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2.(2024·黑龙江哈尔滨中考)如图,在△ABC 中,AB = AC,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于$\frac{1}{2}$AB 的长为半径作弧,两弧相交于 M,N 两点,作直线 MN 交 BC 于点 D,连接 AD.若∠B = 50°,则∠DAC = (
A.20°
B.50°
C.30°
D.80°
C
)A.20°
B.50°
C.30°
D.80°
答案
C
解析
∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∠BAC=180°-50°×2=80°.
由作图可知，MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BAD=∠B=50°.
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°.
由作图可知，MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BAD=∠B=50°.
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°.
3. 已知△ABC 是等腰三角形.若∠A = 40°,则△ABC 的顶角度数是
40°或100°
.答案
40°或100°
解析
当∠A为顶角时，顶角度数为40°；当∠A为底角时，顶角=180°-2×40°=100°。综上，顶角度数是40°或100°。
4. 如图,在等腰三角形 ABC 中,CH 是底边上的高,点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一点,连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 BP 并延长交 AC 于点 F.求证：
(1)∠CAE = ∠CBF；
(2)AE = BF.
(1)∠CAE = ∠CBF；
(2)AE = BF.
答案
答题卡：
(1)证明：
因为$ABC$是等腰三角形，$CH$是底边上的高，
根据等腰三角形三线合一，
所以$CH$是$\angle ACB$的平分线，
所以$\angle ACP=\angle BCP$，
因为$AC = BC$，
在$\triangle ACP$和$\triangle BCP$中，
$\begin{cases}AC = BC,\\\angle ACP=\angle BCP,\\CP = CP.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，
所以$\triangle ACP\cong \triangle BCP$，
所以$\angle CAE=\angle CBF$。
(2)证明：
因为$\angle CAE=\angle CBF$，$AC = BC$，$\angle ACE=\angle BCF$，
在$\triangle ACE$和$\triangle BCF$中，
$\begin{cases}\angle CAE=\angle CBF,\\AC = BC,\\\angle ACE=\angle BCF.\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，
所以$\triangle ACE\cong \triangle BCF$，
所以$AE = BF$。
(1)证明：
因为$ABC$是等腰三角形，$CH$是底边上的高，
根据等腰三角形三线合一，
所以$CH$是$\angle ACB$的平分线，
所以$\angle ACP=\angle BCP$，
因为$AC = BC$，
在$\triangle ACP$和$\triangle BCP$中，
$\begin{cases}AC = BC,\\\angle ACP=\angle BCP,\\CP = CP.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，
所以$\triangle ACP\cong \triangle BCP$，
所以$\angle CAE=\angle CBF$。
(2)证明：
因为$\angle CAE=\angle CBF$，$AC = BC$，$\angle ACE=\angle BCF$，
在$\triangle ACE$和$\triangle BCF$中，
$\begin{cases}\angle CAE=\angle CBF,\\AC = BC,\\\angle ACE=\angle BCF.\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，
所以$\triangle ACE\cong \triangle BCF$，
所以$AE = BF$。
5. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.如图所示,借助“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB 组成,两根棒在点 O 相连并可绕 O 转动,点 C 固定,OC = CD = DE,点 D,E 可在槽中滑动,若∠BDE = 75°,则∠O 的度数是(
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
C
)A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
答案
C
解析
设∠O的度数为x，即∠COD=x。
∵OC=CD，∴△OCD为等腰三角形，∠CDO=∠COD=x（等边对等角）。
∠ECD是△OCD的外角，∴∠ECD=∠COD+∠CDO=2x（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵CD=DE，∴△CDE为等腰三角形，∠DEC=∠ECD=2x（等边对等角）。
∠BDE是△ODE的外角，∴∠BDE=∠COD+∠DEC=x+2x=3x（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵∠BDE=75°，∴3x=75°，解得x=25°，即∠O=25°。
∵OC=CD，∴△OCD为等腰三角形，∠CDO=∠COD=x（等边对等角）。
∠ECD是△OCD的外角，∴∠ECD=∠COD+∠CDO=2x（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵CD=DE，∴△CDE为等腰三角形，∠DEC=∠ECD=2x（等边对等角）。
∠BDE是△ODE的外角，∴∠BDE=∠COD+∠DEC=x+2x=3x（三角形外角等于不相邻两内角和）。
∵∠BDE=75°，∴3x=75°，解得x=25°，即∠O=25°。
6. 如图,在△ABC 中,AB = BC,DF ⊥ BC 于点 D,交 AC 于点 F.F 是 AC 的中点,求证∠CFD = $\frac{1}{2}$∠B.
答案
证明：
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，∠A=∠C（等腰三角形两底角相等）。
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=∠C，
∴2∠C+∠B=180°，
∴∠C=(180°-∠B)/2=90°-∠B/2。
∵DF⊥BC，
∴∠FDC=90°（垂直定义），
∴△FDC是直角三角形，∠CFD+∠C=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CFD=90°-∠C=90°-(90°-∠B/2)=∠B/2。
即∠CFD=1/2∠B。
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，∠A=∠C（等腰三角形两底角相等）。
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=∠C，
∴2∠C+∠B=180°，
∴∠C=(180°-∠B)/2=90°-∠B/2。
∵DF⊥BC，
∴∠FDC=90°（垂直定义），
∴△FDC是直角三角形，∠CFD+∠C=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CFD=90°-∠C=90°-(90°-∠B/2)=∠B/2。
即∠CFD=1/2∠B。
7. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 10,BC = 12,AD = 8,AD 是∠BAC 的平分线.若 P,Q 分别是 AD 和 AC 上的动点,则 PC + PQ 的最小值是
48/5
.答案
48/5
解析
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴点C关于AD的对称点为点B。
过点B作BQ⊥AC于点Q，交AD于点P，此时PC+PQ最小，最小值为BQ的长。
∵AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC，
∴BD=CD=6。
在Rt△ABD中，AD=8，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×12×8=48。
又
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×BQ，
∴$\frac{1}{2}$×10×BQ=48，
解得BQ=$\frac{48}{5}$。
故PC+PQ的最小值是$\frac{48}{5}$。
