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13. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E,F分别是AB,DC上的动点,EF//BC,则AF+CE的最小值是.
（第13题图） （第14题图） （第15题图）
（第13题图） （第14题图） （第15题图）答案
解：
设点B为坐标原点，AB所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
由矩形性质得A(0,6)，C(4,0)。
∵ EF//BC，E在AB上，F在CD上，
∴ 设E(0,t)，则F(4,t)，其中0≤t≤6。
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{(4-0)^2+(t-6)^2}=\sqrt{16+(6-t)^2}$，
$CE=\sqrt{(4-0)^2+(t-0)^2}=\sqrt{16+t^2}$。
将$AF+CE$转化为x轴上动点$(t,0)$到点$(0,-4)$和点$(6,4)$的距离之和，根据两点之间线段最短，其最小值为两点连线的长度：
$\sqrt{(6-0)^2+(4+4)^2}=\sqrt{36+64}=10$。
故$AF+CE$的最小值是$\boldsymbol{10}$。
设点B为坐标原点，AB所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
由矩形性质得A(0,6)，C(4,0)。
∵ EF//BC，E在AB上，F在CD上，
∴ 设E(0,t)，则F(4,t)，其中0≤t≤6。
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{(4-0)^2+(t-6)^2}=\sqrt{16+(6-t)^2}$，
$CE=\sqrt{(4-0)^2+(t-0)^2}=\sqrt{16+t^2}$。
将$AF+CE$转化为x轴上动点$(t,0)$到点$(0,-4)$和点$(6,4)$的距离之和，根据两点之间线段最短，其最小值为两点连线的长度：
$\sqrt{(6-0)^2+(4+4)^2}=\sqrt{36+64}=10$。
故$AF+CE$的最小值是$\boldsymbol{10}$。
14.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB$的长为4，射线$CD// AB$，$E$为射线$CD$上一点，过点$E$作$EF⊥ BC$于点$F$，连接$AE$，点$M$为$AE$的中点，则$MF$的最小值为________。
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=4$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=2$，$∠ CAB=60°$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=2\sqrt{3}$。
延长$FM$交$AC$于点$G$，
$\because ∠ ACB=90°$，$EF⊥ BC$，
$\therefore AC// EF$，
$\therefore ∠ GAM=∠ FEM$，
$\because M$为$AE$中点，$\therefore AM=EM$，
又$\because ∠ AMG=∠ EMF$，
$\therefore △ AMG≌△ EMF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore GM=MF$，即$M$为$GF$的中点。
在$Rt△ GCF$中，$∠ GCF=90°$，$M$是斜边$GF$的中点，
$\therefore MF=CM$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
因此$MF$的最小值等价于$CM$的最小值。
$\because CD// AB$，点$E$在射线$CD$上，
$\therefore E$到直线$AB$的距离为定值，等于$Rt△ ABC$中$C$到$AB$的距离：$\frac{AC· BC}{AB}=\sqrt{3}$。
$\because M$是$AE$的中点，
$\therefore M$到直线$AB$的距离恒为$E$到$AB$距离的$\frac{1}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore M$的轨迹是平行于$AB$，且与$AB$距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的直线。
点$C$到该直线的距离即为$CM$的最小值，为$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore MF$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=4$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=2$，$∠ CAB=60°$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=2\sqrt{3}$。
延长$FM$交$AC$于点$G$，
$\because ∠ ACB=90°$，$EF⊥ BC$，
$\therefore AC// EF$，
$\therefore ∠ GAM=∠ FEM$，
$\because M$为$AE$中点，$\therefore AM=EM$，
又$\because ∠ AMG=∠ EMF$，
$\therefore △ AMG≌△ EMF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore GM=MF$，即$M$为$GF$的中点。
在$Rt△ GCF$中，$∠ GCF=90°$，$M$是斜边$GF$的中点，
$\therefore MF=CM$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
因此$MF$的最小值等价于$CM$的最小值。
$\because CD// AB$，点$E$在射线$CD$上，
$\therefore E$到直线$AB$的距离为定值，等于$Rt△ ABC$中$C$到$AB$的距离：$\frac{AC· BC}{AB}=\sqrt{3}$。
$\because M$是$AE$的中点，
$\therefore M$到直线$AB$的距离恒为$E$到$AB$距离的$\frac{1}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore M$的轨迹是平行于$AB$，且与$AB$距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的直线。
点$C$到该直线的距离即为$CM$的最小值，为$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore MF$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
15.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,且AD＞BC,BC=6 cm,点P,Q分别从A,C两点同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动,则s后四边形ABQP为平行四边形.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：设t秒后四边形ABQP为平行四边形。
由题意得：$AP = t\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$BQ = BC - CQ = (6 - 2t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AD// BC$，
$\therefore AP// BQ$，
当$AP = BQ$时，四边形ABQP为平行四边形，
$\therefore t = 6 - 2t$，
解得$t=2$。
由题意得：$AP = t\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
则$BQ = BC - CQ = (6 - 2t)\ \mathrm{cm}$。
$\because AD// BC$，
$\therefore AP// BQ$，
当$AP = BQ$时，四边形ABQP为平行四边形，
$\therefore t = 6 - 2t$，
解得$t=2$。
16.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,且∠BAD,∠ADC的平分线AE,DF分别交BC于点E,F.若EF=1,AB=4,则AD的长为.
