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24. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点$P(2,-3)$在二次函数$y = ax^{2}+bx - 3(a ＞ 0)$的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线$x = m$.
(1) 求 m 的值;
(2) 若点$Q(m,-4)$在$y = ax^{2}+bx - 3$的图象上,将该二次函数的图象向上平移 5 个单位长度,得到新的二次函数的图象.当$0\leq x\leq4$时,求新的二次函数的最大值与最小值的和;
(3) 设$y = ax^{2}+bx - 3$的图象与 x 轴交点为$(x_{1},0),(x_{2},0)(x_{1} ＜ x_{2})$.若$4 ＜ x_{2} - x_{1} ＜ 6$,求 a 的取值范围.
(1) 求 m 的值;
(2) 若点$Q(m,-4)$在$y = ax^{2}+bx - 3$的图象上,将该二次函数的图象向上平移 5 个单位长度,得到新的二次函数的图象.当$0\leq x\leq4$时,求新的二次函数的最大值与最小值的和;
(3) 设$y = ax^{2}+bx - 3$的图象与 x 轴交点为$(x_{1},0),(x_{2},0)(x_{1} ＜ x_{2})$.若$4 ＜ x_{2} - x_{1} ＜ 6$,求 a 的取值范围.
答案
(1)
因为点$P(2,-3)$在$y = ax^{2}+bx - 3$图象上，将$x = 2$，$y=-3$代入函数可得：
$-3=a×2^{2}+b×2 - 3$
$4a + 2b=0$
$2a + b = 0$
$b=-2a$
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，把$b = - 2a$代入可得：
$m=-\frac{-2a}{2a}=1$
(2)
因为点$Q(1,-4)$在$y = ax^{2}+bx - 3$图象上，将$x = 1$，$y=-4$，$b=-2a$代入函数可得：
$-4=a×1^{2}+(-2a)×1 - 3$
$-4=a-2a - 3$
$-4=-a - 3$
$a = 1$
则$b=-2$，原二次函数为$y=x^{2}-2x - 3$。
将该二次函数图象向上平移$5$个单位长度，得到新二次函数$y=x^{2}-2x - 3 + 5=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$。
当$x = 1$时，$y_{min}=1$；当$x = 4$时，$y=(4 - 1)^{2}+1=10$，所以$y_{max}=10$。
$y_{max}+y_{min}=1 + 10=11$
(3)
因为$y = ax^{2}+bx - 3$，$b=-2a$，所以$y = ax^{2}-2ax - 3$。
设方程$ax^{2}-2ax - 3=0$的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2a}{a}=2$，$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{a}$。
$(x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=2^{2}-4×(-\frac{3}{a})=4+\frac{12}{a}$
因为$4\lt x_{2}-x_{1}\lt6$，所以$16\lt(x_{2}-x_{1})^{2}\lt36$。
即$16\lt4+\frac{12}{a}\lt36$。
由$16\lt4+\frac{12}{a}$得：$12\lt\frac{12}{a}$，因为$a\gt0$，所以$a\lt1$。
由$4+\frac{12}{a}\lt36$得：$\frac{12}{a}\lt32$，$12\lt32a$，$a\gt\frac{3}{8}$。
所以$\frac{3}{8}\lt a\lt1$。
综上，答案依次为：(1)$m = 1$；(2)$11$；(3)$\frac{3}{8}\lt a\lt1$。
因为点$P(2,-3)$在$y = ax^{2}+bx - 3$图象上，将$x = 2$，$y=-3$代入函数可得：
$-3=a×2^{2}+b×2 - 3$
$4a + 2b=0$
$2a + b = 0$
$b=-2a$
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，把$b = - 2a$代入可得：
$m=-\frac{-2a}{2a}=1$
(2)
因为点$Q(1,-4)$在$y = ax^{2}+bx - 3$图象上，将$x = 1$，$y=-4$，$b=-2a$代入函数可得：
$-4=a×1^{2}+(-2a)×1 - 3$
$-4=a-2a - 3$
