10. 已知关于 $x$ 的方程 $-x + 2 = 2(x - k)$ 与 $2x + 1 = x + 2$ 的解互为倒数,求 $k$ 的值.

$k=\dfrac{1}{2}$

解：解方程$2x + 1 = x + 2$，得$x=1$。
因为两方程的解互为倒数，所以方程$-x + 2 = 2(x - k)$的解为$1$的倒数，即$x=1$的倒数是$1$，故该方程的解为$x=1$。
将$x=1$代入$-x + 2 = 2(x - k)$，得$-1 + 2 = 2(1 - k)$，即$1=2 - 2k$，解得$k=\dfrac{1}{2}$。

11. 在做解方程练习时,试卷中有一个方程“$2y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}y + ■$”中的 $■$ 没印清晰,小聪问老师,老师只是说：“$■$ 是一个有理数,该方程的解与当 $x = 2$ 时代数式 $5(x - 1) - 2(x - 2) - 4$ 的值相同.”小聪很快补上了这个常数.同学们,你们能补上这个常数吗？

当$x=2$时代数式$5(x-1)-2(x-2)-4=5x-5-2x+4-4=3x-5=3× 2-5=1$,即$y=1$,代入方程中得,$2× 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}× 1+■$,解得$■=1$.即这个常数是1.

当$x = 2$时，代数式$5(x - 1)-2(x - 2)-4$的值为：
$\begin{aligned}&5(x - 1)-2(x - 2)-4\\=&5x-5-2x + 4-4\\=&3x-5\\=&3×2-5\\=&1\end{aligned}$
即方程$2y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y + ■$的解$y = 1$。
将$y = 1$代入方程得：
$2×1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×1 + ■$
$2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+■$
$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+■$
解得$■ = 1$。
这个常数是$1$。

12. 数学老师在黑板上书写了一个正确演算过程,随后用手掌捂住了一个多项式,形式如下：

$+ (-2x^2 + \frac{3}{4}x - 5) = -2x^2 + \frac{1}{4}x - 3$.
(1)求手捂住的多项式；
(2)若 $x$ 满足方程 $3x - 5 = -x + 3$,求手捂住的多项式的值；
(3)若手捂住的多项式的值与多项式 $-\frac{1}{2}x + 1$ 的值互为相反数,请求 $x$ 的值.

(1) $-2x^{2}+\dfrac{1}{4}x-3-\left(-2x^{2}+\dfrac{3}{4}x-5\right)=-2x^{2}+\dfrac{1}{4}x-3+2x^{2}-\dfrac{3}{4}x+5=-\dfrac{1}{2}x+2$,即手捂住的多项式为$-\dfrac{1}{2}x+2$.
(2) $3x-5=-x+3$,解得:$x=2$,则$-\dfrac{1}{2}x+2=-\dfrac{1}{2}× 2+2=1$.
(3) $\because$手捂住的多项式的值与多项式$-\dfrac{1}{2}x+1$的值互为相反数,$\therefore -\dfrac{1}{2}x+2-\dfrac{1}{2}x+1=0$,解得$x=3$.

13. 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著,其中的许多数学问题是世界上记载最早的,其中有一道“盈不足术”的问题：今有人共买物,人出八,盈三；人出七,不足四,问人数几何？译文为现有一些人共同买一个物品,每人出 $8$ 元,还多余 $3$ 元；每人出 $7$ 元,还差 $4$ 元.共有几人？

设共有$x$人,由题意,得$8x-3=7x+4$,解得$x=7$.

设共有$x$人，由题意，得$8x - 3 = 7x + 4$，解得$x = 7$。
答：共有7人。