1. 如图 2 - 1,已知数轴上的点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 分别表示数 $ - 2 $,$ 1 $,$ 2 $,$ 3 $,则表示数 $ \sqrt { 5 } - 2 $ 的点 $ P $ 应落在线段()。
A.$ AO $ 上
B.$ OB $ 上
C.$ BC $ 上
D.$ CD $ 上

B

因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。不等式两边同时减$2$，得$0＜\sqrt{5}-2＜1$。已知点$O$表示$0$，点$B$表示$1$，所以表示数$\sqrt{5}-2$的点$P$落在线段$OB$上。
B

2. 实数 $ - 0.5 $,$ \sqrt { 3 } $,$ 4 $,$ \pi $,$ 0.\dot{1}\dot{5} $,$ \frac { 2 } { 3 } $ 中,无理数有个。

2

无理数是无限不循环小数。在实数 $-0.5$，$\sqrt{3}$，$4$，$\pi$，$0.\dot{1}\dot{5}$，$\frac{2}{3}$ 中：
$-0.5$ 是有限小数，属于有理数；
$\sqrt{3}$ 是无限不循环小数，属于无理数；
$4$ 是整数，属于有理数；
$\pi$ 是无限不循环小数，属于无理数；
$0.\dot{1}\dot{5}$ 是无限循环小数，属于有理数；
$\frac{2}{3}$ 是分数，属于有理数。
综上，无理数有$\sqrt{3}$，$\pi$，共$2$个。
2

3. 若一个正数 $ a $ 的两个平方根是 $ 2 x - 7 $ 与 $ 2 - x $,则 $ a $ 的值是。

9

因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以$2x - 7 + 2 - x = 0$，解得$x = 5$。则$2x - 7 = 2×5 - 7 = 3$，所以$a = 3^{2} = 9$。
9

4. 小南按图 2 - 2①的方法把边长为 $ 5 \mathrm { cm } $ 和 $ 3 \mathrm { cm } $ 的两个正方形切割成 $ 5 $ 块,按图 2 - 2②的方式拼成一个大正方形,则大正方形的边长是$ \mathrm { cm } $。

$\sqrt{34}$

两个正方形的面积之和为$5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$（$\mathrm{cm}^2$）。
拼成的大正方形面积等于两个小正方形面积之和，即$34\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，则$a^2 = 34$，解得$a = \sqrt{34}$。
$\sqrt{34}$

5. 表 2 - 1 是利用计算器算出的部分正数的算术平方根：
表 2 - 1

根据上表,求 $ \sqrt { 338.56 } + \sqrt { 3.5721 } $ 的值,若结果保留整数,则值为。

20

由表可知，当$x = 18.4$时，$x^2=338.56$，则$\sqrt{338.56}=18.4$；
因为$3.5721 = 357.21×10^{-2}$，由表可知当$x = 18.9$时，$x^2=357.21$，则$\sqrt{357.21}=18.9$，所以$\sqrt{3.5721}=\sqrt{357.21×10^{-2}}=\sqrt{357.21}×\sqrt{10^{-2}}=18.9×0.1 = 1.89$；
则$\sqrt{338.56}+\sqrt{3.5721}=18.4 + 1.89=20.29$，结果保留整数为$20$。
$20$

6. 计算：
(1) $ - 1 ^ { 2024 } + \sqrt { ( - 2 ) ^ { 2 } } + \sqrt [ 3 ] { - 64 } + | \sqrt { 7 } - 3 | $；
(2) $ ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - ( \sqrt { 5 } - 2 ) ( \sqrt { 5 } + 2 ) $。

$(1)$计算$-1^{2024}+\sqrt{(-2)^{2}}+\sqrt[3]{-64}+\vert\sqrt{7}-3\vert$
解：
根据幂运算规则$a^{n}$（$a\neq0$），当$n$为偶数时，$(-a)^{n}=a^{n}$，$1$的任何次幂都是$1$，所以$-1^{2024}=-1$；
根据算术平方根的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，则$\sqrt{(-2)^{2}}=\vert -2\vert = 2$；
根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^{3}}=a$，则$\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{(-4)^{3}}=-4$；
因为$\sqrt{7}\lt\sqrt{9}=3$，所以$\vert\sqrt{7}-3\vert = 3 - \sqrt{7}$。
将上述结果代入原式可得：
$\begin{aligned}&-1^{2024}+\sqrt{(-2)^{2}}+\sqrt[3]{-64}+\vert\sqrt{7}-3\vert\\=&-1 + 2 + (-4)+(3 - \sqrt{7})\\=&(-1 + 2)+(-4 + 3)-\sqrt{7}\\=&1 - 1-\sqrt{7}\\=&-\sqrt{7}\end{aligned}$
$(2)$计算$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$
解：
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=3 + 2\sqrt{6}+2=5 + 2\sqrt{6}$；
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，可得$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^{2}-2^{2}=5 - 4 = 1$。
将上述结果代入原式可得：
$\begin{aligned}&(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\\=&5 + 2\sqrt{6}-1\\=&4 + 2\sqrt{6}\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)$$-\sqrt{7}$；$(2)$$4 + 2\sqrt{6}$。