客尽可能多得实惠，故选择较大的降价金额 $x=25$。
【答案】
(1) 60双；(2) 25元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是销售类实际应用题，第(1)问较基础；第(2)问为易错题，需注意根据题目要求对一元二次方程的解进行合理取舍，避免忽略“让顾客多得实惠”的条件。
【难度系数】
0.6
10 超市某商品的进价为20元/件,每天的销量$y$(件)与售价$x$(元/件)的函数关系如图所示.
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式.
(2) 若超市出售该商品每天获得1440元的利润,且能让消费者减少花费,求此时的售价.
(3) 该超市能否保证出售该商品每天获得2500元的利润？请说明理由.
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式.
(2) 若超市出售该商品每天获得1440元的利润,且能让消费者减少花费,求此时的售价.
(3) 该超市能否保证出售该商品每天获得2500元的利润？请说明理由.
答案
10. (1) 设 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y=kx+b(k≠0)$. 将$(25,250)$,$(40,100)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases}25k+b=250,\\40k+b=100,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-10,\\b=500.\end{cases}$ $\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y=-10x+500$
(2) 根据题意,得 $(x-20)(-10x+500)=1\ 440$,整理,得 $x^2-70x+1\ 144=0$,解得 $x_1=26$,$x_2=44$. 又 $\because$ 能让消费者减少花费,$\therefore x=26$. $\therefore$ 此时的售价为 26 元/件
(3) 该超市不能保证出售该商品每天获得 2 500 元的利润 理由:假设该超市能保证出售该商品每天获得 2 500 元的利润,根据题意,得 $(x-20)(-10x+500)=2\ 500$,整理,得 $x^2-70x+1\ 250=0$. $\because \Delta=(-70)^2-4×1×1\ 250=-100＜0$,$\therefore$ 该方程无实数根. $\therefore$ 假设不成立,即该超市不能保证出售该商品每天获得 2 500 元的利润.
(2) 根据题意,得 $(x-20)(-10x+500)=1\ 440$,整理,得 $x^2-70x+1\ 144=0$,解得 $x_1=26$,$x_2=44$. 又 $\because$ 能让消费者减少花费,$\therefore x=26$. $\therefore$ 此时的售价为 26 元/件
(3) 该超市不能保证出售该商品每天获得 2 500 元的利润 理由:假设该超市能保证出售该商品每天获得 2 500 元的利润,根据题意,得 $(x-20)(-10x+500)=2\ 500$,整理,得 $x^2-70x+1\ 250=0$. $\because \Delta=(-70)^2-4×1×1\ 250=-100＜0$,$\therefore$ 该方程无实数根. $\therefore$ 假设不成立,即该超市不能保证出售该商品每天获得 2 500 元的利润.
解析
【分析】
本题围绕销售利润问题展开，第(1)问需利用图像给出的两点，通过待定系数法求出y与x的一次函数解析式；第(2)问根据“利润=每件利润×销量”的公式列一元二次方程，再结合“让消费者减少花费”的条件筛选出符合要求的售价；第(3)问同样利用利润公式列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，进而确定能否达到目标利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b (k≠0)$，将点$(25,250)$、$(40,100)$代入解析式，得：
$\begin{cases}25k + b = 250 \\40k + b = 100\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$15k = -150$，解得$k = -10$；将$k=-10$代入$25k + b =250$，得$-250 + b =250$，解得$b=500$。
因此，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = -10x + 500$。
(2) 根据题意，每天的利润为$(x - 20)y$，已知利润为1440元，代入$y=-10x+500$，得：
$(x - 20)(-10x + 500) = 1440$
整理方程：
展开左边得$-10x^2 + 700x - 10000 = 1440$，移项化简为$x^2 -70x +1144=0$。
解该方程，判别式$\Delta = (-70)^2 -4×1×1144 = 324$，根为$x = \frac{70±18}{2}$，即$x_1=44$，$x_2=26$。
因为要让消费者减少花费，所以选择较小的售价，即$x=26$元/件。
(3) 假设每天能获得2500元利润，根据利润公式列方程：
$(x -20)(-10x +500)=2500$
整理方程：
展开左边得$-10x^2 +700x -10000 =2500$，移项化简为$x^2 -70x +1250=0$。
计算判别式$\Delta = (-70)^2 -4×1×1250 = -100 ＜0$，说明该一元二次方程无实数根，因此假设不成立，超市不能保证每天获得2500元的利润。
【答案】
(1) $y=-10x+500$；(2) 26元/件；(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一次函数解析式、一元二次方程应用、利润问题
【点评】
本题结合销售实际问题，考查待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法及根的判别式的应用，解题时需注意实际问题中解的合理性筛选，是初中数学典型的应用题。
【难度系数】
0.6
本题围绕销售利润问题展开，第(1)问需利用图像给出的两点，通过待定系数法求出y与x的一次函数解析式；第(2)问根据“利润=每件利润×销量”的公式列一元二次方程，再结合“让消费者减少花费”的条件筛选出符合要求的售价；第(3)问同样利用利润公式列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，进而确定能否达到目标利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b (k≠0)$，将点$(25,250)$、$(40,100)$代入解析式，得：
$\begin{cases}25k + b = 250 \\40k + b = 100\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$15k = -150$，解得$k = -10$；将$k=-10$代入$25k + b =250$，得$-250 + b =250$，解得$b=500$。
因此，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = -10x + 500$。
(2) 根据题意，每天的利润为$(x - 20)y$，已知利润为1440元，代入$y=-10x+500$，得：
$(x - 20)(-10x + 500) = 1440$
整理方程：
展开左边得$-10x^2 + 700x - 10000 = 1440$，移项化简为$x^2 -70x +1144=0$。
解该方程，判别式$\Delta = (-70)^2 -4×1×1144 = 324$，根为$x = \frac{70±18}{2}$，即$x_1=44$，$x_2=26$。
因为要让消费者减少花费，所以选择较小的售价，即$x=26$元/件。
(3) 假设每天能获得2500元利润，根据利润公式列方程：
$(x -20)(-10x +500)=2500$
整理方程：
展开左边得$-10x^2 +700x -10000 =2500$，移项化简为$x^2 -70x +1250=0$。
计算判别式$\Delta = (-70)^2 -4×1×1250 = -100 ＜0$，说明该一元二次方程无实数根，因此假设不成立，超市不能保证每天获得2500元的利润。
【答案】
(1) $y=-10x+500$；(2) 26元/件；(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一次函数解析式、一元二次方程应用、利润问题
【点评】
本题结合销售实际问题，考查待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法及根的判别式的应用，解题时需注意实际问题中解的合理性筛选，是初中数学典型的应用题。
【难度系数】
0.6
