12 尝试解决下列有关幂的问题.
(1) 若 $ 3 × 27^{m} ÷ 9^{m}=3^{16} $, 求 $ m $ 的值;
(2) 若 $ 2^{6}=a^{2}=4^{b} $, 求 $ a+b $ 的值;
(3) 若 $ n $ 为正整数, 且 $ x^{2 n}=4 $, 求 $ (3 x^{3 n})^{2}-4(x^{2})^{2 n} $ 的值.

12. 解: (1) 因为 $3 × 27^{m} ÷ 9^{m} = 3^{16}$，
所以 $3 × 3^{3m} ÷ 3^{2m} = 3^{16}$，所以 $3^{1 + m} = 3^{16}$，
所以 $1 + m = 16$，解得 $m = 15$。
(2) 因为 $2^{6} = a^{2} = 4^{b}$，所以 $(2^{3})^{2} = a^{2}$，$2^{6} = 2^{2b}$，
所以 $2b = 6$，解得 $b = 3$。
当 $a = 2^{3} = 8$ 时，$a + b = 8 + 3 = 11$；
当 $a = -8$ 时，$a + b = -8 + 3 = -5$。
综上，$a + b$ 的值为 11 或 $-5$。
(3) 因为 $x^{2n} = 4$，
所以 $(3x^{3n})^{2} - 4(x^{2})^{2n} = 9(x^{2n})^{3} - 4(x^{2n})^{2} = 9 × 4^{3} - 4 × 4^{2} = 512$。

13 新考法 探究应用: 用“$ \cup $”“$ ∩ $”定义两种新运算: 对于两个数 $ a, b $, 规定 $ a \cup b=10^{a} × 10^{b}, a ∩ b=10^{a} ÷ 10^{b} $, 例如: $ 3 \cup 2=10^{3} × 10^{2}=10^{5}, 3 ∩ 2=10^{3} ÷ 10^{2}=10 $.
(1) 求 $ 1040 \cup 984 $ 的值;
(2) 求 $ 2025 ∩ 2026 $ 的值;
(3) 当 $ x $ 为何值时,$ x \cup 5 $ 的值与 $ 23 ∩ 17 $ 的值相等?

13. 解: (1) $1040 \bigcup 984 = 10^{1040} × 10^{984} = 10^{2024}$。
(2) $2025 \bigcap 2026 = 10^{2025} ÷ 10^{2026} = 10^{-1} = \frac{1}{10}$。
(3) 根据题意，得 $x \bigcup 5 = 10^{x} × 10^{5} = 10^{x + 5}$，$23 \bigcap 17 = 10^{23} ÷ 10^{17} = 10^{6}$。
因为 $x \bigcup 5$ 的值与 $23 \bigcap 17$ 的值相等，
所以 $10^{x + 5} = 10^{6}$，所以 $x + 5 = 6$，解得 $x = 1$。

14 若 $ 3^{m}+n $ 能被 10 整除, 求证: $ 3^{m+4}+n $ 能被 10 整除.

14. 证明: 根据题意，得 $3^{m + 4} + n = 3^{4} × 3^{m} + n = 81 × 3^{m} + n = 80 × 3^{m} + (3^{m} + n)$。
因为 $3^{m} + n$ 能被 10 整除，
所以 $80 × 3^{m} + (3^{m} + n)$ 能被 10 整除，
所以 $3^{m + 4} + n$ 能被 10 整除。

15 (2025 南京鼓楼模拟)下列算式中,结果最小的是 ()

A.$ (2022-2025)^{0} $
B.$ (2022-2025)^{1} $
C.$ (2022-2025)^{2} $
D.$ (2022-2025)^{3} $

15. D

16 (2025 徐州新沂期中)若 $ a=-2^{2}, b=2^{-2}, c=(\frac{1}{2})^{-2}, d=(\frac{1}{2})^{0} $, 则 $ a, b, c, d $ 的大小关系为 ()

A.$ a ＜ b ＜ d ＜ c $
B.$ a ＜ b ＜ c ＜ d $
C.$ b ＜ a ＜ d ＜ c $
D.$ a ＜ c ＜ b ＜ d $

16. A

17 (2025 盐城东台期中)下列运算中,正确的是 ()

A.$ (m+n)^{-2}=m^{-2}+2 m^{-1} n^{-1}+n^{-2} $
B.$ (m^{2} n)^{-1}=m^{-2} n $
C.$ (2 x^{3})^{-3}=8 x^{-9} $
D.$ (4 x^{-1})^{-1}=\frac{x}{4} $

17. D