1. 下列方程中,是一元一次方程的是()
A.$x^{2}-4x = 3$
B.$x = 0$
C.$x + 2y = 3$
D.$x - 1= \frac{2}{x}$

B

2. 若方程 $2x - kx + 1 = 5x - 2$ 的解为 $x = -1$,则 $k$ 的值为()
A.$10$
B.$-4$
C.$-6$
D.$-8$

C

将$x = -1$代入方程$2x - kx + 1 = 5x - 2$，得：
$\begin{aligned}2×(-1)-k×(-1)+1&=5×(-1)-2\\-2 + k + 1&=-5 - 2\\k - 1&=-7\\k&=-6\end{aligned}$
C

3. 下列方程变形中,正确的是()
A.方程 $3x + 4 = 4x - 5$,移项,得 $3x - 4x = 5 - 4$
B.方程 $-\frac{3}{2}x = 4$,系数化为 $1$,得 $x = 4×(-\frac{3}{2})$
C.方程 $3 - 2(x + 1) = 5$,去括号,得 $3 - 2x - 2 = 5$
D.方程 $\frac{x - 1}{2}-1= \frac{3x + 1}{3}$,去分母,得 $3(x - 1)-1 = 2(3x + 1)$

C

A. 方程$3x + 4 = 4x - 5$，移项，得$3x - 4x = -5 - 4$，原变形错误。
B. 方程$-\frac{3}{2}x = 4$，系数化为$1$，得$x = 4×(-\frac{2}{3})$，原变形错误。
C. 方程$3 - 2(x + 1) = 5$，去括号，得$3 - 2x - 2 = 5$，变形正确。
D. 方程$\frac{x - 1}{2}-1= \frac{3x + 1}{3}$，去分母，得$3(x - 1)-6 = 2(3x + 1)$，原变形错误。
结论：C

4. 服装店销售某款服装,一件服装的标价为 $300$ 元,若按标价的八折销售,仍可获利 $60$ 元,则这款服装每件的标价比进价多()
A.$60$ 元
B.$80$ 元
C.$120$ 元
D.$180$ 元

C

设这款服装每件的进价为$x$元。
标价的八折为$300×0.8 = 240$元。
由题意得$240 - x = 60$，解得$x = 180$。
标价比进价多$300 - 180 = 120$元。
C

5. 已知 $1-(3m - 5)^{2}$ 有最大值,则方程 $5m - 4 = 3x + 2$ 的解是()
A.$x= \frac{7}{9}$
B.$x= \frac{9}{7}$
C.$x = -\frac{7}{9}$
D.$x = -\frac{9}{7}$

A

因为$(3m - 5)^2 \geq 0$，所以当$(3m - 5)^2 = 0$时，$1 - (3m - 5)^2$有最大值。此时$3m - 5 = 0$，解得$m = \frac{5}{3}$。
将$m = \frac{5}{3}$代入方程$5m - 4 = 3x + 2$，得$5×\frac{5}{3} - 4 = 3x + 2$。
计算左边：$\frac{25}{3} - 4 = \frac{25}{3} - \frac{12}{3} = \frac{13}{3}$。
所以$\frac{13}{3} = 3x + 2$，移项得$3x = \frac{13}{3} - 2 = \frac{13}{3} - \frac{6}{3} = \frac{7}{3}$，解得$x = \frac{7}{9}$。
A

6. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{ax}{3}= \frac{x + 2}{4}-\frac{1}{2}x$ 无解,则 $a$ 的值为。

$-\dfrac{3}{4}$

去分母，得$4ax = 3(x + 2)-6x$
去括号，得$4ax = 3x + 6 - 6x$
移项、合并同类项，得$(4a + 3)x = 6$
因为方程无解，所以$4a + 3 = 0$
解得$a=-\dfrac{3}{4}$
$-\dfrac{3}{4}$