（第16题图）
（第17题图）
（第18题图）
（第16题图）（第17题图）
（第18题图）
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
解：
∵ AB//CD，AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AB=CD=4，AD//BC。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE=∠BEA，
∴ ∠BAE=∠BEA，
∴ BE=AB=4。
同理可得：CF=CD=4。
∵ BE + CF = BF + EF + CE + EF = BC + EF，
∴ 4 + 4 = AD + 1，
解得 AD=7。
∵ AB//CD，AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AB=CD=4，AD//BC。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE=∠BEA，
∴ ∠BAE=∠BEA，
∴ BE=AB=4。
同理可得：CF=CD=4。
∵ BE + CF = BF + EF + CE + EF = BC + EF，
∴ 4 + 4 = AD + 1，
解得 AD=7。
17. 如图，在$△ ABC$中，$AB＞AC$，$∠ A=30°$，$AC=4$，$E$为$AC$的中点，$F$为边$AB$上的一个动点，将$△ ABC$沿$EF$折叠，点$A$的对应点为$A'$，当以$E,F,A',C$为顶点的四边形是平行四边形时，线段$AF$的长为。
答案
解：
∵ E为AC的中点，AC=4，
∴ AE=EC=2，
由折叠的性质可得：$A'F=AF$，$A'E=AE=2$，$∠ A'=∠ A=30°$。
分两种情况讨论：
1. 当EC为平行四边形的边时，$A'F// EC$且$A'F=EC=2$，
结合$A'F=AF$，可得$AF=2$。
2. 当EC为平行四边形的对角线时，$A'E// FC$且$A'E=FC=2$，
此时$FC⊥ AB$，即$△ AFC$为直角三角形，$∠ AFC=90°$。
在$Rt△ AFC$中，$∠ A=30°$，$AC=4$，因此$FC=\frac{1}{2}AC=2$，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AC^2-FC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
综上，线段$AF$的长为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$。
∵ E为AC的中点，AC=4，
∴ AE=EC=2，
由折叠的性质可得：$A'F=AF$，$A'E=AE=2$，$∠ A'=∠ A=30°$。
分两种情况讨论：
1. 当EC为平行四边形的边时，$A'F// EC$且$A'F=EC=2$，
结合$A'F=AF$，可得$AF=2$。
2. 当EC为平行四边形的对角线时，$A'E// FC$且$A'E=FC=2$，
此时$FC⊥ AB$，即$△ AFC$为直角三角形，$∠ AFC=90°$。
在$Rt△ AFC$中，$∠ A=30°$，$AC=4$，因此$FC=\frac{1}{2}AC=2$，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AC^2-FC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
综上，线段$AF$的长为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$。
18.如图,在四边形ABCD中,AD=CD=4,∠C=∠ADC=90°,点E,F在边BC上,且EF=2.连接AE,DF,则四边形AEFD周长的最小值为.
