1. 如图所示,在平面直角坐标系中,长方形OABC的边OC,OA分别与x轴,y轴重合,已知点A(0,a),C(b,0),且a,b满足关系式$|8 - a| + (b + 6)^2 = 0$,若动点P从点A出发,沿着A−B−C的方向以每秒2个单位长度的速度运动到点C,设点P的运动时间为t.
(1)点B的坐标为;
(2)用含t的代数式表示线段BP的长;
(3)若点D的坐标为(0,2),则在点P的运动过程中,是否存在某一时刻使得$S_{△ BPD} = \frac{1}{4}S_{长方形ABCO}$,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

解：
(1) 因为$|8-a|≥0$，$(b+6)^2≥0$，且$|8-a|+(b+6)^2=0$，
所以$8-a=0$，$b+6=0$，
解得$a=8$，$b=-6$。
由长方形OABC的性质，点B的横坐标与点C相同，纵坐标与点A相同，
所以点B的坐标为$\boldsymbol{(-6,8)}$。
(2) 由题意得$AB=6$，$BC=8$，点P的运动速度为2单位/秒：
① 当$0≤ t≤3$时，点P在AB上运动，$AP=2t$，
则$BP=AB-AP=6-2t$；
② 当$3＜ t≤7$时，点P在BC上运动，总运动路程为$2t$，
则$BP=2t-6$。
综上，当$0≤ t≤3$时，$BP=6-2t$；当$3＜ t≤7$时，$BP=2t-6$。
(3) 存在。
$S_{长方形ABCO}=AB· OA=6×8=48$，
则$\frac{1}{4}S_{长方形ABCO}=\frac{1}{4}×48=12$。
分两种情况讨论：
① 当$0≤ t≤3$时，点P在AB上，AB在直线$y=8$上，点D$(0,2)$到AB的距离为$8-2=6$，
$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}· BP·6=3BP=12$，
即$3(6-2t)=12$，解得$t=1$，符合取值范围；
② 当$3＜ t≤7$时，点P在BC上，BC在直线$x=-6$上，点D$(0,2)$到BC的距离为$0-(-6)=6$，
$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}· BP·6=3BP=12$，
即$3(2t-6)=12$，解得$t=5$，符合取值范围。
综上，t的值为1或5。

2. 问题背景
(1)已知点$A(1,2),B(3,2),C(1,-1),D(-3,-3)$,在平面直角坐标系中描出这几个点,分别找到线段$AB,CD$的中点$P_1,P_2$,并写出点$P_1,P_2$的坐标；
探究发现
(2)根据(1)可发现:若线段的两个端点的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,则线段中点的坐标为；
拓展应用
(3)利用上述规律解决下列问题.已知三个点$E(-1,2),F(3,1),G(1,4)$,第四个点$H(x,y)$与点$E,F,G$中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合,求点$H$的坐标.

解：
(1) 在平面直角坐标系中按对应坐标描出A、B、C、D四点，可得：
线段$AB$的中点$P_1$的坐标为$(2,2)$，
线段$CD$的中点$P_2$的坐标为$(-1,-2)$。
(2) $\boldsymbol{( \dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} )}$
(3) 分三种情况讨论：
① 当线段$HG$的中点与线段$EF$的中点重合时：
$EF$的中点坐标为$( \dfrac{-1+3}{2},\dfrac{2+1}{2} )=(1,\dfrac{3}{2})$，
则$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=1 \\ \dfrac{y+4}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$，即$H(1,-1)$；
② 当线段$EH$的中点与线段$FG$的中点重合时：
$FG$的中点坐标为$( \dfrac{3+1}{2},\dfrac{1+4}{2} )=(2,\dfrac{5}{2})$，
则$\begin{cases} \dfrac{-1+x}{2}=2 \\ \dfrac{2+y}{2}=\dfrac{5}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=5 \\ y=3 \end{cases}$，即$H(5,3)$；
③ 当线段$FH$的中点与线段$EG$的中点重合时：
$EG$的中点坐标为$( \dfrac{-1+1}{2},\dfrac{2+4}{2} )=(0,3)$，
则$\begin{cases} \dfrac{3+x}{2}=0 \\ \dfrac{1+y}{2}=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-3 \\ y=5 \end{cases}$，即$H(-3,5)$。
综上，点$H$的坐标为$(1,-1)$或$(5,3)$或$(-3,5)$。