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1. 在一幅长为 60 cm、宽为 40 cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色边框,制成一幅矩形挂图. 要使整个挂图的面积是$ 3640 cm^2,$设金色边框的宽度为 x cm,则满足条件的关于 x 的方程是( )
A.$x^{2}+100x - 1240 = 0$
B.$x^{2}+50x - 310 = 0$
C.$x^{2}-50x - 1240 = 0$
D.$x^{2}-100x - 310 = 0$
A.$x^{2}+100x - 1240 = 0$
B.$x^{2}+50x - 310 = 0$
C.$x^{2}-50x - 1240 = 0$
D.$x^{2}-100x - 310 = 0$
答案
B
解析
设金色边框的宽度为$x\,cm$，则挂图的长为$(60 + 2x)\,cm$，宽为$(40 + 2x)\,cm$。
根据题意，得$(60 + 2x)(40 + 2x) = 3640$
展开得：$2400 + 120x + 80x + 4x^2 = 3640$
化简得：$4x^2 + 200x + 2400 - 3640 = 0$
即：$4x^2 + 200x - 1240 = 0$
两边同时除以4：$x^2 + 50x - 310 = 0$
B
根据题意，得$(60 + 2x)(40 + 2x) = 3640$
展开得：$2400 + 120x + 80x + 4x^2 = 3640$
化简得：$4x^2 + 200x + 2400 - 3640 = 0$
即：$4x^2 + 200x - 1240 = 0$
两边同时除以4：$x^2 + 50x - 310 = 0$
B
2. 如图,在一块长为 15 m、宽为 10 m 的矩形空地上修建两条同样宽的相互垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为$ 126 m^2,$则修建的路宽应 为_________m.
答案
1
解析
设修建的路宽为$x\ m$。
根据题意，剩余绿化部分可看作长为$(15 - x)\ m$、宽为$(10 - x)\ m$的矩形，其面积为$126\ m^2$，则有：
$(15 - x)(10 - x) = 126$
展开并整理方程：
$150 - 25x + x^2 = 126$
$x^2 - 25x + 24 = 0$
因式分解：
$(x - 1)(x - 24) = 0$
解得：
$x_1 = 1,\ x_2 = 24$
因为路宽$x = 24\ m$大于矩形空地的宽$10\ m$，不合题意，舍去。
故修建的路宽应为$1\ m$。
1
根据题意，剩余绿化部分可看作长为$(15 - x)\ m$、宽为$(10 - x)\ m$的矩形，其面积为$126\ m^2$，则有：
$(15 - x)(10 - x) = 126$
展开并整理方程：
$150 - 25x + x^2 = 126$
$x^2 - 25x + 24 = 0$
因式分解：
$(x - 1)(x - 24) = 0$
解得：
$x_1 = 1,\ x_2 = 24$
因为路宽$x = 24\ m$大于矩形空地的宽$10\ m$，不合题意，舍去。
故修建的路宽应为$1\ m$。
1
3. 如图,这是一张长为 12 cm、宽为 10 cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是$ 24 cm^2 $的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为_________cm.
答案
2
解析
设剪去的正方形的边长为$x\,cm$。
根据题意，长方体铁盒底面的长为$(10 - 2x)\,cm$，宽为$\left(\dfrac{12 - 2x}{2}\right) = (6 - x)\,cm$。
底面积为$24\,cm^2$，则$(10 - 2x)(6 - x) = 24$。
展开得$60 - 10x - 12x + 2x^2 = 24$，整理为$2x^2 - 22x + 36 = 0$，即$x^2 - 11x + 18 = 0$。
因式分解$(x - 2)(x - 9) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
因为$10 - 2x ＞ 0$且$6 - x ＞ 0$，所以$x ＜ 5$，故$x = 2$。
2
根据题意，长方体铁盒底面的长为$(10 - 2x)\,cm$，宽为$\left(\dfrac{12 - 2x}{2}\right) = (6 - x)\,cm$。
底面积为$24\,cm^2$，则$(10 - 2x)(6 - x) = 24$。
展开得$60 - 10x - 12x + 2x^2 = 24$，整理为$2x^2 - 22x + 36 = 0$，即$x^2 - 11x + 18 = 0$。
因式分解$(x - 2)(x - 9) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
因为$10 - 2x ＞ 0$且$6 - x ＞ 0$，所以$x ＜ 5$，故$x = 2$。
2
4. 若一个多边形有 14 条对角线,则这个多边形有______条边.
