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1. 方程 $6x^{2}-5x = 0$ 的根是( )
A.$x_{1}= x_{2}= \frac{5}{6}$
B.$x_{1}= x_{2}= -\frac{5}{6}$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= \frac{5}{6}$
D.$x_{1}= 0,x_{2}= -\frac{5}{6}$
A.$x_{1}= x_{2}= \frac{5}{6}$
B.$x_{1}= x_{2}= -\frac{5}{6}$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= \frac{5}{6}$
D.$x_{1}= 0,x_{2}= -\frac{5}{6}$
答案
C
解析
解：$6x^{2}-5x=0$
$x(6x-5)=0$
$x=0$ 或 $6x-5=0$
解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{5}{6}$
C
$x(6x-5)=0$
$x=0$ 或 $6x-5=0$
解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{5}{6}$
C
2. 一元二次方程 $x^{2}-5x + 6 = 0$ 的根为( )
A.$x_{1}= 2,x_{2}= -3$
B.$x_{1}= -2,x_{2}= 3$
C.$x_{1}= -2,x_{2}= -3$
D.$x_{1}= 2,x_{2}= 3$
A.$x_{1}= 2,x_{2}= -3$
B.$x_{1}= -2,x_{2}= 3$
C.$x_{1}= -2,x_{2}= -3$
D.$x_{1}= 2,x_{2}= 3$
答案
D
解析
$x^{2}-5x + 6 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 3) = 0$，则$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=3$。答案选D。
3. 解方程 $2(5x - 1)^{2}= 3(5x - 1)$ 的最适当的方法是( )
A.直接开平方法
B.配方法
C.因式分解法
D.公式法
A.直接开平方法
B.配方法
C.因式分解法
D.公式法
答案
C
4. 若 $(x - 2)^{2}$ 与 $x - 2$ 的值相等,则 $x = $______。
答案
2或3
解析
由题意得$(x - 2)^{2}=x - 2$，
移项得$(x - 2)^{2}-(x - 2)=0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 2 - 1)=0$，即$(x - 2)(x - 3)=0$，
则$x - 2=0$或$x - 3=0$，
解得$x=2$或$x=3$。
2或3
移项得$(x - 2)^{2}-(x - 2)=0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 2 - 1)=0$，即$(x - 2)(x - 3)=0$，
则$x - 2=0$或$x - 3=0$，
解得$x=2$或$x=3$。
2或3
5. 若 $-2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $(k^{2}-1)x^{2}+2kx + 4 = 0$ 的一个根,则 $k = $______。
答案
0
解析
将$x = -2$代入方程$(k^{2}-1)x^{2}+2kx + 4 = 0$，得：
$\begin{aligned}(k^{2}-1)(-2)^{2}+2k(-2)+4&=0\\4(k^{2}-1)-4k + 4&=0\\4k^{2}-4 - 4k + 4&=0\\4k^{2}-4k&=0\\4k(k - 1)&=0\end{aligned}$
解得$k = 0$或$k = 1$。
因为方程是一元二次方程，所以$k^{2}-1\neq0$，即$k\neq\pm1$，故$k = 1$舍去。
综上，$k = 0$。
0
$\begin{aligned}(k^{2}-1)(-2)^{2}+2k(-2)+4&=0\\4(k^{2}-1)-4k + 4&=0\\4k^{2}-4 - 4k + 4&=0\\4k^{2}-4k&=0\\4k(k - 1)&=0\end{aligned}$
解得$k = 0$或$k = 1$。
因为方程是一元二次方程，所以$k^{2}-1\neq0$，即$k\neq\pm1$，故$k = 1$舍去。
综上，$k = 0$。
0
6. 小红解方程 $(x - 2)^{2}= 2 - x$,只得到一个根为 $x = 1$,其错误原因是______,漏掉的根是______。
答案
未考虑x-2=0,x=2
解析
未考虑$x - 2 = 0$，$x = 2$
7. 用因式分解法解下列方程：
(1) $(x - 2)^{2}-2(x - 2)= 0$；
(2) $25x^{2}-4 = 0$；
(3) $(x - 2)^{2}-9 = 0$；
(4) $x^{2}+2x - 8 = 0$。
(1) $(x - 2)^{2}-2(x - 2)= 0$；
(2) $25x^{2}-4 = 0$；
(3) $(x - 2)^{2}-9 = 0$；
(4) $x^{2}+2x - 8 = 0$。
答案
(1)$x_{1}=2$,$x_{2}=4$;
(2)$x_{1}=-\frac{2}{5}$,$x_{2}=\frac{2}{5}$;
(3)$x_{1}=-1$,$x_{2}=5$;
(4)$x_{1}=2$,$x_{2}=-4$
8. 已知 $(x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-3)= 5$,求 $x^{2}+y^{2}$ 的值。
答案
4
解析
设$t = x^{2} + y^{2}$，则原方程可化为$(t + 1)(t - 3) = 5$，展开得$t^{2} - 2t - 3 = 5$，移项化简为$t^{2} - 2t - 8 = 0$，因式分解得$(t - 4)(t + 2) = 0$，解得$t = 4$或$t = -2$，因为$x^{2} + y^{2} \geq 0$，所以$t = -2$舍去，故$x^{2} + y^{2} = 4$。
9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(k + 3)x + 3k = 0$。
(1) 求证：无论 $k$ 为何值,此方程总有一个根是定值；
(2) 若直角三角形的一边为 $4$,另两边恰好是这个方程的两根,求 $k$ 的值。
(1) 求证：无论 $k$ 为何值,此方程总有一个根是定值；
(2) 若直角三角形的一边为 $4$,另两边恰好是这个方程的两根,求 $k$ 的值。
答案
(1)略;
(2)5或$\sqrt{7}$
