7. (2024·四川达州中考)若关于 $x$ 的方程 $\frac{3}{x - 2} - \frac{kx - 1}{x - 2} = 1$ 无解,则 $k$ 的值为。

-1或2

方程两边同乘$x - 2$得：$3 - (kx - 1) = x - 2$，化简得$(k + 1)x = 6$。
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程无解：当$k + 1 = 0$，即$k = -1$时，$0x = 6$无解，原方程无解；
2. 整式方程的解为增根：增根为$x = 2$，代入$(k + 1)x = 6$得$2(k + 1) = 6$，解得$k = 2$。
综上，$k = -1$或$2$。

8. (2024·黑龙江牡丹江中考)若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 1} = 3 - \frac{mx}{1 - x}$ 的解为正整数,则整数 $m$ 的值为。

-1

方程两边同乘$x - 1$得：$x = 3(x - 1) + mx$，化简得$x(2 + m) = 3$，解得$x = \frac{3}{m + 2}$。
∵解为正整数且$x \neq 1$（增根），∴$\frac{3}{m + 2}$为正整数，$m + 2$是3的正因数。
3的正因数为1、3，即$m + 2 = 1$或$3$。
当$m + 2 = 1$时，$m = -1$，$x = 3$（正整数，非增根）；
当$m + 2 = 3$时，$m = 1$，$x = 1$（增根，舍去）。
综上，$m = -1$。

9. 阅读材料：关于 $x$ 的分式方程 $x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c}$ 的解是 $x_1 = c$,$x_2 = \frac{1}{c}$；
$x - \frac{1}{x} = c - \frac{1}{c}$(即 $x + \frac{-1}{x} = c + \frac{-1}{c}$)的解是 $x_1 = c$,$x_2 = -\frac{1}{c}$；
$x + \frac{2}{x} = c + \frac{2}{c}$ 的解是 $x_1 = c$,$x_2 = \frac{2}{c}$；
$x + \frac{3}{x} = c + \frac{3}{c}$ 的解是 $x_1 = c$,$x_2 = \frac{3}{c}$；
……
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于 $x$ 的方程 $x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c}$($m \neq 0$)的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。
(2)根据以上的规律方法解关于 $x$ 的方程：$x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1}$。

(1)$x_1 = c$，$x_2 = \frac{m}{c}$；(2)$x_1 = a$，$x_2 = \frac{a + 1}{a - 1}$。

(1)猜想：方程$x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c}$（$m≠0$）的解是$x_1 = c$，$x_2 = \frac{m}{c}$。
验证：当$x = c$时，左边$= c + \frac{m}{c}$，右边$= c + \frac{m}{c}$，左边=右边，$x = c$是解；当$x = \frac{m}{c}$时，左边$= \frac{m}{c} + \frac{m}{\frac{m}{c}} = \frac{m}{c} + c$，右边$= c + \frac{m}{c}$，左边=右边，$x = \frac{m}{c}$是解。
(2)原方程$x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1}$可变形为$(x - 1) + 1 + \frac{2}{x - 1} = (a - 1) + 1 + \frac{2}{a - 1}$，即$(x - 1) + \frac{2}{x - 1} = (a - 1) + \frac{2}{a - 1}$。设$y = x - 1$，则$y + \frac{2}{y} = (a - 1) + \frac{2}{a - 1}$，由(1)规律得$y_1 = a - 1$，$y_2 = \frac{2}{a - 1}$。
当$y = a - 1$时，$x - 1 = a - 1$，解得$x = a$；当$y = \frac{2}{a - 1}$时，$x - 1 = \frac{2}{a - 1}$，解得$x = \frac{a + 1}{a - 1}$。
经检验，$x = a$和$x = \frac{a + 1}{a - 1}$均为原方程的解。

【典型例题1】某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标,经测算,若由两个工程队共同工作,则恰好12天能够完成；若两队共同工作9天后,剩下的由甲队单独完成,则还需5天。现要从这两个工程队中选出一队单独完成,从尽快完工的角度考虑,你认为应该选择哪个队？为什么？

思路导引 根据一项工程分几部分完成,各部分工作量之和等于总工作量,列出方程解决问题。
【解】设甲队单独完成工程需$x$天,根据题意,得$\frac{1}{12}×9+\frac{1}{x}×5= 1$。
方程两边乘$x$,得$\frac{3}{4}x+5= x$。
解得$x= 20$。
检验：$x= 20≠0$。
所以$x= 20$是原分式方程的解,且符合题意。
因为$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}= \frac{1}{30}$,所以乙队单独完成工程需30天。
因为$20＜30$,所以选择甲队。
答：从尽快完工的角度考虑,应该选择甲队。