1. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,过点$C的切线交AB的延长线于点P$,$\angle P = 28^{\circ}$,则$\angle CAB$等于( )

A.$62^{\circ}$
B.$31^{\circ}$
C.$28^{\circ}$
D.$56^{\circ}$

B

证明：连接 $OC$。
∵ $PC$ 是 $\odot O$ 的切线，
∴ $OC \perp PC$，即 $\angle OCP = 90°$。
∵ $\angle P = 28°$，
∴ $\angle COP = 90° - \angle P = 62°$。
∵ $\angle ACB = 90°$，
∴ $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$O$ 为 $AB$ 中点。
∵ $OA = OC$，
∴ $\angle CAB = \angle OCA$。
∵ $\angle COP$ 是 $\triangle AOC$ 的外角，
∴ $\angle COP = \angle CAB + \angle OCA = 2\angle CAB$。
∴ $\angle CAB = \frac{1}{2}\angle COP = \frac{1}{2} × 62° = 31°$。
B

2. 如图,$AB是\odot O$的直径,点$D在AB$的延长线上,$DC切\odot O于点C$,若$\angle A = 25^{\circ}$,则$\angle D$等于( )

A.$20^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

C

证明：
∵ $OA = OC$，
∴ $\angle OCA = \angle A = 25°$，
∴ $\angle COD = \angle A + \angle OCA = 25° + 25° = 50°$。
∵ $DC$ 切 $\odot O$ 于点 $C$，
∴ $OC \perp DC$，即 $\angle OCD = 90°$，
∴ $\angle D = 180° - \angle OCD - \angle COD = 180° - 90° - 50° = 40°$。
C

3. 如图,在以$O$为圆心的两个同心圆中,大圆的弦$AB$为小圆的切线,若$AB = 4$,则圆环的面积为______。

4π

解：设切点为$C$，连接$OC$，$OA$。
因为$AB$是小圆切线，所以$OC\perp AB$，$OC$为小圆半径$r$，$OA$为大圆半径$R$。
$AB = 4$，则$AC=\frac{AB}{2}=2$。
在$Rt\triangle OAC$中，$OA^2 - OC^2=AC^2$，即$R^2 - r^2=2^2 = 4$。
圆环面积$S=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2 - r^2)=4\pi$。
4π

4. 如图,在平面直角坐标系中,点$A$在第一象限,$\odot A与x轴交于B(2,0)$,$C(8,0)$两点,与$y轴相切于点D$,则点$A$的坐标是______。

(5,4)

解：过点$A$作$AE \perp x$轴于点$E$，连接$AB$，$AD$。
$\because B(2,0)$，$C(8,0)$，$\therefore BC=8 - 2=6$，$OE=2+\frac{6}{2}=5$，即点$A$的横坐标为$5$。
$\because \odot A$与$y$轴相切，$\therefore AD=AE=5$（半径）。
设点$A$的坐标为$(5,y)$，则$BE=5 - 2=3$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AB^2=AE^2=5^2=25$，$BE=3$，由勾股定理得：$y^2 + 3^2=25$，解得$y=4$（$y=-4$舍去，点$A$在第一象限）。
$\therefore$点$A$的坐标是$(5,4)$。
$(5,4)$

5. 如图,$AB为\odot O$的直径,$C为\odot O$上的一点. 若$\angle BAC = \angle CAD$,且$CD \perp AD于点D$,试探究$CD与\odot O$的位置关系.

相切

证明：连接 $OC$。
∵ $OA=OC$，
∴ $\angle OAC=\angle OCA$。
∵ $\angle BAC=\angle CAD$，
∴ $\angle CAD=\angle OCA$，
∴ $OC // AD$。
∵ $CD \perp AD$，
∴ $OC \perp CD$。
∵ $OC$ 为 $\odot O$ 的半径，
∴ $CD$ 与 $\odot O$ 相切。
结论：相切

6. 如图,$AB为\odot O$的弦,$OC \perp OA$,$AB交OC于C$,过$B的直线交OC的延长线于D$,当$CD = BD$时,直线$BD与\odot O$有怎样的位置关系？并证明.

相切,证明略

相切。
证明：连接OB。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA。
∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠OAB+∠ACO=90°。
∵CD=BD，
∴∠DCB=∠DBC。
∵∠ACO=∠DCB，
∴∠OBA+∠DBC=90°，即∠OBD=90°。
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切。

7. 如图,在$\odot O$中,$AB$是直径,$CD$是弦,且$AB \perp CD$,垂足为$E$,$AB = 20$,$CD = 12$,在$BA的延长线上取一点F$,连接$CF$,使$\angle FCD = 2\angle B$.
(1)求证：$CF是\odot O$的切线；
(2)求$EF$的长.

(1)略;
(2)EF=9/2