5. 如图,在△ABC中,AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,∠B= ∠ADB.若 AB= 4,则 DC 的长是______.

4

∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC。
∵∠B=∠ADB，
∴AB=AD。
∵AB=4，
∴AD=4，
∴DC=4。
4

6. 如图,在等腰三角形 ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,∠A= 36°,AB= AC= a,BC= b,则 CD 的长为.(用含a,b 的式子表示)

a-b

在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC = a$，$\angle A=36^{\circ}$，则$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2}=72^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle A=\angle ABD = 36^{\circ}$，故$AD = BD$。
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle ACB=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$，所以$\angle BDC=\angle ACB$，则$BD = BC = b$，因此$AD=BD = b$。
又因为$AC = a$，所以$CD=AC - AD=a - b$。
$a - b$

7. 将长方形纸片 ABCD 按如图所示的方式进行折叠.若 AE= 3 cm,AB= 4 cm,BE= 5 cm,则△BED 的面积是$cm^2.$

【解析】：在长方形ABCD中，∠A=90°，AB=4cm，AE=3cm，BE=5cm，由勾股定理逆定理得△ABE为直角三角形，故E在AD上。设AD=BC=a，E在AD上，AE=3cm，则ED=AD-AE=a-3。
由折叠性质知，折叠后C点落在BE上的C'处，DC'=DC=AB=4cm，EC'=EC。设AD=a，D(a,0)，E(3,0)，B(0,4)，BE所在直线方程为y=-4/3x+4。折叠后C'(a,n)在BE上，故n=-4/3a+4。又DC'=4，即|n|=4，解得a=6，故ED=6-3=3cm。
△BED以ED为底，高为AB=4cm，面积=1/2×ED×AB=1/2×3×4=6cm²。
【答案】：6

8. 如图,在△ABC中,BP 平分∠CBA,AP 平分∠CAB,DE 经过点 P,且 DE//AB.若 BC= 12,AC= 18,则△CDE 的周长是.

30

∵BP平分∠CBA，
∴∠DBP=∠ABP，
∵DE//AB，
∴∠DPB=∠ABP，
∴∠DBP=∠DPB，
∴DP=DB，
∵AP平分∠CAB，
∴∠EAP=∠BAP，
∵DE//AB，
∴∠EPA=∠BAP，
∴∠EAP=∠EPA，
∴EP=EA，
∵BC=12，AC=18，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DP+EP+CE=CD+DB+EA+CE=BC+AC=12+18=30.
30

9. 如图,在△ABC中,AD 平分∠BAC,CD⊥AD.若∠ABC 与∠ACD 互补,CD= 5,则 BC 的长为.

10

延长CD交AB延长线于点E。
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°。
在△ADE和△ADC中，
∠EAD=∠CAD，AD=AD，∠ADE=∠ADC，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴DE=CD=5，∠AED=∠ACD。
∵∠ABC与∠ACD互补，∠ABC与∠EBC互补，
∴∠EBC=∠ACD=∠AED，
∴BC=EC=DE+CD=5+5=10。
10

10. 如图,在△ABC中,D 为 BC 上的一点,DA 平分∠EDC,且∠E= ∠B,DE= DC.求证:AB= AC.

1. ∵DA平分∠EDC，∴∠EDA=∠CDA；
2. 在△EDA和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l} DE=DC\\ ∠EDA=∠CDA\\ DA=DA\end{array}\right.$，∴△EDA≌△CDA(SAS)；
3. ∴∠E=∠C(全等三角形对应角相等)；
4. ∵∠E=∠B(已知)，∴∠B=∠C；
5. ∴AB=AC(等角对等边)。