4. 如图,$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$,有下列结论:① △ABC∽△ADE;② AC 平分∠DAE;③ ∠BAD= ∠CAE;④ ∠ABF= ∠ADE.其中正确的个数为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

C

根据题意，$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$，
由相似三角形的性质，当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形相似。
所以，$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE$，故①正确。
由于$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE$，根据相似三角形的对应角相等，有$\angle BAC = \angle DAE$。
两边同时减去$\angle DAC$，得到$\angle BAD = \angle CAE$，故③正确。
对于②，虽然$AC$和$AE$与$\angle DAE$有关，但题目中并未给出足够的信息来证明$AC$平分$\angle DAE$，故②错误。
对于④，由于$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE$，根据相似三角形的对应角相等，有$\angle ABF = \angle ADE$（这里假设$F$是$BC$与$AD$的交点，且由于$BC // DE$，则交替内角相等），实际上根据图形和相似关系，我们可以得出$\angle ABF$与$\angle ADE$是对应角，故④正确。
综上，正确的结论有3个。

5. 如图,由4个边长为1的正方形组成一个新的图形,则∠ABC 的度数为.

45°

设小正方形边长为1，建立坐标系，得B(0,0)，A(1,3)，C(2,1)。
计算得：AC=√[(2-1)²+(1-3)²]=√5，BC=√[(2-0)²+(1-0)²]=√5，AB=√[(1-0)²+(3-0)²]=√10。
∵AC²+BC²=5+5=10=AB²，且AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°。
∴∠ABC=45°。

6. 如图,点 E,F 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上,BE= 3,EC= 6,CF= 2.求证:△ABE∽△ECF.

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC。
∵BE=3，EC=6，
∴BC=BE+EC=3+6=9，
∴AB=BC=9。
∵CF=2，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$。
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$。
在△ABE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}\\\angle B=\angle C\end{array}\right.$
∴△ABE∽△ECF（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。