1. 下列各式中 $ y $ 是 $ x $ 的二次函数的是()
A.$ y = mx^{2} + 1(m \neq 0) $
B.$ y = ax^{2} + bx + c $
C.$ y = (x - 2)^{2} - x^{2} $
D.$ y = 3x - 1 $

A

A. $y = mx^{2} + 1(m \neq 0)$，符合二次函数的一般形式 $y = ax^{2} + bx + c$（其中 $a \neq 0$），在 $m \neq 0$ 的条件下，这是一个二次函数。
B. $y = ax^{2} + bx + c$，当 $a = 0$ 时，该函数退化为一次函数，因此不一定是二次函数。
C. $y = (x - 2)^{2} - x^{2}$，展开后得到 $y = x^{2} - 4x + 4 - x^{2} = -4x + 4$，这是一个一次函数。
D. $y = 3x - 1$，显然是一个一次函数。
综上所述，只有A选项（在 $m \neq 0$ 的条件下）是二次函数。

2. 下列抛物线中开口最大的是()
A.$ y = \sqrt{3}x^{2} $
B.$ y = -\sqrt{2}x^{2} $
C.$ y = -x^{2} $
D.$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $

D

抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越小开口越大。
A的二次项系数为$\sqrt{3} \approx 1.732$，
B为$-\sqrt{2} \approx -1.414$，绝对值为$1.414$，
C为$-1$，绝对值为$1$，
D为$-\frac{1}{2}$，绝对值为$0.5$。
比较绝对值，D的绝对值最小，开口最大。

3. 下列各函数中 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大的是()
A.$ y = -x + 1 $
B.$ y = -\frac{3}{x} $
C.$ y = x^{2} + 1 $
D.$ y = 2x - 3 $

D

A. 对于一次函数$y = kx + b$，当$k \lt 0$时，$y$随$x$的增大而减小，在$y = -x + 1$中$k=-1\lt0$，所以$y$随$x$的增大而减小，A选项错误。
B. 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），当$k\lt0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，$y = -\frac{3}{x}$中$k = - 3\lt0$，但需要强调在每个象限内，不满足在整个定义域内$y$随$x$的增大而增大，B选项错误。
C. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），当$a\gt0$时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，$y = x^{2}+1$中$a = 1\gt0$，对称轴为$x = 0$，所以不是在整个定义域内$y$随$x$的增大而增大，C选项错误。
D. 对于一次函数$y = 2x - 3$，其中$k = 2\gt0$，根据一次函数的性质，$y$随$x$的增大而增大，D选项正确。

4. 已知二次函数 $ y = -(x - 1)^{2} + m $($ m $ 是常数),当 $ x $ 分别取 $ -1 $,$ 1 $,$ 2 $ 时,对应的函数值 $ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $ 的大小关系是()
A.$ y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3} $
B.$ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $
C.$ y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
D.$ y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1} $

B

二次函数$y=-(x-1)^2+m$的对称轴为直线$x=1$，开口向下。当$x=1$时，$y_2=m$；当$x=-1$时，$y_1=-(-1-1)^2+m=-4+m$；当$x=2$时，$y_3=-(2-1)^2+m=-1+m$。比较得$-4+m＜-1+m＜m$，即$y_1＜y_3＜y_2$。

5. 在下列二次函数中,其图象对称轴为直线 $ x = -2 $ 的是()
A.$ y = (x + 2)^{2} - 3 $
B.$ y = 2x^{2} - 2 $
C.$ y = -2x^{2} - 2 $
D.$ y = 2(x - 2)^{2} $

A

对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2 + k$，其对称轴为直线$x=h$。
选项A：$y=(x + 2)^2 - 3$，可变形为$y=[x - (-2)]^2 - 3$，所以对称轴为直线$x=-2$。
选项B：$y=2x^2 - 2$，对称轴为直线$x=0$。
选项C：$y=-2x^2 - 2$，对称轴为直线$x=0$。
选项D：$y=2(x - 2)^2$，对称轴为直线$x=2$。

6. 关于二次函数 $ y = -3x^{2} + 6x + 1 $,以下说法不正确的是()
A.图象与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,1) $
B.图象的对称轴在 $ y $ 轴的右侧
C.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小
D.$ y $ 的最大值为 $ 4 $

C

A. 对于二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$，当 $x = 0$ 时，$y = c$。
所以此函数与 $y$ 轴的交点为 $ (0,1)$，正确。
B. 二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ 的对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
代入$a=-3，b=6$得： 对称轴为 $x = 1$，在 $y$ 轴的右侧，正确。
C. 由于$a = -3 ＜ 0$，所以该函数的开口向下，对称轴为 $x = 1$，
所以当$0＜x＜1$时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大，当$x＞1$时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小，错误。
D. 由于函数开口向下，其顶点为最大值点，由二次函数的顶点公式，顶点的 $y$ 坐标为 $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
代入 $a = -3, b = 6, c = 1$，得到 $y$ 的最大值为 $4$，正确。

7. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 上部分点的横坐标 $ x $、纵坐标 $ y $ 的对应值如表所示：

下列说法：①抛物线与 $ y $ 轴的交点为 $ (0,6) $；②抛物线的对称轴在 $ y $ 轴的右侧；③抛物线一定经过点 $ (3,0) $；④在对称轴左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；⑤不等式 $ ax^{2} + (b - 3)x + c - 6 ＞ 0 $ 的解集为 $ -2 ＜ x ＜ 0 $. 其中说法正确的个数是()
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

D

①当$x=0$时，$y=6$，抛物线与$y$轴交点为$(0,6)$，①正确；
②$x=0$和$x=1$时$y=6$，对称轴为$x=\frac{0+1}{2}=0.5$（在$y$轴右侧），②正确；
③对称轴$x=0.5$，与$x$轴交点$(-2,0)$的对称点为$(3,0)$，③正确；
④$a=-1＜0$（开口向下），对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，④错误；
⑤不等式$-x^2-2x＞0$即$x(x+2)＜0$，解集$-2＜x＜0$，⑤正确。
正确的有①②③⑤，共4个。