19. 我们知道$\sqrt{2}$是无理数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2} - 1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。又例如：$\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，所以$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5} - 2$。请根据以上信息，回答下列问题：
(1) $\sqrt{34}$的整数部分是________，小数部分是________；
(2) 如果$\sqrt{11}$的整数部分为$a$，$7 - \sqrt{7}$的整数部分为$b$，求$12a + 7b$的立方根。

解：
(1) 因为$\sqrt{25}＜\sqrt{34}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{34}＜6$，
所以$\sqrt{34}$的整数部分是$5$，小数部分是$\sqrt{34}-5$。
(2) 因为$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，
所以$\sqrt{11}$的整数部分$a=3$。
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
所以$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，
因此$7-3＜7-\sqrt{7}＜7-2$，即$4＜7-\sqrt{7}＜5$，
所以$7-\sqrt{7}$的整数部分$b=4$。
代入得$12a+7b=12×3 +7×4=36+28=64$，
因为$\sqrt[3]{64}=4$，
所以$12a+7b$的立方根是$4$。

20. 观察下列等式：$x_1 = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} = \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{1 × 2}$；
$x_2 = \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} = \frac{7}{6} = 1 + \frac{1}{2 × 3}$；
$x_3 = \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} = \frac{13}{12} = 1 + \frac{1}{3 × 4}$；
……
根据以上规律，计算$x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_{2020} - 2021$的值。

解：
由题中规律可得：$x_n = 1 + \frac{1}{n(n+1)}$
因此：
$\begin{aligned}x_1+x_2+x_3+\dots+x_{2020}&=(1+\frac{1}{1×2})+(1+\frac{1}{2×3})+\dots+(1+\frac{1}{2020×2021})\\&=2020 + (\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{2020×2021})\end{aligned}$
利用裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{2020×2021}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\\=&1-\frac{1}{2021}\end{aligned}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}x_1+x_2+\dots+x_{2020}-2021&=2020 + 1-\frac{1}{2021} -2021\\&=-\frac{1}{2021}\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2021}}$。