答案
7
解析
设这个多边形有$n$条边。
多边形对角线公式为$\frac{n(n - 3)}{2}$，依题意有：
$\frac{n(n - 3)}{2}=14$
$n(n - 3)=28$
$n^2 - 3n - 28=0$
$(n - 7)(n + 4)=0$
解得$n_1=7$，$n_2=-4$（边数不能为负，舍去）
7
多边形对角线公式为$\frac{n(n - 3)}{2}$，依题意有：
$\frac{n(n - 3)}{2}=14$
$n(n - 3)=28$
$n^2 - 3n - 28=0$
$(n - 7)(n + 4)=0$
解得$n_1=7$，$n_2=-4$（边数不能为负，舍去）
7
5. 要建一个$ 130 m^2 $的矩形仓库,仓库的一边靠墙,并在与墙平行的一边开 一扇 1 m 宽的门,现有能围成 32 m 长的围墙的材料. 设与墙垂直的一边长 x m,则可列方程为_________.
答案
$x(32-2x+1)=130$
6. 有一个矩形,若长减少 4 m,宽增加 3 m,则成正方形,而它的面积比原来矩形的面积少$ 6 m^2,$求矩形的长和宽分别为多少.
答案
长为 22 m,宽为 15 m
解析
设矩形的长为$x$ m，宽为$y$ m。
根据题意，得$\begin{cases}x - 4 = y + 3 \\ (x - 4)(y + 3) = xy - 6\end{cases}$
由第一个方程得$x = y + 7$
将$x = y + 7$代入第二个方程：
$(y + 7 - 4)(y + 3) = (y + 7)y - 6$
$(y + 3)(y + 3) = y^2 + 7y - 6$
$y^2 + 6y + 9 = y^2 + 7y - 6$
$6y + 9 = 7y - 6$
$y = 15$
则$x = 15 + 7 = 22$
矩形的长为22 m，宽为15 m。
根据题意，得$\begin{cases}x - 4 = y + 3 \\ (x - 4)(y + 3) = xy - 6\end{cases}$
由第一个方程得$x = y + 7$
将$x = y + 7$代入第二个方程：
$(y + 7 - 4)(y + 3) = (y + 7)y - 6$
$(y + 3)(y + 3) = y^2 + 7y - 6$
$y^2 + 6y + 9 = y^2 + 7y - 6$
$6y + 9 = 7y - 6$
$y = 15$
则$x = 15 + 7 = 22$
矩形的长为22 m，宽为15 m。
7. 如图,以 25 m 长的墙为一边,用砖围成一个矩形养猪场,中间用砖分割出两个小矩形,砖总共围成的墙的长度为 30 m,养猪场的总面积为$ 48 m^2,$求 EF,BC 的长.
答案
$EF=2\ m,BC=24\ m$,或 $EF=8\ cm,BC=6\ m$
解析
解：设EF的长为$x\ m$，则BC的长为$(30 - 3x)\ m$。
根据题意，得$x(30 - 3x) = 48$，
整理，得$x^2 - 10x + 16 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 8$。
当$x = 2$时，$30 - 3x = 24$，$24 ＜ 25$，符合题意；
当$x = 8$时，$30 - 3x = 6$，$6 ＜ 25$，符合题意。
答：EF的长为$2\ m$，BC的长为$24\ m$；或EF的长为$8\ m$，BC的长为$6\ m$。
根据题意，得$x(30 - 3x) = 48$，
整理，得$x^2 - 10x + 16 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 8$。
当$x = 2$时，$30 - 3x = 24$，$24 ＜ 25$，符合题意；
当$x = 8$时，$30 - 3x = 6$，$6 ＜ 25$，符合题意。
答：EF的长为$2\ m$，BC的长为$24\ m$；或EF的长为$8\ m$，BC的长为$6\ m$。
