3. 如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂 $ AO $ 的长为 $ 40 $ cm,与水平面形成的夹角 $ \angle OAM $ 为 $ 75^{\circ} $。由光源 $ O $ 射出的边缘光线 $ OC $,$ OB $ 与水平面形成的夹角 $ \angle OCA $,$ \angle OBA $ 分别为 $ 90^{\circ} $ 和 $ 30^{\circ} $。求该台灯照亮水平面的宽度 $ BC $。(结果精确到 $ 1 $ cm)
(参考数据：$ \sin 75^{\circ} \approx 0.97 $,$ \cos 75^{\circ} \approx 0.26 $,$ \sqrt{3} \approx 1.73 $)

该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67cm.

解：在 $Rt\triangle OAC$ 中，$\angle OCA = 90°$，$\angle OAC = 75°$，$AO = 40\,cm$，
$\sin 75°=\frac{OC}{AO}$，则 $OC=AO\cdot\sin 75°\approx40×0.97 = 38.8\,cm$。
在 $Rt\triangle OBC$ 中，$\angle OCB = 90°$，$\angle OBC = 30°$，
$\tan 30°=\frac{OC}{BC}$，则 $BC=\frac{OC}{\tan 30°}=\frac{OC}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=OC\cdot\sqrt{3}\approx38.8×1.73\approx67\,cm$。
答：该台灯照亮水平面的宽度 $BC$ 大约是 $67\,cm$。

4. 如图,某湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光道 $ AB $,现决定从小岛建一座与观光道垂直的小桥 $ PD $,小张在观光道上测得如下数据：$ AB = 80.0 $ m,$ \angle PAB = 38.5^{\circ} $,$ \angle PBA = 26.5^{\circ} $。请帮助小张求出小桥 $ PD $ 的长并确定小桥在观光道上的位置。(以 $ A $,$ B $ 为参照点,结果精确到 $ 0.1 $ m)
(参考数据：$ \sin 38.5^{\circ} \approx 0.62 $,$ \cos 38.5^{\circ} \approx 0.78 $,$ \tan 38.5^{\circ} \approx 0.80 $,$ \sin 26.5^{\circ} \approx 0.45 $,$ \cos 26.5^{\circ} \approx 0.89 $,$ \tan 26.5^{\circ} \approx 0.50 $)

解:设$PD=x\ m$,$\because PD\perp AB$,
$\therefore \angle ADP=\angle BDP=90°$.
在$Rt\triangle PAD$中,$\tan\angle PAD=\frac{x}{AD}$,
$\therefore AD=\frac{x}{\tan38.5°}\approx\frac{x}{0.80}=\frac{5}{4}x$.
在$Rt\triangle PBD$中,$\tan\angle PBD=\frac{x}{DB}$,
$\therefore DB=\frac{x}{\tan26.5°}\approx\frac{x}{0.50}=2x$.
又$\because AB=80.0\ m$,
$\therefore \frac{5}{4}x+2x=80.0$.
解得$x\approx24.6$,即$PD\approx24.6\ m$,
$\therefore DB=2x\approx49.2(m)$.
答:小桥PD的长度约为24.6m，位于AB之间且距点B约49.2m处.