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1. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O, E$ 是 $BC$ 的中点，$AC=4$. 若 $□ ABCD$ 的周长为 12，则 $△ COE$ 的周长为 （）
A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题图）（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
答案
B
解析
1. 根据平行四边形性质：平行四边形对角线互相平分，得O为AC中点，$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$；平行四边形对边相等，由周长为12得$2(AB+BC)=12$，即$AB+BC=6$。
2. 已知E是BC中点，因此OE是$△ ABC$的中位线，由三角形中位线定理得$OE=\frac{1}{2}AB$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
3. 计算$△ COE$的周长：$OC+OE+EC=2+\frac{1}{2}(AB+BC)=2+\frac{1}{2}×6=5$。
2. 已知E是BC中点，因此OE是$△ ABC$的中位线，由三角形中位线定理得$OE=\frac{1}{2}AB$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
3. 计算$△ COE$的周长：$OC+OE+EC=2+\frac{1}{2}(AB+BC)=2+\frac{1}{2}×6=5$。
2. 如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线。设AC，BC的中点分别为M，N。若MN=3 m，则AB=（）
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
答案
B
解析
∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MN是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理，AB=2MN。将MN=3m代入，得AB=2×3=6m。
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为（）
A.6
B.12
C.24
D.48
A.6
B.12
C.24
D.48
答案
C
解析
由菱形的性质可知，对角线AC⊥BD，因此△COD是直角三角形。
因为点E是CD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得CD=2OE。
已知OE=3，代入得CD=2×3=6。
菱形的四条边都相等，因此菱形ABCD的周长为4×6=24。
因为点E是CD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得CD=2OE。
已知OE=3，代入得CD=2×3=6。
菱形的四条边都相等，因此菱形ABCD的周长为4×6=24。
4.如图，在$△ ABC$中，$BC=4$，点$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，则$DE=$（）
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.2
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.2
答案
D
解析
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。
因为点D，E分别为AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，因此$DE=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC=4$，代入得$DE=\frac{1}{2}×4=2$。
因为点D，E分别为AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，因此$DE=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC=4$，代入得$DE=\frac{1}{2}×4=2$。
5. 如图,在菱形ABCD中,O为BD的中点,M为BC的中点,AM⊥BC,OM=2,则AM的长为 ()
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
C
解析
1. 已知O为BD中点，M为BC中点，由三角形中位线定理可得OM是△BCD的中位线，因此CD=2OM=4。
2. 四边形ABCD是菱形，故AB=BC=CD=4。
3. 由AM⊥BC，M是BC中点，可知AM垂直平分BC，因此AB=AC，结合AB=BC可得△ABC是等边三角形。
4. 在Rt△ABM中，BM=1/2 BC=2，由勾股定理计算得AM=√(AB²-BM²)=√(4²-2²)=2√3。
2. 四边形ABCD是菱形，故AB=BC=CD=4。
3. 由AM⊥BC，M是BC中点，可知AM垂直平分BC，因此AB=AC，结合AB=BC可得△ABC是等边三角形。
4. 在Rt△ABM中，BM=1/2 BC=2，由勾股定理计算得AM=√(AB²-BM²)=√(4²-2²)=2√3。