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
解：
四边形AEFD的周长为$AD + EF + AE + DF$，
已知$AD=4$，$EF=2$，因此周长可表示为$6 + AE + DF$，只需最小化$AE+DF$即可。
将点$A$沿$BC$方向向右平移2个单位，得到点$A'$，则$AA'=EF=2$，且$AA'// EF$，四边形$AA'FE$为平行四边形，故$AE=A'F$。
作点$D$关于直线$BC$的对称点$D'$，则$DF=D'F$。
因此$AE + DF = A'F + D'F$，根据两点之间线段最短，$A'F + D'F \ge A'D'$，即$AE+DF$的最小值为线段$A'D'$的长度。
由$∠ C=∠ ADC=90°$，$AD=CD=4$，可得$AD// BC$，$AD$与$BC$的距离为$CD=4$。
由平移性质，$A'$与$D$的水平距离为$AD+2=6$，$D$与$D'$的竖直距离为$2CD=8$，因此：
$A'D' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
四边形AEFD周长的最小值为$6 + 10 = 16$。
最终
四边形AEFD的周长为$AD + EF + AE + DF$，
已知$AD=4$，$EF=2$，因此周长可表示为$6 + AE + DF$，只需最小化$AE+DF$即可。
将点$A$沿$BC$方向向右平移2个单位，得到点$A'$，则$AA'=EF=2$，且$AA'// EF$，四边形$AA'FE$为平行四边形，故$AE=A'F$。
作点$D$关于直线$BC$的对称点$D'$，则$DF=D'F$。
因此$AE + DF = A'F + D'F$，根据两点之间线段最短，$A'F + D'F \ge A'D'$，即$AE+DF$的最小值为线段$A'D'$的长度。
由$∠ C=∠ ADC=90°$，$AD=CD=4$，可得$AD// BC$，$AD$与$BC$的距离为$CD=4$。
由平移性质，$A'$与$D$的水平距离为$AD+2=6$，$D$与$D'$的竖直距离为$2CD=8$，因此：
$A'D' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
四边形AEFD周长的最小值为$6 + 10 = 16$。
最终
19. 如图，△BAC，△DEB 和△AEF 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点 E 在△ABC 内，BE＞AE，连接 DF 交 AE 于点 G，DE 交 AB 于点 H，连接 CF.
给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF.其中所有正确结论的序号是.
给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF.其中所有正确结论的序号是.
答案
①②③④
解析
解：
1. 证明结论①：
∵△DEB和△BAC都是等腰直角三角形，∠DEB=∠BAC=90°，
∴∠DBE=∠ABC=45°，BD=√2 BE，BC=√2 BA，
∴∠DBE - ∠ABE = ∠ABC - ∠ABE，即∠DBA=∠EBC，故①正确。
2. 证明结论③：
∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠DEB=∠AEF=90°，
∴DE=BE，AE=EF，
∴∠DEB + ∠AED = ∠AEF + ∠AED，即∠BEA=∠DEF，
在△BEA和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}BE=DE \\∠BEA=∠DEF \\AE=EF\end{array} $
∴△BEA≌△DEF(SAS)，
∴AB=DF，故③正确。
3. 证明结论②：
由△BEA≌△DEF得∠ABE=∠EDF，∠BAE=∠DFE，
在Rt△BHE中，∠HEB=90°，∴∠BHE=90°-∠ABE，
在Rt△EGF中，∠GEF=90°，∴∠EGF=90°-∠DFE，
又由△BEA内角和：∠ABE + ∠BAE + ∠AEB=180°，∠AEB=90°+∠AEH，
结合角度推导可得∠ABE=∠DFE，因此∠BHE=∠EGF，故②正确。
4. 证明结论④：
由∠DBA=∠EBC，$\frac{BD}{BC}=\frac{BA}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得△DBA∽△EBC，
∴$\frac{AD}{EC}=\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$，即AD=√2 EC，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，∠AEF=90°，AE=EF，可证△AEC∽△AEF，得CF=√2 EC，
∴AD=CF，故④正确。
综上，所有正确结论的序号是①②③④。
1. 证明结论①：
∵△DEB和△BAC都是等腰直角三角形，∠DEB=∠BAC=90°，
∴∠DBE=∠ABC=45°，BD=√2 BE，BC=√2 BA，
∴∠DBE - ∠ABE = ∠ABC - ∠ABE，即∠DBA=∠EBC，故①正确。
2. 证明结论③：
∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠DEB=∠AEF=90°，
∴DE=BE，AE=EF，
∴∠DEB + ∠AED = ∠AEF + ∠AED，即∠BEA=∠DEF，
在△BEA和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}BE=DE \\∠BEA=∠DEF \\AE=EF\end{array} $
∴△BEA≌△DEF(SAS)，
∴AB=DF，故③正确。
3. 证明结论②：
由△BEA≌△DEF得∠ABE=∠EDF，∠BAE=∠DFE，
在Rt△BHE中，∠HEB=90°，∴∠BHE=90°-∠ABE，
在Rt△EGF中，∠GEF=90°，∴∠EGF=90°-∠DFE，
又由△BEA内角和：∠ABE + ∠BAE + ∠AEB=180°，∠AEB=90°+∠AEH，
结合角度推导可得∠ABE=∠DFE，因此∠BHE=∠EGF，故②正确。
4. 证明结论④：
由∠DBA=∠EBC，$\frac{BD}{BC}=\frac{BA}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得△DBA∽△EBC，
∴$\frac{AD}{EC}=\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$，即AD=√2 EC，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，∠AEF=90°，AE=EF，可证△AEC∽△AEF，得CF=√2 EC，
∴AD=CF，故④正确。
综上，所有正确结论的序号是①②③④。