7. 如果 $|a + 3| = 1$,那么 $a$ 的值为。

$-2$或$-4$

因为$|a + 3| = 1$，所以$a + 3 = 1$或$a + 3 = -1$。
当$a + 3 = 1$时，$a = 1 - 3 = -2$；
当$a + 3 = -1$时，$a = -1 - 3 = -4$。
$-2$或$-4$

8. 已知方程 $\frac{x - 2}{5}= 2-\frac{x + 3}{2}$ 的解也是方程 $|3x - 2| = b$ 的解,则 $b=$。

$\dfrac{13}{7}$

解方程$\frac{x - 2}{5}= 2-\frac{x + 3}{2}$：
两边同乘10得：$2(x - 2)=20 - 5(x + 3)$
去括号：$2x - 4=20 - 5x - 15$
移项合并：$2x + 5x=20 - 15 + 4$
$7x=9$
$x=\frac{9}{7}$
将$x = \frac{9}{7}$代入$|3x - 2| = b$：
$3x - 2=3×\frac{9}{7}-2=\frac{27}{7}-\frac{14}{7}=\frac{13}{7}$
$b=|\frac{13}{7}|=\frac{13}{7}$
$\frac{13}{7}$

9. 若定义一种新运算“※”,其运算规则为 $a※b = -2a + 3b$,如：$1※5 = -2×1 + 3×5 = 13$,则方程 $x※4 = 0$ 的解为。

$x=6$

由新运算规则可得：$x※4=-2x + 3×4$，因为$x※4 = 0$，所以$-2x + 12 = 0$，移项得$-2x=-12$，解得$x = 6$。

10. 若方程 $\frac{x}{2}+\frac{m}{3}= x - 4$ 与方程 $\frac{1}{2}(x - 16)= -6$ 的解相同,则 $m$ 的值为。

$-6$

解方程$\frac{1}{2}(x - 16)= -6$：
$\frac{1}{2}(x - 16)= -6$
$x - 16= -12$
$x=4$
将$x = 4$代入$\frac{x}{2}+\frac{m}{3}= x - 4$：
$\frac{4}{2}+\frac{m}{3}= 4 - 4$
$2+\frac{m}{3}=0$
$\frac{m}{3}=-2$
$m=-6$
$-6$

11. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”,书中记载：今有共买物,人出八,盈三；人出七,不足四. 问：人数、物价各几何？意思是现有几个人共买一件物品,每人出 $8$ 钱,多出 $3$ 钱；每人出 $7$ 钱,还差 $4$ 钱. 问：人数、物价各是多少？若设物价是 $x$ 钱,则可列方程为。

$\dfrac{x+3}{8}=\dfrac{x-4}{7}$

12. 已知关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2025}x + 3 = 4x - m$ 的解为 $x = 2024$,则关于 $y$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2025}(y + 1)-3 = 4(y + 1)+m$ 的解为 $y=$。

$-2025$

将$x = 2024$代入方程$\frac{1}{2025}x + 3 = 4x - m$，得$\frac{1}{2025}×2024 + 3 = 4×2024 - m$，整理得$m = 4×2024 - \frac{2024}{2025} - 3$。
设$z = y + 1$，则关于$y$的方程$\frac{1}{2025}(y + 1)-3 = 4(y + 1)+m$可化为$\frac{1}{2025}z - 3 = 4z + m$，即$\frac{1}{2025}z + 3 = 4z - (-m)$。
对比已知方程，可得$z$满足$\frac{1}{2025}z + 3 = 4z - (-m)$，而$-m = \frac{2024}{2025} + 3 - 4×2024$，即$\frac{1}{2025}z + 3 = 4z + (\frac{2024}{2025} + 3 - 4×2024)$，化简得$\frac{1}{2025}z = 4z + \frac{2024}{2025} - 4×2024$，移项得$4×2024 - \frac{2024}{2025} = 4z - \frac{1}{2025}z$，即$2024×(4 - \frac{1}{2025}) = z×(4 - \frac{1}{2025})$，解得$z = 2024$。
又因为$z = y + 1$，所以$y + 1 = -2024$，解得$y = -2025$。
$-2025$