【典型例题1】
(1)下列运算正确的是()
A. $x^{2}\cdot x^{3}= x^{6}$
B. $(x^{3})^{2}= x^{5}$
C. $(xy^{2})^{3}= x^{3}y^{6}$
D. $x^{6}÷ x^{3}= x^{2}$
(2)若$(a^{2}-1)^{0}= 1$,则$a$的取值范围是.

【解析】
(1)$x^{2}\cdot x^{3}= x^{2 + 3}= x^{5}$,故A错误；
$(x^{3})^{2}= x^{2× 3}= x^{6}$,故B错误；
$(xy^{2})^{3}= x^{3}\cdot (y^{2})^{3}= x^{3}y^{6}$,故C正确；
$x^{6}÷ x^{3}= x^{6 - 3}= x^{3}$,故D错误.
(2)根据零指数幂的意义可知,$a^{2}-1\neq 0$,即$a\neq\pm 1$.
【答案】
(1)C (2)$a\neq\pm 1$

1. 下列计算正确的是()

A.$a^{3}\cdot a^{4}= a^{12}$
B.$-1^{0}= 1$
C.$(a^{3})^{5}= a^{15}$
D.$(-2ab)^{3}= -6a^{3}b^{3}$

C

A. 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^{3}\cdot a^{4}=a^{3 + 4}=a^{7}\neq a^{12}$，所以A选项错误。
B. 根据零指数幂的定义，$a\neq0$时，$a^0 = 1$，这里$-1^{0}$实际是$-(1^{0})=-1\neq1$，所以B选项错误。
C. 根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^{3})^{5}=a^{3×5}=a^{15}$，所以C选项正确。
D. 根据积的乘方法则，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，$(-2ab)^{3}=(-2)^{3}\cdot a^{3}\cdot b^{3}=-8a^{3}b^{3}\neq -6a^{3}b^{3}$，所以D选项错误。

2. 对于整数$a$,$b$定义运算：$a※b= (a^{b})^{m}+(b^{a})^{n}$(其中$m$,$n$为常数),如$3※2= (3^{2})^{m}+(2^{3})^{n}$.
(1)填空：当$m = 1$,$n = 2025$时,$2※1= $；
(2)若$1※4 = 10$,$2※2 = 15$,求$4^{2m + n - 1}$的值.

(1)
根据定义$a※b = (a^{b})^{m}+(b^{a})^{n}$，当$m = 1$，$n = 2025$时，$2※1=(2^{1})^{1}+(1^{2})^{2025}$。
因为$2^{1}=2$，$1^{2}=1$，$1$的任何正整数次幂都为$1$，所以$2※1=2 + 1=3$。
(2)
因为$1※4 = 10$，根据定义$a※b=(a^{b})^{m}+(b^{a})^{n}$，可得$(1^{4})^{m}+(4^{1})^{n}=10$，即$1 + 4^{n}=10$，解得$4^{n}=9$。
又因为$2※2 = 15$，所以$(2^{2})^{m}+(2^{2})^{n}=15$，即$4^{m}+4^{n}=15$。
把$4^{n}=9$代入$4^{m}+4^{n}=15$，得$4^{m}+9 = 15$，解得$4^{m}=6$。
则$4^{2m + n - 1}=4^{2m}×4^{n}÷4=(4^{m})^{2}×4^{n}÷4$。
把$4^{m}=6$，$4^{n}=9$代入上式得：$6^{2}×9÷4 = 36×9÷4=81$。
综上，答案依次为：(1)$3$；(2)$81$。

【典型例题2】
计算：$[x(3x - 4)-(x + 3)(x - 1)-3]÷ (2x)$.

【解】
$\begin{aligned}&[x(3x - 4)-(x + 3)(x - 1)-3]÷ (2x)\\=&(3x^{2}-4x - x^{2}-2x + 3 - 3)÷ (2x)\\=&(2x^{2}-6x)÷ (2x)\\=&x - 3.\end{aligned} $