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如图 3-1,计算图形的面积,有几种不同的方法? 请计算结果.
用不同方法得到的结果应该相等,由此发现了什么?
用不同方法得到的结果应该相等,由此发现了什么?
答案
解:大长方形的面积当作一个整体来看可以表示为
3(x+3) ,分成一个小长方形和一个正方形来看可以表示为3x+9
故可以得出3(x+3)=3x+9
3(x+3) ,分成一个小长方形和一个正方形来看可以表示为3x+9
故可以得出3(x+3)=3x+9
解析
方法一：整体计算
图形为长方形，长为$x + 3$，宽为$3$，面积$S = 3(x + 3) = 3x + 9$。
方法二：分割计算
分为两个小长方形，面积分别为$3x$和$3×3 = 9$，总面积$S = 3x + 9$。
结果与发现
两种方法结果相等，均为$3x + 9$，由此发现：$3(x + 3) = 3x + 9$（乘法分配律）。
图形为长方形，长为$x + 3$，宽为$3$，面积$S = 3(x + 3) = 3x + 9$。
方法二：分割计算
分为两个小长方形，面积分别为$3x$和$3×3 = 9$，总面积$S = 3x + 9$。
结果与发现
两种方法结果相等，均为$3x + 9$，由此发现：$3(x + 3) = 3x + 9$（乘法分配律）。
例1 求与$2a-1的和为7a^{2}-4a+1$的多项式.
答案
解:7a²-4a+1-(2a-1)
=7a²-4a+1-2a+1
=7a²-6a+2
=7a²-4a+1-2a+1
=7a²-6a+2
例2 已知一个四边形的周长是48,第一条边的边长为a,第二条边的边长比第一条边的边长的2倍长3,第三条边的边长等于第一条边的边长与第二条边的边长的和.用代数式表示第四条边的边长.
答案
解:由题意,知第一边长为$a\ \mathrm {cm},$第二边长为$(2a+ 3)\ \mathrm {cm},$第三边长为$[a+ (2a +3)]\ \mathrm {cm},$
所以第四边长为$48-a- (2a+3)-[a+ (2a+3)]= 48- a- 2a-3-a-(2a+3) = 45-4a- 2a-3=(42- 6a) (\ \mathrm {cm}).$
所以第四边长为$48-a- (2a+3)-[a+ (2a+3)]= 48- a- 2a-3-a-(2a+3) = 45-4a- 2a-3=(42- 6a) (\ \mathrm {cm}).$
1. 填空题:
(1)$1-m$的相反数为
(2)$1-(1-a)= $
(3)$a^{2}-a-1= a^{2}-$
(4)$a^{2}-2a+2= a^{2}-2$
(1)$1-m$的相反数为
m-1
;(2)$1-(1-a)= $
a
;(3)$a^{2}-a-1= a^{2}-$
a+1
;(4)$a^{2}-2a+2= a^{2}-2$
a-1
.答案
m-1
a
a+1
a-1
a
a+1
a-1
解析
(1) 一个数的相反数定义为与其相加结果为零的数。因此，$1-m$的相反数为$-(1-m)$，即$m-1$。
(2) 对于表达式$1-(1-a)$，我们可以直接去掉内层的括号，得到$1-1+a$，简化后得到$a$。
(3) 对于表达式$a^{2}-a-1$，我们可以将其重写为$a^{2}-(a+1)$，从而可以看出括号中应填$a+1$。
(4) 对于表达式$a^{2}-2a+2$，我们可以将其重写为$a^{2}-2(a-1)$，从而可以看出括号中应填$a-1$。
(2) 对于表达式$1-(1-a)$，我们可以直接去掉内层的括号，得到$1-1+a$，简化后得到$a$。
(3) 对于表达式$a^{2}-a-1$，我们可以将其重写为$a^{2}-(a+1)$，从而可以看出括号中应填$a+1$。
(4) 对于表达式$a^{2}-2a+2$，我们可以将其重写为$a^{2}-2(a-1)$，从而可以看出括号中应填$a-1$。
2. 计算:
(1)$3a+(-6a+2)-(3-2a)$;
(2)$5a^{2}b-3ab^{2}-2(2a^{2}b-ab^{2})$.
(1)$3a+(-6a+2)-(3-2a)$;
(2)$5a^{2}b-3ab^{2}-2(2a^{2}b-ab^{2})$.
答案
解：原式=3a-6a+2-3+2a
\ \ \ \ \ \ \ \ =-a-1
解：原式=5a²b-3ab²-4a²b+2ab²
\ \ \ \ \ \ \ \ =a²b-ab²
\ \ \ \ \ \ \ \ =-a-1
解：原式=5a²b-3ab²-4a²b+2ab²
\ \ \ \ \ \ \ \ =a²b-ab²
3. 已知$M= 3x^{2}-2xy+y^{2}$,$N= 2x^{2}+xy-3y^{2}$,求$M-N$的值,其中$x= -2$,$y= -1$.
答案
解：M-N=(3x²-2xy+y²)-(2x²+xy-3y²)
\ \ \ \ \ \ \ \ =3x²-2xy+y²-2x²-xy+3y²\
\ \ \ \ \ \ \ =x²-3xy+4y²
将x=-2，y=-1代入，得：
原式=(-2)²-3×(-2)×(-1)+4×(-1)²
\ \ \ \ =4-6+4
\ \ \ \ =2
\ \ \ \ \ \ \ \ =3x²-2xy+y²-2x²-xy+3y²\
\ \ \ \ \ \ \ =x²-3xy+4y²
将x=-2，y=-1代入，得：
原式=(-2)²-3×(-2)×(-1)+4×(-1)²
\ \ \ \ =4-6+4
\ \ \ \ =2