$-4=-a - 3$
$a = 1$
则$b=-2$，原二次函数为$y=x^{2}-2x - 3$。
将该二次函数图象向上平移$5$个单位长度，得到新二次函数$y=x^{2}-2x - 3 + 5=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$。
当$x = 1$时，$y_{min}=1$；当$x = 4$时，$y=(4 - 1)^{2}+1=10$，所以$y_{max}=10$。
$y_{max}+y_{min}=1 + 10=11$
(3)
因为$y = ax^{2}+bx - 3$，$b=-2a$，所以$y = ax^{2}-2ax - 3$。
设方程$ax^{2}-2ax - 3=0$的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2a}{a}=2$，$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{a}$。
$(x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=2^{2}-4×(-\frac{3}{a})=4+\frac{12}{a}$
因为$4\lt x_{2}-x_{1}\lt6$，所以$16\lt(x_{2}-x_{1})^{2}\lt36$。
即$16\lt4+\frac{12}{a}\lt36$。
由$16\lt4+\frac{12}{a}$得：$12\lt\frac{12}{a}$，因为$a\gt0$，所以$a\lt1$。
由$4+\frac{12}{a}\lt36$得：$\frac{12}{a}\lt32$，$12\lt32a$，$a\gt\frac{3}{8}$。
所以$\frac{3}{8}\lt a\lt1$。
综上，答案依次为：(1)$m = 1$；(2)$11$；(3)$\frac{3}{8}\lt a\lt1$。
25. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过$A(0,-1),B(4,1)$.直线 AB 交 x 轴于点 C,P 是直线 AB 下方抛物线上的一个动点.过点 P 作$PD\perp AB$,垂足为点 D,$PE// x$轴,交 AB 于点 E.
(1) 求抛物线的函数表达式;
(2) 当$\triangle PDE$的周长取得最大值时,求点 P 的坐标和$\triangle PDE$周长的最大值;
(3) 平移抛物线$y = x^{2}+bx + c$,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点 P,M 是新抛物线上一点,N 是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点 A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标,并把求其中一个满足条件的点 M 的坐标的过程写出来.
(1) 求抛物线的函数表达式;
(2) 当$\triangle PDE$的周长取得最大值时,求点 P 的坐标和$\triangle PDE$周长的最大值;
(3) 平移抛物线$y = x^{2}+bx + c$,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点 P,M 是新抛物线上一点,N 是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点 A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标,并把求其中一个满足条件的点 M 的坐标的过程写出来.
答案
(1)
将点$A(0,-1)$代入$y=x^2+bx+c$，得$c=-1$。
将点$B(4,1)$和$c=-1$代入，得$1=16+4b-1$，解得$b=-\frac{7}{2}$。
抛物线表达式为$y=x^2-\frac{7}{2}x-1$。
(2)
求直线AB方程：设$y=kx+d$，将$A(0,-1)$代入得$d=-1$；将$B(4,1)$代入得$1=4k-1$，解得$k=\frac{1}{2}$。故直线$AB:y=\frac{1}{2}x-1$。
设点P坐标：设$P(m,n)$，则$n=m^2-\frac{7}{2}m-1$。
求点E坐标：$PE// x$轴，故$E$纵坐标为$n$，代入$AB$方程得$x=2(n+1)$，即$E(2(n+1),n)$。
计算PE：$PE=m-2(n+1)$，将$n=m^2-\frac{7}{2}m-1$代入，得$PE=-2m^2+8m$。
△PDE为直角三角形：$PD\perp AB$，直线$AB$斜率$\frac{1}{2}$，倾斜角$\theta$满足$\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$。
则$PD=PE\cdot\sin\theta=\frac{PE}{\sqrt{5}}$，$DE=PE\cdot\cos\theta=\frac{2PE}{\sqrt{5}}$。
周长$C=PD+DE+PE=PE\left(1+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$。
求PE最大值：$PE=-2m^2+8m$，对称轴$m=2$，最大值$PE_{max}=8$（此时$m=2$）。
点P坐标：$m=2$时，$n=2^2-\frac{7}{2}×2-1=-4$，即$P(2,-4)$。
$C_{max}=8\left(1+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)=\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$。
(3)
新抛物线：顶点为$P(2,-4)$，表达式$y=(x-2)^2-4=x^2-4x$，对称轴$x=2$。设$M(m,m^2-4m)$，$N(2,t)$。
平行四边形条件（对角线中点重合）：
AB为对角线：$AB$中点$(2,0)$，则$MN$中点$(2,0)$，解得$m=2$，$M(2,-4)$。
AB为边：向量$\overrightarrow{AB}=(4,2)$，$\overrightarrow{MN}=(4,2)$或$\overrightarrow{NM}=(4,2)$，解得$m=6$或$m=-2$，即$M(6,12)$或$M(-2,12)$。
点M坐标：$(-2,12)$，$(2,-4)$，$(6,12)$。
答案
(1) $y=x^2-\frac{7}{2}x-1$
(2) $P(2,-4)$，周长最大值$\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$
(3) $M(-2,12)$，$(2,-4)$，$(6,12)$
将点$A(0,-1)$代入$y=x^2+bx+c$，得$c=-1$。
将点$B(4,1)$和$c=-1$代入，得$1=16+4b-1$，解得$b=-\frac{7}{2}$。
抛物线表达式为$y=x^2-\frac{7}{2}x-1$。
(2)
求直线AB方程：设$y=kx+d$，将$A(0,-1)$代入得$d=-1$；将$B(4,1)$代入得$1=4k-1$，解得$k=\frac{1}{2}$。故直线$AB:y=\frac{1}{2}x-1$。
设点P坐标：设$P(m,n)$，则$n=m^2-\frac{7}{2}m-1$。
求点E坐标：$PE// x$轴，故$E$纵坐标为$n$，代入$AB$方程得$x=2(n+1)$，即$E(2(n+1),n)$。
计算PE：$PE=m-2(n+1)$，将$n=m^2-\frac{7}{2}m-1$代入，得$PE=-2m^2+8m$。
△PDE为直角三角形：$PD\perp AB$，直线$AB$斜率$\frac{1}{2}$，倾斜角$\theta$满足$\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$。
则$PD=PE\cdot\sin\theta=\frac{PE}{\sqrt{5}}$，$DE=PE\cdot\cos\theta=\frac{2PE}{\sqrt{5}}$。
周长$C=PD+DE+PE=PE\left(1+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$。
求PE最大值：$PE=-2m^2+8m$，对称轴$m=2$，最大值$PE_{max}=8$（此时$m=2$）。
点P坐标：$m=2$时，$n=2^2-\frac{7}{2}×2-1=-4$，即$P(2,-4)$。
$C_{max}=8\left(1+\frac{3}{\sqrt{5}}\right)=\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$。
(3)
新抛物线：顶点为$P(2,-4)$，表达式$y=(x-2)^2-4=x^2-4x$，对称轴$x=2$。设$M(m,m^2-4m)$，$N(2,t)$。
平行四边形条件（对角线中点重合）：
AB为对角线：$AB$中点$(2,0)$，则$MN$中点$(2,0)$，解得$m=2$，$M(2,-4)$。
AB为边：向量$\overrightarrow{AB}=(4,2)$，$\overrightarrow{MN}=(4,2)$或$\overrightarrow{NM}=(4,2)$，解得$m=6$或$m=-2$，即$M(6,12)$或$M(-2,12)$。
点M坐标：$(-2,12)$，$(2,-4)$，$(6,12)$。
答案
(1) $y=x^2-\frac{7}{2}x-1$
(2) $P(2,-4)$，周长最大值$\frac{24\sqrt{5}}{5}+8$
(3) $M(-2,12)$，$(2,-4)$，$(6,12)$
